完善數(shù)學(xué)知識(shí)體系 培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)
——2021年廣東省中考數(shù)學(xué)第25題難點(diǎn)分析及教學(xué)啟示

武也文

(江蘇省南京市第六十六中學(xué),江蘇 南京 210037)

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,是歷年中考熱點(diǎn)問(wèn)題,承載著一定的選拔性功能,對(duì)學(xué)生而言具有一定的難度.在2023年中考第一輪復(fù)習(xí)時(shí),筆者借助2021年廣東省中考數(shù)學(xué)第25題,幫助學(xué)生梳理二次函數(shù)的知識(shí),建構(gòu)完備的知識(shí)體系,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

1 試題呈現(xiàn)

已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)(-1,0),且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6．

(1)求該二次函數(shù)的解析式;

(2)若(1)中二次函數(shù)圖象與x軸的正半軸交點(diǎn)為A,與y軸交點(diǎn)為C.點(diǎn)M是(1)中二次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)．問(wèn)在x軸上是否存在點(diǎn)N,使以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．若存在,求出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

本題主要考查一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)與方程、不等式之間的聯(lián)系等數(shù)學(xué)核心知識(shí)及函數(shù)思想、方程思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類思想等重要的數(shù)學(xué)思想方法,需要學(xué)生具有完備的數(shù)學(xué)知識(shí)體系,對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求較高．

2 試題的思路突破及難點(diǎn)分析

2.1 思路突破

2.2 難點(diǎn)分析

本題是一道壓軸題,主要考查學(xué)生對(duì)初中代數(shù)核心知識(shí)的綜合運(yùn)用能力．雖然本題的題干簡(jiǎn)潔,學(xué)生讀起來(lái)一目了然,但是題型新穎且起點(diǎn)較高,學(xué)生不知如何解決問(wèn)題．以下從該題的主要難點(diǎn)給出幾點(diǎn)反思．

難點(diǎn)之一:一般來(lái)說(shuō),壓軸題中的問(wèn)題是按照從易到難的過(guò)程來(lái)設(shè)置的,但本題的問(wèn)題(1)既是本題的亮點(diǎn),也是本題的難點(diǎn).許多學(xué)生做不出這道題,就是沒(méi)有弄清楚題目中的條件應(yīng)該如何使用,如何轉(zhuǎn)換成有效信息．問(wèn)題(1)求該二次函數(shù)的解析式,學(xué)生最常用的方法是待定系數(shù)法,但函數(shù)y=ax2+bx+c有三個(gè)系數(shù)未知,題目中的條件只給了一個(gè)已知點(diǎn)(-1,0),直接用待定系數(shù)法不能解決這個(gè)問(wèn)題,怎么辦?

難點(diǎn)之二:考查一次函數(shù)、二次函數(shù)、不等式和方程等數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系,并借助函數(shù)圖象分析、解決問(wèn)題的能力．問(wèn)題(1)對(duì)于學(xué)生而言從“4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6”這個(gè)連續(xù)不等式,或許不難想到三個(gè)函數(shù):y1=4x-12,y2=2x2-8x+6,y3=ax2+bx+c．但條件中的兩個(gè)“≤”有什么作用,怎么使用呢?這就要求學(xué)生必須借助函數(shù)的圖象來(lái)分析問(wèn)題,通過(guò)畫(huà)示意圖發(fā)現(xiàn)函數(shù)y1=4x-12,y2=2x2-8x+6的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)(3,0),如圖1所示;根據(jù) “4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6”這個(gè)條件,y2=2x2-8x+6的圖象在y1=4x-12的圖象的上方且這兩個(gè)圖象有交點(diǎn),并且y3=ax2+bx+c的圖象在y2=2x2-8x+6的圖象的下方且這兩個(gè)圖象也有交點(diǎn),不難畫(huà)出三個(gè)函數(shù)圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)(3,0)．做到這一步,得到了y3=ax2+bx+c圖象上的第二個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)．由點(diǎn)(-1,0),(3,0)在函數(shù)y3=ax2+bx+c的圖象上,只能得到系數(shù)b、c與a之間的數(shù)量關(guān)系,即b=-2a,c=-3a,從而把函數(shù)y3=ax2+bx+c寫(xiě)成y3=ax2-2ax-3a,問(wèn)題仍沒(méi)有解決．

圖1 問(wèn)題(1)圖

圖2 點(diǎn)N在x軸正半軸且在在點(diǎn)A的左邊,點(diǎn)M在x軸下方

圖3 點(diǎn)N在x軸正半軸且在點(diǎn)A 的右邊,點(diǎn)M在x軸下方

圖4 點(diǎn)N在x軸正半軸且在在點(diǎn)A的右邊,點(diǎn)M在x軸上方

圖5 點(diǎn)N在x軸負(fù)半軸,點(diǎn)M在x軸上方

難點(diǎn)之三:考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系的理解,以及運(yùn)用一元二次方程根的判別式判別方程實(shí)數(shù)根的情況．由函數(shù)y1=4x-12,y2=2x2-8x+6的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)(3,0),得到方程ax2-2ax-3a=4x-12,且這個(gè)方程只有一個(gè)解．再逆運(yùn)用一元二次方程根的判別式b2-4ac=0,解得a=1,得出函數(shù)的解析式為y3=ax2+bx+c,問(wèn)題才得以解決．

難點(diǎn)之四:問(wèn)題(2)是一個(gè)常見(jiàn)的幾何分類問(wèn)題,難點(diǎn)在于如何合理制定分類的標(biāo)準(zhǔn)．理解平行四邊形的判定方法,制定合理的分類標(biāo)準(zhǔn),使問(wèn)題解決不重不漏．

3 教學(xué)啟示

3.1 完善數(shù)學(xué)知識(shí)體系,提升解題能力

在中考復(fù)習(xí)的課堂教學(xué)中,教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法,更要喚起學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)的經(jīng)歷,知道函數(shù)知識(shí)點(diǎn)在初中代數(shù)知識(shí)體系中所處的地位、作用以及與方程(組)、不等式等“點(diǎn)狀”知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系和區(qū)別,幫助他們構(gòu)建初中代數(shù)知識(shí)體系．在教學(xué)中,教師為了讓學(xué)生構(gòu)建初中代數(shù)知識(shí)體系,可以借助知識(shí)框圖、思維導(dǎo)圖等可視化的思維方式引導(dǎo)學(xué)生,把所學(xué)知識(shí)點(diǎn)在知識(shí)體系中的位置清晰地呈現(xiàn)出來(lái),使學(xué)生形成穩(wěn)固的認(rèn)知結(jié)構(gòu),力爭(zhēng)讓學(xué)生的初中代數(shù)知識(shí)、解題的思想方法融會(huì)貫通,進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生解決綜合問(wèn)題的能力．

3.2 培養(yǎng)核心素養(yǎng),理解核心知識(shí)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出,數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每一個(gè)公民應(yīng)當(dāng)具備的基本素養(yǎng)[1].數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)主要包括以下三個(gè)方面:會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界;會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界;會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.核心素養(yǎng)具有整體性、一致性和階段性,在不同階段具有不同表現(xiàn),小學(xué)階段側(cè)重對(duì)經(jīng)驗(yàn)的感悟,初中階段側(cè)重對(duì)概念的理解.初中階段,核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為:抽象能力、運(yùn)算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)．

本題考查的初中數(shù)學(xué)核心知識(shí)有:一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),函數(shù)與方程、不等式之間的聯(lián)系,平行四邊形的判定．

問(wèn)題(1)通過(guò)“4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6”這個(gè)連續(xù)不等式,聯(lián)想到這是三個(gè)函數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系,進(jìn)而從抽象的數(shù)量關(guān)系,轉(zhuǎn)化為直觀的函數(shù)圖象,研究三個(gè)函數(shù)的圖象不難發(fā)現(xiàn)它都相交于同一個(gè)點(diǎn)(3,0),體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的考查．最后運(yùn)用函數(shù)與方程的內(nèi)在聯(lián)系,根的判別式值為0的數(shù)學(xué)核心知識(shí),需要學(xué)生解含有字母a的一元二次方程,體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的考查[2]．

問(wèn)題(2)是近幾年來(lái)數(shù)學(xué)中考命題的一個(gè)熱點(diǎn)——?jiǎng)討B(tài)幾何題．點(diǎn)M是二次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn),導(dǎo)致以A、C、M、N為頂點(diǎn)的平行四邊形的形狀、位置不能確定,這時(shí)就要分類討論．本題分類的依據(jù)是平行四邊形的判定定理．學(xué)生在解題時(shí)能否想到分類討論,取決于學(xué)生對(duì)相關(guān)概念、定義、定理的理解是否透徹,在日常的學(xué)習(xí)過(guò)程中,要經(jīng)歷分類討論的過(guò)程,從而積累解決分類討論問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)．因此教師要努力地使學(xué)生掌握分類思想方法,要求教師認(rèn)真鉆研教材,研究中考試題,有意識(shí)地為學(xué)生感悟分類思想創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境、組織學(xué)習(xí)活動(dòng)[3]．

4 結(jié)束語(yǔ)

完善數(shù)學(xué)知識(shí)體系和培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是相輔相成的．只有掌握了扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí),才能更好地運(yùn)用數(shù)學(xué)思維解決實(shí)際問(wèn)題;只有具備了較高的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),才能更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)．因此,教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)與核心素養(yǎng)的融合,為學(xué)生的發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．