基本流緯向切變下的穩(wěn)定輻射斜壓位渦

劉 楠, 宋 健

(內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院, 呼和浩特 010051)

0 引 言

自20世紀(jì)80年代以來(lái),位渦(PV)理論是研究大氣海洋學(xué)的重要概念,引起大氣海洋學(xué)研究者們的廣泛關(guān)注．PV理論之所以得到科學(xué)界的重視,是由于它是大氣海洋學(xué)的一個(gè)基本性質(zhì),常用于判斷大氣海洋的特性．渦流依賴于平均PV梯度,同樣也適用于PV理論,可以充分表明大氣海洋中的不穩(wěn)定性．PV表示兩鄰近等熵面(等位溫面)之間的大氣柱在被帶到某一規(guī)定緯度并被伸縮到某一規(guī)定厚度時(shí)所有的渦度．渦流主要產(chǎn)生于東部邊界上升流系統(tǒng)和巴西洋流區(qū)域,隨著緯度的大幅增長(zhǎng)而逐漸減弱[1]．其中渦旋即是渦流遇到緯向及經(jīng)向誘導(dǎo)速度等外界因素引起的旋渦．中高緯度地區(qū),在大尺度下,大氣海洋運(yùn)動(dòng)學(xué)中的渦旋在基本緯向流嵌入大規(guī)模垂直切變下的不穩(wěn)定性影響是一個(gè)極其重要的研究方向[2]．在斜壓大氣下,基本緯向流通過(guò)垂直切變的影響會(huì)轉(zhuǎn)化成渦旋,在絕大多數(shù)大氣海洋系統(tǒng)中均出現(xiàn)類似于雙曲正弦的潛在渦度/流函數(shù),其呈現(xiàn)出雙渦旋狀態(tài)[3]．王爽等在其所研究的流體流動(dòng)產(chǎn)生的垂直速度分量,同樣導(dǎo)致渦旋的形成[4]．Flierl的線性計(jì)算結(jié)果表明,渦旋在受到斜壓擾動(dòng)后,向西移動(dòng)的同時(shí)會(huì)輻射 Rossby波,然而不存在衰變的情況．對(duì)于渦旋的移動(dòng)速度, 會(huì)呈現(xiàn)色散關(guān)系, 發(fā)生色散會(huì)使其衰減得很快, 與之相反的是當(dāng)渦旋受到一個(gè)非線性的影響時(shí), 依然可以清晰地顯現(xiàn)出Rossby波的傳播軌跡[5]．Arbic和Flierl提出在質(zhì)量上將無(wú)黏性和自由衰變的流動(dòng),擴(kuò)展成分層、強(qiáng)迫和耗散的流動(dòng)[3]．通常情況下在Rossby波穩(wěn)定輻射下的斜壓渦旋導(dǎo)致向西或者向東緯向傳播的一個(gè)結(jié)果[6]．

Flierl通過(guò)上層、下層流體分別為淺水和準(zhǔn)地轉(zhuǎn)(quasi geostrophic,QG)模式研究了輻射渦旋[5]．準(zhǔn)地轉(zhuǎn)表示在渦度方程中,除散度項(xiàng)外其他各項(xiàng)引入地轉(zhuǎn)關(guān)系而計(jì)算的大氣大尺度運(yùn)動(dòng)．Pakyari和Nycander發(fā)現(xiàn),在普遍情況下,渦旋的傳播速度取決于“hetonic”機(jī)制,即由上層渦流和下層渦流之間的水平移動(dòng),其結(jié)果是,渦旋向東行進(jìn)趨于穩(wěn)定; 而渦旋向西行進(jìn)則恰好相反,即體現(xiàn)渦流的不穩(wěn)定性[7]．穆穆通過(guò)大氣動(dòng)力學(xué)理論證實(shí)了大氣運(yùn)動(dòng)的基本模式-正壓與斜壓準(zhǔn)地轉(zhuǎn)模式強(qiáng)解存在唯一性[8]．Sutyrin和Dewar發(fā)現(xiàn)渦流是在上下兩層結(jié)構(gòu)不對(duì)稱性的偶極相互作用,或作用在兩層之間進(jìn)行耦合傳播[9]．Held和Larichev在亞熱帶向西流動(dòng)中發(fā)現(xiàn)壽命最長(zhǎng)的海洋渦旋[10],斜壓渦旋在嵌入大規(guī)模垂直剪切流中產(chǎn)生可以與β平面上的慣性Taylor柱(inertial Taylor columns)相關(guān)的Rossby波相反符號(hào)的渦流[11]．慣性Taylor柱表示在旋轉(zhuǎn)流體中作緩慢移動(dòng)的柱體上方,存在一個(gè)慣性與此柱體一起移動(dòng)的流體柱．Sutyrin和Hesthaven等研究了長(zhǎng)期演化的單極渦和偶極渦在PV大尺度梯度(β效應(yīng))影響下,采用等效氣壓準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程進(jìn)行了數(shù)值求解[12]．通常情況下,受到輻射的斜壓渦旋向西移動(dòng),這些向西傳播的渦流,其較長(zhǎng)壽命的特點(diǎn)在緯度帶上占據(jù)首要地位[13]．Sutyrin在水平中深度下,研究了地球中物理渦的壽命長(zhǎng)短,其研究成果展現(xiàn)出基本渦流參數(shù)之間的另一種聯(lián)系,這種渦旋的強(qiáng)化機(jī)制起到相當(dāng)大的作用[14]．在β平面近似下,陳利國(guó)等分析發(fā)現(xiàn),影響非線性Rossby波的重要因素中包含推廣的β效應(yīng)及切變基本流[15]．然而,這些研究?jī)H限于基本垂直切變中Rossby波的振幅在兩層模型中的簡(jiǎn)單演化,仍缺乏完整性[16]．

Flierl[5]和Larichev等[17]進(jìn)一步推導(dǎo)了在無(wú)黏性的情況下,獲得了準(zhǔn)地轉(zhuǎn)上下兩層方程的解析解．Phillips兩層模型中,由于上下兩層之間的平均準(zhǔn)地轉(zhuǎn)PV(QGPV)梯度符號(hào)不同,引起斜壓不穩(wěn)定性,而Charney模型的不穩(wěn)定性是由平均表面的溫度梯度以恒定狀態(tài)的內(nèi)部PV梯度β相互作用帶動(dòng)的[18]．通過(guò)層狀模型繼續(xù)討論大氣海洋的斜壓不穩(wěn)定性[19]．在β效應(yīng)平面上,基于上下兩層Phillips模型,在大尺度下垂直剪切中,通過(guò)對(duì)渦流穩(wěn)定流動(dòng)解析解的數(shù)值模擬,討論了基本流在Rossby波穩(wěn)定輻射下緯向流二次切變的情況,給出了二次切變基本流對(duì)穩(wěn)定輻射斜壓PV的影響．

本文描述了穩(wěn)定輻射下的斜壓PV模型,基于Rossby波的產(chǎn)生,渦旋速度逐漸減慢．從而使斜壓下產(chǎn)生的這種波動(dòng)和渦流效應(yīng)形成新的位勢(shì)現(xiàn)象．渦旋產(chǎn)生的Rossby波,在緯向和經(jīng)向上穩(wěn)定傳播,還會(huì)引起經(jīng)向渦旋傳播軌跡流以及相干的熱流．基于β效應(yīng)平面上的兩層模型,討論了Rossby波的穩(wěn)定性,若上層的PV梯度為正,則經(jīng)向傳播會(huì)導(dǎo)致渦旋逐漸減弱．因此,當(dāng)PV梯度較弱時(shí),渦旋仍能傳播很長(zhǎng)一段距離,直到振幅越來(lái)越弱,釋放捕獲流體并逐漸使渦旋消亡．證實(shí)了上層PV梯度的減少延長(zhǎng)渦旋的傳播能力,總結(jié)了緯向基本流二次切變下的斜壓PV受擾動(dòng)情況．利用Bessel函數(shù)找出了數(shù)值解．對(duì)于亞熱帶海洋向西流,降低上層PV梯度會(huì)持續(xù)延長(zhǎng)渦旋的壽命．本文研究了這種變化的其中一種形式,即緯向基本流在二次切變下對(duì)穩(wěn)定輻射斜壓PV的主要影響．

1 控 制 方 程

斜壓大氣模式下準(zhǔn)地轉(zhuǎn)模型為[20-21]

(1)

(2)

2 基本緯向流二次切變的斜壓PV色散關(guān)系

根據(jù)正交模方法,設(shè)擾動(dòng)流函數(shù)為

(3)

由方程(2)獲得色散關(guān)系：

ω2[k4+k2+(l2+F1+F2)+l2F1]+ω[k3(2a1+2a2+β1+β2+uF1-uF2)+

k(2a1l2+2a1F2+2a2F1+β2F1+β1F2+β1l2-ul2F1)]+

k2(4a1a2+2a1β2+2a1uF2+2a2β1+β1β2+uβ1F2-2a2uF1-uβ2F1-u2F1F2)=0．

(4)

在不考慮黏性項(xiàng)的兩層基本流中, 采用兩層斜壓模式[22]．緯向二次切變引起上下兩層斜壓流體的不穩(wěn)定性,在向西行進(jìn)中,考慮u=-1,然后對(duì)ω與a1,a2的兩種色散關(guān)系進(jìn)行討論．

首先,a1=0,a2≠0時(shí),ω與a2之間的關(guān)系如圖1所示,a2=0,a1≠0時(shí),ω與a1之間的關(guān)系如圖2所示．當(dāng)a1=0或a2=0時(shí),在所選區(qū)間里,圖1與圖2中基本緯向流走向大致相同．緯向切變下的渦旋在二次剪切流中呈現(xiàn)上升趨勢(shì),且在二次切變下,渦旋向西行進(jìn)的傳播速度逐漸平緩,在一段時(shí)間內(nèi)保持穩(wěn)定狀態(tài)傳播．由于基本流向西行進(jìn)的同時(shí)輻射Rossby波, 但卻不衰減, 斜壓渦旋處于穩(wěn)定輻射下, 為了進(jìn)一步闡明二次剪切流對(duì)斜壓流體不穩(wěn)定性的影響, 基本緯向流在二次切變中, 若其中一層的PV梯度為零時(shí), 則經(jīng)向傳播導(dǎo)致渦旋呈現(xiàn)上升趨勢(shì), 且上升速度逐漸趨于緩慢, 在上升到一定程度時(shí),會(huì)趨于穩(wěn)定狀態(tài)向西行進(jìn)．這表明在二次切變的影響下, 基本流發(fā)生明顯變化, 深入演化二次剪切流對(duì)穩(wěn)定輻射斜壓流體的主要轉(zhuǎn)換過(guò)程．

圖1 當(dāng)a1=0, a2≠0時(shí),ω與a2的關(guān)系

其次,當(dāng)a1≠0或a2≠0時(shí),基本緯向流在二次切變下先是呈急劇上升趨勢(shì),到達(dá)峰值后迅速減弱(圖3、4),上下兩層PV梯度中的擾動(dòng)流均在平流層中,在渦旋經(jīng)向峰值處,緯向基本流隨二次切變的影響,渦旋向西行進(jìn)的傳播速度逐漸加快．由圖中顯示：當(dāng)a1≠0時(shí)(圖3)緯向流向西行進(jìn)的速度很明顯要滯后于當(dāng)a2≠0時(shí)(圖4)緯向流西進(jìn)速度,即二次切變擾動(dòng)后,a2對(duì)緯向基本流的傳播具有沖擊力,而a1對(duì)緯向基本流傳播的影響相對(duì)較弱．這表明斜壓下渦旋在二次切變下是緯向向西傳播的,由于Rossby波穩(wěn)定輻射使其始終向西行進(jìn)[23]．

圖3 當(dāng)a1≠0時(shí),a1對(duì)ω與a2關(guān)系的影響

若不考慮兩層的PV梯度和斜壓流體的變動(dòng),二次剪切流中關(guān)于y的擾動(dòng)流ω與渦旋上層渦流a1,下層渦流a2的色散關(guān)系如圖5所示．關(guān)于二次剪切流對(duì)相干具有較長(zhǎng)壽命渦流的影響,在基本流緯向切變下,擾動(dòng)流的氣壓和影響氣壓成分在上下兩層是相互補(bǔ)償?shù)模谛眽合?二次剪切流可以持續(xù)延長(zhǎng)渦旋的壽命．上層渦旋的傳播軌跡主要是向南,由于渦旋略微滯后于向西流動(dòng)的背景流,因此也有向西的成分．而下層渦旋由向東移動(dòng)的渦流主導(dǎo),并且為上層相干渦旋的經(jīng)向傳播提供了有利條件．位于上層PV梯度的氣壓斜渦旋在二次切變下幾乎是不穩(wěn)定的,同時(shí)在深海層中增強(qiáng)PV梯度會(huì)影響Rossby波的軌跡流．因此,緯向基本流在二次切變下對(duì)穩(wěn)定輻射斜壓渦旋的不穩(wěn)定性影響是有跡可循的．

上述數(shù)值模擬充分表明了垂直切變下的斜壓流體存在的不足之處,即不能清晰地刻畫出渦旋在斜壓下的主要變化過(guò)程．于是,對(duì)于緯向流在穩(wěn)定輻射下的斜壓流體來(lái)說(shuō),將垂直切變深入轉(zhuǎn)化為二次切變無(wú)疑是一個(gè)更加充分的說(shuō)明．

對(duì)于大波數(shù),k2+l2?F1,擾動(dòng)集中到下層,緯向相速度向西略微靠近,并且低于下層背景流速．對(duì)于小波數(shù),k2+l2?F1,緯向相速度大幅度向西,表明正壓下的擾動(dòng),上下兩層渦流速度與顆粒位移大致相同,于是緯向相速度處于-∞<ω/k

圖5 ω與a1,a2的三維關(guān)系

F1ψ1+(?2-β/c)ψ2=0．

(5)

而在上層,q1必須依賴于坐標(biāo)系中的流函數(shù),并且隨著渦旋平移,定義F1ψ1+cy-uy≈F1ψ1,令q1=Φ(ψ1),得到

(?2-F1)ψ1+F2ψ2=Φ(ψ1)=q1,

(6)

(7)

(?2-γ2)φ1=q1(r), (?2+γ2)φ2=q1(r)．

(8)

兩層的流線通過(guò)式(5)和(6)表示,ψ1和ψ2由下式給出：

(9)

其中

(10)

在無(wú)限域中,渦旋向西行進(jìn)之前,即x→-∞．無(wú)黏性的流體受到向西擾動(dòng)的條件制約．因此在極坐標(biāo)下容易解出擾動(dòng)流向西延伸過(guò)程中的解析解,通過(guò)Bessel函數(shù)解出φ2,φ2可以寫成

(11)

(12)

將其應(yīng)用于漸近解知

(13)

斜壓流體的經(jīng)向傳播速度通常從渦旋向西運(yùn)動(dòng)過(guò)程中獲得,下層Rossby背風(fēng)波模式的中心最大值相對(duì)于上層渦流中心向東平移．推導(dǎo)出式(13)的解析解用作數(shù)值模擬的初始條件．這種方法消除了細(xì)尺度β環(huán)流典型的圓形渦流,沒(méi)有Rossby背風(fēng)波．

本文采用理想兩層模型與相關(guān)數(shù)值模擬,研究了在大尺度二次剪切流中忽略黏性嵌入斜壓渦旋,分析了二次剪切流對(duì)穩(wěn)定輻射斜壓渦旋的不穩(wěn)定性影響以及渦旋的壽命長(zhǎng)短．在研究中發(fā)現(xiàn),二次剪切基本流與渦流的色散關(guān)系再次證實(shí)了基本緯向流切變可以引起斜壓不穩(wěn)定性．利用Bessel函數(shù)的數(shù)值解可以解釋斜壓流體向西運(yùn)動(dòng)引起斜壓渦旋,且不斷產(chǎn)生Rossby波．緯向基本流體現(xiàn)出一個(gè)有趣的例子,即Rossby波的傳播軌跡由其所在的背景流產(chǎn)生,同時(shí)還提供了維持Rossby波傳播所具備的條件．因此,在大尺度大氣海洋中,基本流二次剪切是引起斜壓渦旋不穩(wěn)定性的主要原因,且二次切變下的擾動(dòng)流影響渦旋壽命的延續(xù),對(duì)延長(zhǎng)渦旋壽命有重大意義．

3 結(jié) 論

本文通過(guò)兩層大氣模式,采用上下兩層渦度對(duì)Rossby波振幅的色散關(guān)系進(jìn)行了研究．采用Bessel函數(shù)數(shù)值近似解的方法,考慮了中高緯度,緯向基本流在二次剪切下,對(duì)穩(wěn)定輻射斜壓PV的不穩(wěn)定性影響．刻畫出二次剪切流中Rossby波振幅與上下兩層渦流的演化及其色散關(guān)系．研究發(fā)現(xiàn)：Rossby波隨緯度變化的走向是緯向二次剪切流中誘發(fā)斜壓PV不穩(wěn)定性的因素之一,同時(shí)在二次切變下基本緯向流U(y)對(duì)斜壓流體的不穩(wěn)定性存在影響,以及對(duì)渦旋壽命的延伸起到一定的作用．