非均勻磁場(chǎng)下Maxwell磁納米流體的拉伸流動(dòng)與磁擴(kuò)散分析

吳學(xué)珂, 劉春燕, 白 羽, 張 艷

(1. 北京建筑大學(xué) 理學(xué)院, 北京 100044;2. 建筑結(jié)構(gòu)與環(huán)境修復(fù)功能材料北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 100044)

0 引 言

聚合物是經(jīng)聚合反應(yīng)生成的高分子化合物,而熔融的聚合物在力的作用下可以流動(dòng),是一類同時(shí)具有黏性和彈性的黏彈性流體[1]．在聚合物中加入納米顆?？捎行Ц纳凭酆衔锏男阅?提高其韌性和傳熱速率,在工業(yè)和生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用,增加了能源的利用率[2-3]．磁性納米顆粒具有磁性特征且具有納米顆粒的獨(dú)特效應(yīng),常見的磁性納米顆粒有金屬鐵、鈷、鎳、金屬氧化物Fe2O3和Fe3O4等,在熔融聚合物中加入微量的磁性納米顆粒,可以使材料的各種性能如導(dǎo)電性、導(dǎo)熱性、阻隔性等提高．Zainal等[4]應(yīng)用邊界層理論研究了包含電磁流體動(dòng)力學(xué)在拉伸板上復(fù)合納米流體的非穩(wěn)態(tài)常駐點(diǎn)流動(dòng)．Sheikholeslami等[5]研究了非均勻磁場(chǎng)對(duì)Fe3O4-水基納米流體強(qiáng)制對(duì)流換熱的影響．

對(duì)磁性納米流體施加外磁場(chǎng),可以在非接觸的條件下對(duì)其流動(dòng)產(chǎn)生影響．這種非接觸操控方式在實(shí)際操作中更便于實(shí)現(xiàn),且操控范圍廣,不受pH值、離子強(qiáng)度、表面電荷和溫度的影響[6]．在多數(shù)實(shí)際情況下,外加磁場(chǎng)是可變的,近年來,很多研究探討了非均勻磁場(chǎng)對(duì)納米流體流動(dòng)的影響．Sheikholeslami等[7]研究了變磁場(chǎng)下磁場(chǎng)力對(duì)納米流體傳熱的影響．Shaker等[8]研究了非均勻磁場(chǎng)對(duì)磁性納米流體在開腔通道內(nèi)混合對(duì)流換熱的影響,發(fā)現(xiàn)腔加熱壁的上角附近產(chǎn)生了渦流．磁流體力學(xué)(MHD)是結(jié)合經(jīng)典流體力學(xué)和電動(dòng)力學(xué)的方法研究導(dǎo)電流體和磁場(chǎng)相互作用的學(xué)科[9],在天體物理、地球物理、宇航工程、電磁學(xué)以及工程技術(shù)中都有廣泛的應(yīng)用．Bég等[10]研究了導(dǎo)電金屬流體在感應(yīng)磁場(chǎng)作用下的流動(dòng),發(fā)現(xiàn)增加磁參數(shù)會(huì)使速度提高、感應(yīng)磁場(chǎng)降低．Hayat等[11]采用有限差分格式數(shù)值計(jì)算了隨時(shí)間變化的黏性納米流體在感應(yīng)磁場(chǎng)中的流動(dòng), 并討論了Brown運(yùn)動(dòng)和熱泳運(yùn)動(dòng)．但在現(xiàn)有的關(guān)于非均勻磁場(chǎng)的數(shù)值模擬研究中, 尚未清楚闡明感應(yīng)磁場(chǎng)的物理機(jī)制．

考慮到黏彈性磁納米流體在流動(dòng)過程中的復(fù)雜特性[12],將分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)引入本構(gòu)關(guān)系能更靈活地描述黏彈性流體的性質(zhì)．楊旭等[13]基于分?jǐn)?shù)階微積分理論,采用空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)建立了圓管內(nèi)分?jǐn)?shù)階非Newton流體本構(gòu)模型,為非Newton流體的記憶特征提供了一種建模方法．Zhao等[14]通過在本構(gòu)關(guān)系中引入分?jǐn)?shù)階Maxwell剪切應(yīng)力和Cattaneo熱流模型,研究了Maxwell流體在平面上的非穩(wěn)態(tài)Marangoni對(duì)流換熱．然而上述模型中分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)參數(shù)固定,導(dǎo)致了有限的記憶特性和非局部特性,且無法準(zhǔn)確描述一些復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)過程,例如復(fù)合材料的流變特性[15]．分布階本構(gòu)模型是分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在參數(shù)值范圍內(nèi)的積分,具有不同的時(shí)間和空間特征[16],作為更有效的工具引起了很多學(xué)者的關(guān)注．Yang等[17]建立了空間分布階本構(gòu)關(guān)系來研究邊界層中的流動(dòng)和傳熱．Long等[18]基于Maxwell流體流動(dòng)和Cattaneo傳熱的傳統(tǒng)本構(gòu)關(guān)系,建立了分布階導(dǎo)數(shù)的非穩(wěn)態(tài)Marangoni對(duì)流邊界層流動(dòng)和傳熱模型．Liu等[19]將分布階導(dǎo)數(shù)引入Maxwell流體的本構(gòu)模型,并分析了相關(guān)參數(shù)的影響．

基于上述研究發(fā)現(xiàn),在感應(yīng)磁場(chǎng)作用下,非穩(wěn)態(tài)時(shí)間分布階的Maxwell磁納米流體流動(dòng)的問題很少有人研究．本文將時(shí)間分布階Maxwell本構(gòu)關(guān)系代入動(dòng)量方程,并與磁擴(kuò)散方程建立流動(dòng)和感應(yīng)磁場(chǎng)的控制方程,然后結(jié)合有限差分方法與L1算法獲得控制方程的數(shù)值解,最后分析相關(guān)參數(shù)對(duì)流動(dòng)和感應(yīng)磁場(chǎng)的影響．

1 數(shù) 學(xué) 模 型

時(shí)間分布階Maxwell流體的本構(gòu)方程為

(1)

其中,Γ(·)為Gamma函數(shù)．

考慮線性拉伸板上的二維不可壓縮非穩(wěn)態(tài)Maxwell磁納米流體的邊界層流動(dòng)問題,如圖1所示．建立二維直角坐標(biāo)系,其中x軸與平板平行,y軸垂直于平板．施加非均勻磁場(chǎng)He=H0(cos(x/L)+1),假設(shè)(u,v)和(H1,H2)分別是沿著板和垂直于板的速度和感應(yīng)磁場(chǎng)的分量,并假設(shè)感應(yīng)磁場(chǎng)的法向分量H2在壁處消失、平行分量H1在邊界層邊緣接近給定值．則時(shí)間分布階Maxwell磁納米流體的邊界層流動(dòng)和磁擴(kuò)散控制方程為

(2)

(3)

(4)

滿足下列初始條件和邊界條件：

(5)

圖1 物理模型示意圖

納米流體的物理性質(zhì)參數(shù)為

(6)

其中φ是磁性納米顆粒的體積分?jǐn)?shù),μf是流體的黏度,ρf和ρs分別是流體和磁性納米顆粒的密度,σf和σs分別是流體和磁性納米顆粒的電阻率．磁性納米顆粒鐵、鈷、Fe2O3和Fe3O4主要的物理性質(zhì)如表1所示[21-22]．

表1 磁性納米顆粒的物理性質(zhì)

對(duì)方程(2)—(5)進(jìn)行無量綱化：

(7)

其中M是磁參數(shù),Pr是磁Prandtl數(shù),Re是Reynolds數(shù),得到無量綱控制方程如下(為了方便,后面將省略標(biāo)記“*”)：

(8)

(9)

(10)

無量綱化后的初值和邊界條件為

(11)

因此,建立了二維非穩(wěn)態(tài)Maxwell磁納米流體的控制方程(8)—(11),方程(11)為相應(yīng)的初始條件和邊界條件．

2 數(shù)值差分格式

采用有限差分法與L1算法[23]相結(jié)合來求解耦合的二維分布階控制方程(8)—(11)．對(duì)時(shí)間和空間進(jìn)行網(wǎng)格劃分,設(shè)hx,hy分別為沿x軸和y軸的空間步長(zhǎng),τ為時(shí)間步長(zhǎng)．定義

其中Mx,My,N是網(wǎng)格劃分的數(shù)量．

定理1 設(shè)0

稱之為L(zhǎng)1算法,其基本思想是將被積函數(shù)中出現(xiàn)的f的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)直接用數(shù)值微分公式逼近,還可改寫為

(12)

其中cj=(j+1)1-α-j1-α,j=0,1,2,…,N．

根據(jù)中點(diǎn)Gauss求積規(guī)則,使用多個(gè)分?jǐn)?shù)項(xiàng)的加權(quán)和變換時(shí)間分布階分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù),可以獲得分布項(xiàng)的數(shù)值離散格式：

(13)

對(duì)于離散區(qū)域[0,1]中αr階的時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),利用定理1中的L1數(shù)值離散格式(13),可得到

(14)

(15)

其中

cr,0=1,cr,s=(s+1)1-αr-s1-αr,s=0,1,…,N．

將離散格式(12)、(14)和(15)代入控制方程(8)—(10)和初邊值條件(11),得到求解問題的數(shù)值差分格式．

3 結(jié) 果 分 析

利用第2節(jié)中的有限差分方法得到動(dòng)量方程和磁擴(kuò)散方程的數(shù)值解,并說明相關(guān)參數(shù)對(duì)速度和感應(yīng)磁場(chǎng)的影響．構(gòu)造解析解驗(yàn)證了差分格式的收斂性,如圖2所示．

圖2 數(shù)值解和解析解的比較

圖3和圖4描繪了磁性納米顆粒Fe2O3、Fe3O4、Fe和Co對(duì)速度和感應(yīng)磁場(chǎng)的影響．從圖3可以看出,密度相近的Fe2O3和Fe3O4納米顆粒對(duì)速度的影響幾乎相同,而密度最大的Co使流速受到最大限制,速度邊界層厚度最?。畯奈锢斫嵌瓤?當(dāng)磁性納米顆粒的體積分?jǐn)?shù)相同時(shí),密度越大,顆粒間的間隙越小,從而阻礙了流體的運(yùn)動(dòng)．圖4表明,添加的Fe2O3納米顆粒電阻率最小,則感應(yīng)磁場(chǎng)最大,磁邊界層厚度最厚;對(duì)于電阻率相近的Fe和Co,感應(yīng)磁場(chǎng)的分布幾乎相同．由于磁性納米顆粒的電阻率與電導(dǎo)率呈反比,所以當(dāng)電阻率增大時(shí),感應(yīng)磁場(chǎng)減?。?/p>

圖5和圖6為變化的磁參數(shù)M對(duì)Fe3O4納米流體速度和感應(yīng)磁場(chǎng)的影響．圖5中的曲線表明流動(dòng)的模式一致,流速值隨著磁參數(shù)的增加而降低．在非均勻磁場(chǎng)作用下,邊界層內(nèi)產(chǎn)生與流體運(yùn)動(dòng)方向相反的磁場(chǎng)力,所以當(dāng)M>0時(shí),磁場(chǎng)力對(duì)流體的速度起抑制作用,使得邊界層厚度變薄．當(dāng)M=0時(shí),無磁場(chǎng)力,Fe3O4納米流體速度由于內(nèi)摩擦阻力作用逐漸減?。鐖D6所示,在邊界層內(nèi)感應(yīng)磁場(chǎng)隨M的增大而增大．因?yàn)镸增大時(shí)磁導(dǎo)率增加,磁擴(kuò)散效應(yīng)顯著,從而感應(yīng)磁場(chǎng)增加．

圖3 不同磁性納米顆粒對(duì)速度的影響

圖5 不同M對(duì)速度的影響

圖7和圖8顯示了速度和感應(yīng)磁場(chǎng)隨磁性納米顆粒Fe3O4體積分?jǐn)?shù)φ的變化．當(dāng)φ增加時(shí),速度增大,邊界層厚度變厚,感應(yīng)磁場(chǎng)減?。捎诶彀宓倪\(yùn)動(dòng)導(dǎo)致固體顆粒運(yùn)動(dòng)增加,從而速度隨著磁納米顆粒的加入而增加．而在外加磁場(chǎng)的作用下,隨著φ的增加,速度的增大導(dǎo)致磁對(duì)流項(xiàng)增大,使得磁擴(kuò)散效應(yīng)減小,從而在邊界層內(nèi)感應(yīng)磁場(chǎng)減小．圖9和圖10顯示了松弛時(shí)間參數(shù)λ1對(duì)Fe3O4納米流體中速度和感應(yīng)磁場(chǎng)的影響．當(dāng)選擇權(quán)重系數(shù)ω1(α) =Γ(3-α),無量綱時(shí)間t=1時(shí),可以觀察到λ1越大,速度和感應(yīng)磁場(chǎng)越小,這是由于流體的黏性增加,阻礙了流體的運(yùn)動(dòng)進(jìn)而導(dǎo)致磁場(chǎng)減小,這和應(yīng)力松弛現(xiàn)象是一致的．

圖7 不同φ對(duì)速度的影響

圖9 不同λ1對(duì)速度的影響

4 結(jié) 論

磁性納米顆?？梢愿纳凭酆衔锏男阅?線性拉伸板上非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)與磁擴(kuò)散的研究為其提供了良好的理論基礎(chǔ)．本文利用分布階本構(gòu)模型,研究了黏彈性基磁納米流體在非均勻磁場(chǎng)下的二維不可壓縮邊界層流動(dòng),并考慮了高Reynolds數(shù)下的感應(yīng)磁場(chǎng)分布．將時(shí)間分布階Maxwell方程引入動(dòng)量方程,建立了速度和磁擴(kuò)散控制方程組．使用有限差分法和L1算法耦合求解偏微分方程組的數(shù)值解,并驗(yàn)證了收斂性,結(jié)合圖像分析了相關(guān)物理參數(shù)對(duì)速度和感應(yīng)磁場(chǎng)的影響．所得主要結(jié)論如下：Maxwell流體的速度和感應(yīng)磁場(chǎng)在添加Fe2O3納米顆粒時(shí)達(dá)到最大,此時(shí)速度邊界層和磁邊界層的厚度最厚;由于磁場(chǎng)力的影響,增大的磁參數(shù)阻礙了流體的運(yùn)動(dòng),增強(qiáng)了磁擴(kuò)散;隨著Fe3O4納米流體體積分?jǐn)?shù)增加,速度增大,感應(yīng)磁場(chǎng)減小;此外,較高的松弛時(shí)間參數(shù)會(huì)使Maxwell流體的流動(dòng)和磁場(chǎng)的擴(kuò)散減弱．因此,本文從數(shù)值解的角度研究了添加磁性納米顆粒的熔融聚合物在非均勻磁場(chǎng)下的邊界層拉伸流動(dòng)與磁擴(kuò)散,對(duì)制備出高性能的聚合物材料具有重要意義．

致謝本文作者衷心感謝北京建筑大學(xué)金字塔人才培養(yǎng)工程項(xiàng)目(JDYC20220829)、北京建筑大學(xué)促進(jìn)高校內(nèi)涵發(fā)展定額項(xiàng)目(X21027)和北京建筑大學(xué)研究生創(chuàng)新項(xiàng)目(PG2023144)對(duì)本文的資助．