楊輝三角的“前世今生”

黃 雨 蘇里陽(yáng)

(1.淮南第二中學(xué) 2.淮南市教研室)

楊輝三角是我國(guó)數(shù)學(xué)史上一顆璀璨的明珠,是我國(guó)為數(shù)不多的居于世界前列的數(shù)學(xué)成就,它的發(fā)現(xiàn)比歐洲的帕斯卡三角形早了近600年,是非常值得中華民族自豪的.而今天的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者中大多數(shù)人已經(jīng)不知道楊輝三角的發(fā)現(xiàn)者是誰(shuí),對(duì)楊輝三角的知識(shí)背景知之甚少.人教A版教材選擇性必修三第39頁(yè)有個(gè)專題是《楊輝三角的性質(zhì)及應(yīng)用》,但由于教師和學(xué)生的不重視,忽視對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)文化的繼承和發(fā)揚(yáng),導(dǎo)致最近的一次數(shù)學(xué)測(cè)試中,命題者問(wèn)楊輝三角是誰(shuí)發(fā)現(xiàn)的,92.8%的人憑慣性思維選擇是楊輝,一個(gè)5分的選擇題,平均分僅有0.36分.故筆者認(rèn)為有必要在這里探討一下楊輝三角的知識(shí)背景、性質(zhì)及應(yīng)用.

一、爭(zhēng)論

學(xué)術(shù)界和網(wǎng)絡(luò)上都存在著對(duì)楊輝三角發(fā)現(xiàn)者的爭(zhēng)論,有人認(rèn)為是楊輝、有人認(rèn)為是賈憲、還有人認(rèn)為要早于賈憲.

首先我們要明白一個(gè)規(guī)則:史學(xué)家研究歷史通常來(lái)自兩個(gè)方面,一個(gè)是文字,一個(gè)是文物.既無(wú)文字記載,又無(wú)文物印證,僅憑猜測(cè)和想象是無(wú)效的.

楊輝三角原本叫“開(kāi)方作法本源”圖(如圖1(1)),由元代數(shù)學(xué)家朱世杰推廣成“古法七乘方圖”(如圖1(2)),近代數(shù)學(xué)家華羅庚等人稱其為楊輝三角.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中曾記載“出釋鎖算書(shū),賈憲用此術(shù)”.此段話記載在明《永樂(lè)大典》中,因?yàn)榘藝?guó)聯(lián)軍的入侵,《永樂(lè)大典》所抄錄楊輝原著被掠走,今存英國(guó)劍橋大學(xué)博物館,國(guó)內(nèi)僅存楊氏專著數(shù)十頁(yè).

圖1(1)

賈憲,北宋人,身世所知甚少,有文字記載:近世司天算,師從楚衍,運(yùn)算亦妙,有書(shū)傳于世.賈憲的學(xué)術(shù)專著久佚,幸賴南宋楊輝所著算法較多,保存了很多賈憲的方法,如釋鎖開(kāi)方與增乘開(kāi)方.賈憲開(kāi)方作法本源圖,恰是二項(xiàng)六次式的展開(kāi)式系數(shù)表,圖下有五句話說(shuō)明,“左袤乃積數(shù),右袤乃隅算.中藏者皆廉,以廉乘商方,命實(shí)而除之.”大體說(shuō),賈憲是用這張表所示系數(shù)借以開(kāi)方,所以他名此表為“開(kāi)方作法本源”,這些名詞在釋鎖開(kāi)方中也都出現(xiàn)過(guò).

從上述文獻(xiàn)中我們可以發(fā)現(xiàn),現(xiàn)有史料中有明確記載的就是賈憲首先使用了“開(kāi)方作法本源”,并為之命名.

二、性質(zhì)

楊輝三角有很多有趣的性質(zhì),筆者就常見(jiàn)并重要的性質(zhì)結(jié)合組合數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行分析.其中m,n∈N.

圖2

圖3

圖4

圖5

5.將楊輝三角左對(duì)齊,對(duì)角線求和得到斐波那契數(shù)列,如圖6.

圖6

斐波那契(Fibonacci,約1175—1250),中世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家,是西方第一個(gè)研究斐波那契數(shù)的人,并將現(xiàn)代書(shū)寫(xiě)數(shù)和乘數(shù)的位值表示法系統(tǒng)引入歐洲.

圖7

7.將楊輝三角中的奇數(shù)涂黑,得到謝爾賓斯基三角形,如圖8.

圖8

8.除了第二層自然數(shù)列包含了素?cái)?shù)以外,其他部分的數(shù)字都完美避開(kāi)了素?cái)?shù),如圖9.

圖9

9.可以被特定數(shù)整除的數(shù)字形成了奇妙的分形結(jié)構(gòu).如圖10(1)—(4),分別是能被2,3,4,5整除的數(shù)涂黑后的分形結(jié)構(gòu)圖.

圖10(1)

圖11

三、應(yīng)用

【例1】如圖12,在楊輝三角中,斜線l的上方從1按箭頭所示方向可以構(gòu)成一個(gè)“鋸齒形”數(shù)列:1,3,3,4,6,5,10,…,則這個(gè)數(shù)列的第19項(xiàng)為

圖12

( )

A.55 B.110 C.58 D.220

【點(diǎn)評(píng)】本題利用了楊輝三角的第4條性質(zhì),斜向第三列為三角形數(shù)列,易解.

【例2】楊輝三角中的第5行除去兩端數(shù)字1以外,均能被5整除,則具有類似性質(zhì)的行是

( )

A.第6行 B.第7行

C.第8行 D.第9行

【解析】由題意,第6行為:1 6 15 20 15 6 1,第7行為:1 7 21 35 35 21 7 1,

故第7行除去兩端數(shù)字1以外,均能被7整除,故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題利用了楊輝三角的第9條性質(zhì),易解.

【例3】以下數(shù)表源于“楊輝三角”的原理,該表由若干行數(shù)字組成,從第二行起,每一行的數(shù)字均等于其肩上兩數(shù)之和,表中的最后一行僅有一個(gè)數(shù)為

( )

1 2 3 4 5 …… 2013 2014 2015 2016
3 5 7 9 ………… 4027 4029 4031
8 12 16 ……………… 8059 8060
20 28 …………………… 16116

A.2017×22015B.2017×22014

C.2016×22015D.2016×22014

【解析】由題意,共有2 016行,第1行的第1個(gè)數(shù)字為(1+1)×2-1,第2行的第1個(gè)數(shù)字為(2+1)×20,第3行的第1個(gè)數(shù)字為(3+1)×21,…,第2 016行的第1個(gè)數(shù)字為(2016+1)×22014,故選B.

【點(diǎn)評(píng)】類比得到楊輝三角性質(zhì)的過(guò)程,進(jìn)行歸納推理,得出結(jié)果.

【例4】如圖13所示是豎直平面內(nèi)的一個(gè)“通道游戲”,圖中豎直線段和斜線段都表示通道,并且在交點(diǎn)處相遇.若有一條豎直的線段為第一層,第二條豎直線段為第二層,以此類推.現(xiàn)有一顆小球從第一層的通道向下運(yùn)動(dòng),在通道的交叉處,小球可以落入左右兩個(gè)通道中的任意一個(gè),記小球落入第n層的第m個(gè)豎直通道(從左往右計(jì))的不同路徑數(shù)為A(n,m)(m,n∈N*).

圖13

(1)求A(3,2),A(3,3),A(4,3)的值.

(2)猜想A(n,m)的表達(dá)式(不必證明),并求不等式A(10,m)≤84的解集.

【解析】(1)A(3,2)=2,A(3,3)=1,A(4,3)=3;

【點(diǎn)評(píng)】利用楊輝三角中的數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的關(guān)系.

【例5】如圖14,把楊輝三角左對(duì)齊排列,將同一條斜線上的數(shù)字求和,會(huì)得到一個(gè)數(shù)列{an},其中a1=1,a2=1,a3=2,a4=3,…設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.

圖14

(1)求a8的值,并寫(xiě)出an,an+1,an+2滿足的遞推關(guān)系式(不用證明);

(2)記a2022=m,用m表示S2020.

【解析】(1)由楊輝三角的性質(zhì)可知,此數(shù)列為斐波那契數(shù)列.

故a8=21,an+2=an+1+an.

(2)因?yàn)閍3=a2+a1,

a4=a3+a2,

a5=a4+a3,

……

a2021=a2020+a2019,

a2022=a2021+a2020,

相加得a2022-a2=S2020,

所以S2020=m-1.

【點(diǎn)評(píng)】本題利用楊輝三角的第5條性質(zhì),構(gòu)成斐波那契數(shù)列.

楊輝三角還有很多有趣的性質(zhì),讀者可以查閱資料,發(fā)掘更多有趣的內(nèi)容.楊輝三角的應(yīng)用也非常廣泛,在信息技術(shù)、概率統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域都有其身影,希望讀者能繼承我國(guó)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化,感悟數(shù)學(xué)價(jià)值,并發(fā)揚(yáng)光大,讓世人知曉.