立足核心素養(yǎng) 培養(yǎng)關(guān)鍵能力
——2023年全國(guó)乙卷解幾大題的多解、推廣及變式探究

王東海

(安徽省合肥市肥東縣城關(guān)中學(xué))

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題一直是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn),在這類考題的命題中往往都是探求一些特殊結(jié)論,這些結(jié)論看似特殊,實(shí)則往往都具有普遍性.我們?cè)诮獯鹂碱}后要深入拓展到一般情況,還要注意探尋其他圓錐曲線的對(duì)偶性質(zhì).下面以2023年高考全國(guó)乙卷(理科)第20題的圓錐曲線試題的變式探究為例進(jìn)行說(shuō)明.

1 真題呈現(xiàn)

(Ⅰ)求C的方程;

(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)(-2,3)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),直線AP,AQ與y軸的交點(diǎn)分別為M,N,證明:線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn).

【分析】該題考查了學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng),具有很好的選拔功能.第(Ⅰ)問(wèn)求橢圓方程,難度較低.

第(Ⅱ)問(wèn)證明定點(diǎn)既可用常規(guī)的直曲聯(lián)立處理,又可采取齊次化加以解決,還能使用定比插參的技巧求解.考題簡(jiǎn)潔但具有較大探究空間.

圖1 考題曲線圖

2 解法探究

【評(píng)注】先設(shè)出直線并與橢圓聯(lián)立,再設(shè)而不求結(jié)合韋達(dá)定理表示出M,N中點(diǎn)的縱坐標(biāo),最后消去參變量可得中點(diǎn)為定點(diǎn),這是處理此類問(wèn)題的通解通法.但對(duì)學(xué)生計(jì)算能力要求較高.

【評(píng)注】此解法直曲不聯(lián)立,而是通過(guò)巧妙設(shè)點(diǎn),利用點(diǎn)在橢圓上等坐標(biāo)間的運(yùn)算處理此題.此解法在設(shè)出P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)采取向左平移2個(gè)單位的設(shè)法,是解題的關(guān)鍵.

【評(píng)注】考慮到點(diǎn)P,Q在橢圓上,從而設(shè)點(diǎn)時(shí)采取半角換元的設(shè)點(diǎn)方法,可使計(jì)算量變少.

【評(píng)注】本解法先將整個(gè)圖形向右平移,使得兩直線AP,AQ的斜率之和易求,再用齊次化技巧表示出斜率之和,從而與之關(guān)聯(lián)的中點(diǎn)坐標(biāo)可以求出.

【評(píng)注】利用過(guò)兩條直線的曲線系恰為考題所給橢圓,對(duì)比兩者之間系數(shù),從而得中點(diǎn)為定點(diǎn).

【評(píng)注】本解法先將三點(diǎn)共線所得比例設(shè)為定比λ,再用λ表示出所求中點(diǎn)縱坐標(biāo),后消去λ即可得中點(diǎn)為定點(diǎn).

3 背景探究

近年來(lái),命題者開(kāi)始挖掘高等幾何中一些素材來(lái)命制高考中的圓錐曲線試題,而這其中被關(guān)注的較多的是具有極線背景的圓錐曲線試題.本題有著豐富的射影幾何背景,克萊因曾說(shuō):基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的教師應(yīng)該站在更高的視角來(lái)審視、理解初等數(shù)學(xué)問(wèn)題,只有觀點(diǎn)高了,事物才能顯得簡(jiǎn)單明了.為了將原理闡述清楚,下面先共同來(lái)探討一下本題涉及的概念和性質(zhì):

3.1 調(diào)和點(diǎn)列和調(diào)和線束

【調(diào)和線束定義】如果直線上點(diǎn)列A,B,C,D為調(diào)和點(diǎn)列,則此直線外一點(diǎn)M分別與這四點(diǎn)相連接形成的四條直線稱為調(diào)和線束.

【定理1】任意一條不經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的直線與調(diào)和線束中的每一條直線都相交,那么四個(gè)交點(diǎn)依然成調(diào)和點(diǎn)列.

3.2 極點(diǎn)、極線

【代數(shù)定義】設(shè)兩點(diǎn)C,D的連線與圓錐曲線Γ相交于A,B,若線段AB被C,D調(diào)和分割,則稱C,D是關(guān)于圓錐曲線Γ的一對(duì)調(diào)和共軛點(diǎn).而一點(diǎn)P關(guān)于圓錐曲線Γ的所有調(diào)和共軛點(diǎn)的軌跡為一條直線p,此時(shí)稱直線p為點(diǎn)P(關(guān)于Γ)的極線,點(diǎn)P稱為直線p(關(guān)于Γ)的極點(diǎn).簡(jiǎn)稱極.

【性質(zhì)2】點(diǎn)P是圓錐曲線G的一個(gè)極點(diǎn),它對(duì)應(yīng)的極線為l,過(guò)點(diǎn)P任意引一條直線交l于點(diǎn)Q,交G于點(diǎn)A,B,若點(diǎn)A是位于P,Q間的點(diǎn),則P,Q必調(diào)和分割線段AB.

運(yùn)用上述背景知識(shí),此題可以高觀點(diǎn)低運(yùn)算進(jìn)行處理:

這道高考題是利用直線截調(diào)和線束所得交點(diǎn)仍成調(diào)和點(diǎn)列這一極點(diǎn)極線的性質(zhì),并考慮高中生能力可做來(lái)進(jìn)行命題的.掌握了這一命題背景,還可利用y軸以外的其他直線去截調(diào)和線束,從而命制多個(gè)考題.比如用x軸、其他直線去截調(diào)和線束等.

4 變式探討

4.1 條件變式

簡(jiǎn)證：采用下面拓展推廣的結(jié)論3證法,得變式1,2,3的線段MN的中點(diǎn)分別為定點(diǎn)A,T,T.

4.2 類比變式

【變式5】過(guò)拋物線C:y2=4x外一點(diǎn)B(-2,1)的直線與C交于P,Q兩點(diǎn),過(guò)B點(diǎn)作橢圓C的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,T兩點(diǎn),過(guò)T點(diǎn)作平行于AB的直線l,直線AP,AQ與l的交點(diǎn)分別為M,N,證明:線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn).

【變式6】過(guò)點(diǎn)B(-4,3)的直線交圓C:(x-2)2+(y-1)2=1于P,Q兩點(diǎn),過(guò)B點(diǎn)作圓C的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,T兩點(diǎn),過(guò)T點(diǎn)作平行于AB的直線l,直線AP,AQ與l的交點(diǎn)分別為M,N,證明:線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn).

簡(jiǎn)證：也采用下面拓展推廣的結(jié)論3證法,得變式4,5,6的線段MN的中點(diǎn)分別為定點(diǎn)T.

5 拓展推廣

由上面的分析,可得線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)T.那么此結(jié)果是偶然還是必然呢?考慮將考題第(Ⅱ)問(wèn)推廣至一般情形,可得下面結(jié)論:

若將上面的橢圓變?yōu)榻裹c(diǎn)在x軸上的橢圓,則可得:

若再將截調(diào)和線束的直線x,y軸推廣至一般的平行線時(shí),則可得:

圖2 結(jié)論3曲線圖

6 逆向探究

若將結(jié)論3的條件與結(jié)論反過(guò)來(lái),考慮其逆命題是否成立?

圖3 結(jié)論4曲線圖

圖4 例題1曲線圖

7 類比探究

將橢圓的結(jié)論3,4類比到雙曲線及拋物線,可得以下幾個(gè)結(jié)論:

【結(jié)論7】過(guò)拋物線C:y2=2px(p>0)外一點(diǎn)B(m,n)的直線與C交于P,Q兩點(diǎn),B點(diǎn)關(guān)于C的極線交C于A,T兩點(diǎn),過(guò)T點(diǎn)作平行于AB的直線l,直線AP,AQ與l的交點(diǎn)分別為M,N,則線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)T.

【結(jié)論8】過(guò)拋物線C:y2=2px(p>0)外一點(diǎn)B(m,n)的直線與C交于P,Q兩點(diǎn),過(guò)B點(diǎn)作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,C,過(guò)P點(diǎn)作平行于AB(AC)的直線l,直線AC與l的交點(diǎn)為T,且P關(guān)于T的對(duì)稱點(diǎn)為N,則直線QN必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A或C.

8 高考溯源

在圓錐曲線的考查中,此類定點(diǎn)問(wèn)題近幾年經(jīng)常出現(xiàn),時(shí)常會(huì)成為學(xué)生心中的“痛點(diǎn)”,但如果掌握了極點(diǎn)極線的相關(guān)理論,則能夠比較輕松地啃下這個(gè)“痛點(diǎn)”.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅰ)求E的方程;

圖5 例題2曲線圖

9 結(jié)語(yǔ)

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,時(shí)常會(huì)遇到各種各樣的問(wèn)題,這時(shí)我們不能滿足于將問(wèn)題解決了就萬(wàn)事大吉,而是要進(jìn)一步進(jìn)行探究.我們可以將問(wèn)題一般化,進(jìn)行拓展研究,還可以進(jìn)行變式研究,怎么樣能讓學(xué)生深刻掌握.總之,探究必須植根于具體問(wèn)題之中,探究是一個(gè)計(jì)劃、行動(dòng)、反思,再計(jì)劃、再行動(dòng)、再反思的過(guò)程.探究是一把金鑰匙,能夠幫助我們打開(kāi)智慧殿堂的大門,教學(xué)中要為學(xué)生提供探究的機(jī)會(huì),讓學(xué)生在探究中體會(huì)到學(xué)習(xí)的快樂(lè),讓探究成為一種習(xí)慣.