導(dǎo)數(shù)壓軸題的多視角解法探究及其背景溯源
——以2023年天津卷與全國(guó)甲卷文科導(dǎo)數(shù)壓軸題為例

郭 蒙

(陜西省榆林市吳堡中學(xué))

本文以多視角探究2023年天津卷高考數(shù)學(xué)與全國(guó)甲卷文科數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)壓軸題的解法,揭示試題背后的背景,這兩道題綜合性強(qiáng),區(qū)分度高,滿(mǎn)足了高考選拔高層次人才的要求,非常有必要探究.

1.高考試題呈現(xiàn)

(1)當(dāng)a=1時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)+sinx<0,求a的取值范圍.

(1)求曲線(xiàn)y=f(x)在x=2處切線(xiàn)的斜率;

(2)當(dāng)x>0時(shí),證明:f(x)>1;

甲卷文科導(dǎo)數(shù)題將導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)巧妙地結(jié)合起來(lái),通過(guò)對(duì)導(dǎo)函數(shù)的分析,考查函數(shù)的單調(diào)性等相關(guān)問(wèn)題,通過(guò)導(dǎo)數(shù)、函數(shù)不等式等知識(shí),深入考查了分類(lèi)討論、化歸與轉(zhuǎn)化的思想,難度較大.甲卷第一問(wèn),天津卷前兩問(wèn)都屬于基礎(chǔ)題,試題難度上進(jìn)行了合理控制,體現(xiàn)了學(xué)科知識(shí)本質(zhì)的基礎(chǔ)性,落實(shí)了高考內(nèi)容改革,考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的深刻理解及融會(huì)貫通的應(yīng)用.甲卷(2)問(wèn)聚焦學(xué)科核心素養(yǎng),立意新穎,計(jì)算量大,巧妙地將一次函數(shù)、三角函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性等融合在一起,創(chuàng)新性極高.天津卷(3)問(wèn)以斯特林公式、階乘等價(jià)量為背景,第三問(wèn)繼前一問(wèn)函數(shù)不等式進(jìn)行應(yīng)用,結(jié)合數(shù)列單調(diào)性思想,體現(xiàn)了函數(shù)與不等式的和諧統(tǒng)一,彰顯了試題的綜合性.

2.解法探究

2.1 甲卷試題解法探究

2.1.1 第(1)問(wèn)的解法

2.1.2 第(2)問(wèn)的證明

結(jié)論1：若f(x)≥0在[a,b](a,b為常數(shù))上恒成立,且f(a)=0(或f(b)=0),則f′(a)≥0(或f′(b)≤0).

【證明】因?yàn)閒(x)≥0在[a,b]上恒成立,且f(a)=0,所以存在t∈(a,b],使得f(x)在[a,t]上單調(diào)遞增,因此f′(x)≥0在[a,t]上恒成立,故f′(a)≥0.(f′(b)≤0證明方法類(lèi)似)

結(jié)論2：若f(x)≥0在[a,b](a,b為常數(shù))上恒成立,且f(a)=0,f′(a)=0(或f(b)=0,f′(b)=0),則f″(a)≥0(或f″(b)≤0).

【證明】因?yàn)閒(x)≥0在[a,b]上恒成立,且f(a)=0,所以存在t∈(a,b],使得f(x)在[a,t]上單調(diào)遞增,因此f′(x)≥0在[a,t]上恒成立,又因?yàn)閒′(a)=0,所以存在δ∈(a,t],使得f′(x)在[a,δ]上單調(diào)遞增,因此f″(x)≥0在[a,δ]上恒成立,故f″(a)≥0.(f″(b)≤0證明方法類(lèi)似)

【評(píng)注】端點(diǎn)效應(yīng)是必要性探路的一種特殊情況,利用端點(diǎn)效應(yīng)求出的參數(shù)范圍并不一定就是所求的實(shí)際范圍,必須檢驗(yàn)充分性.利用端點(diǎn)效應(yīng)可以縮小參數(shù)的討論范圍,減少分類(lèi)討論的類(lèi)別,降低思維的成本.

解法一(端點(diǎn)效應(yīng))

【評(píng)注】本題可利用端點(diǎn)效應(yīng)求解,并且證明充分性成立,即可證明充要性,2016年全國(guó)Ⅱ卷文科第20題,2017年全國(guó)Ⅱ卷文科數(shù)學(xué)第21題,2019年全國(guó)Ⅰ卷文科數(shù)學(xué)第20題,2022年全國(guó)Ⅱ卷第22題都可利用端點(diǎn)效應(yīng)完美解答.利用端點(diǎn)效應(yīng)可縮小參數(shù)的范圍,使得分類(lèi)討論的問(wèn)題得到簡(jiǎn)化,端點(diǎn)效應(yīng)為我們用分類(lèi)討論解題提供了參數(shù)的分界點(diǎn).

解法二(連續(xù)函數(shù)保號(hào)性)

當(dāng)a≤0時(shí),由解法一的充分性可知,滿(mǎn)足題意.

【評(píng)注】利用必要性探路可得到參數(shù)的分界點(diǎn),以此分界點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)討論,進(jìn)而完美的解答了此題.

解法三(零點(diǎn)存在定理)

【評(píng)注】此解法計(jì)算量較大,要求學(xué)生要有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,參數(shù)a的分界點(diǎn)可以利用端點(diǎn)效應(yīng)得到,當(dāng)a>0時(shí),我們用零點(diǎn)存在定理推導(dǎo)出矛盾.高考導(dǎo)數(shù)題,命題人更傾向于考查學(xué)生分類(lèi)討論思想的運(yùn)用能力.

解法四(切線(xiàn)放縮法)

【評(píng)注】本解法要求學(xué)生具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,當(dāng)a>0時(shí),利用切線(xiàn)放縮,推導(dǎo)出矛盾,進(jìn)而得出參數(shù)的取值范圍.

解法五(分離參數(shù))

【評(píng)注】本題參數(shù)a容易分離出來(lái),但導(dǎo)函數(shù)比較復(fù)雜,為了得到導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),我們又構(gòu)造了函數(shù)m(x),利用導(dǎo)數(shù)得到了m(x)>0,進(jìn)而得到了h(x)為單調(diào)遞增函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)定義求出了參數(shù)a的范圍,完美避開(kāi)了由洛必達(dá)法則計(jì)算極限的問(wèn)題.

解法六(凹凸性)

【評(píng)注】借助函數(shù)凸凹性以及切線(xiàn)斜率幾何意義,極大地簡(jiǎn)化了問(wèn)題,使得問(wèn)題迎刃而解,提升了學(xué)生的直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

2.2 天津卷試題解法探究

2.2.1 第(1)問(wèn)的解法

【評(píng)注】第(1)問(wèn)屬于常規(guī)題型,突出基礎(chǔ)性要求.

2.2.2 第(2)問(wèn)的證明

證法一(對(duì)數(shù)單身狗)

【評(píng)注】利用“對(duì)數(shù)單身狗”,將對(duì)數(shù)型函數(shù)獨(dú)立出來(lái),構(gòu)造函數(shù),只需求一次導(dǎo)數(shù),就可以證明不等式,降低了試題難度.

證法二(二階導(dǎo)數(shù))

【評(píng)注】利用二階導(dǎo)數(shù)證明此不等式,難度大于方法一,從中也能看出對(duì)數(shù)單身狗可以降低試題難度,簡(jiǎn)化解題過(guò)程.

2.2.3 第(3)問(wèn)的證明

證法一(數(shù)列單調(diào)性)

【評(píng)注】第(3)問(wèn)右邊等式比較容易證明,由于1=a1,猜測(cè){an}單調(diào)遞減,因此只需證明{an}是遞減數(shù)列即可.

證法二(飄帶放縮)

證法一(飄帶放縮)

證法二(拆和法)

證法三(構(gòu)造函數(shù))

【評(píng)注】利用第二問(wèn)的結(jié)論,構(gòu)造函數(shù),將不等式放縮,再利用裂項(xiàng)相消法,證明了不等式,ln2≈0.693.

證法四(帕德逼近)

2.3 背景溯源

甲卷解法七(泰勒公式)

【評(píng)注】泰勒公式為我們解題提供了新的視角,并且可以明確出題人的命題思路,看透題目的本質(zhì),以泰勒公式為背景命題,立意新穎,創(chuàng)新性極高,為學(xué)生高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)做鋪墊,具有選拔人才的作用,利用高觀點(diǎn)可以溯其源,究其本,在學(xué)習(xí)中可以適當(dāng)給學(xué)生滲透相關(guān)知識(shí),這樣可以讓師生深入剖析試題,準(zhǔn)確把握命題的方向.在考試中,可以利用泰勒公式迅速得到參數(shù)的答案,做到心中有數(shù),利用分類(lèi)討論等方法完美解答問(wèn)題.

天津卷證法五

【評(píng)注】斯特林公式為我們解題提供了新的視角,并且可以明確出題人的命題思路,看透題目的本質(zhì),以斯特林公式為背景命題,立意新穎,創(chuàng)新性極高,為學(xué)生高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)做鋪墊,具有選拔人才的作用,利用高觀點(diǎn)可以溯其源,究其本,今年這道高考題解法很多,讀者可以嘗試用數(shù)學(xué)歸納法等方法解答,ln2≈0.693,ln3≈1.099.

3.結(jié)語(yǔ)

2023年甲卷這道高考題,將三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)緊密聯(lián)系起來(lái),是一道非常精彩的壓軸題,難度較大,創(chuàng)新性極高,真正起到了高校選拔性考試的作用.端點(diǎn)效應(yīng)是解決含參數(shù)不等式恒成立問(wèn)題的一個(gè)有力武器.天津卷高考導(dǎo)數(shù)壓軸題,經(jīng)常引入高等數(shù)學(xué)背景下的數(shù)學(xué)問(wèn)題,如2017,2019,2020,2022年分別以劉維爾不等式、拉格朗日中值定理、函數(shù)凹凸性、柯西不等式為背景,高等數(shù)學(xué)是初等數(shù)學(xué)的延伸和發(fā)展,高考作為高校的選拔性考試,一直關(guān)注兩者的銜接,在交匯點(diǎn)命題,這樣設(shè)計(jì)的試題,立意高遠(yuǎn),角度新穎,可以高屋建瓴地看問(wèn)題.通過(guò)多種視角探究問(wèn)題,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力和創(chuàng)新精神,提高學(xué)生的解題能力,培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).用高觀點(diǎn)來(lái)指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)是很有必要的,高等數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)的有機(jī)結(jié)合,將問(wèn)題化難為易.很多問(wèn)題只有在高觀點(diǎn)下才能理解得更深刻,才能探索出數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì),因此在高三復(fù)習(xí)階段,師生應(yīng)重視基礎(chǔ),通過(guò)數(shù)形結(jié)合感受性質(zhì),重視導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)、數(shù)列等多元的融合,適當(dāng)滲透高觀點(diǎn)去探究問(wèn)題的本質(zhì),開(kāi)闊解題思路,提高學(xué)生分析問(wèn)題,解決問(wèn)題的能力,進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng),希望本文對(duì)讀者的學(xué)習(xí)有一定的啟發(fā)作用.