研形理數(shù) 思辨求真 真題“化”作業(yè)

【摘? 要】? 對(duì)2023年陜西中考13題從試題結(jié)構(gòu)、知識(shí)能力、思維障礙、解法探究、作業(yè)設(shè)計(jì)等角度進(jìn)行深度分析，提出雕刻試題讓思維進(jìn)階、技術(shù)賦能助思維成長(zhǎng)、從核心概念出發(fā)構(gòu)建知識(shí)體系，育高階深度思維品質(zhì).

【關(guān)鍵詞】? 幾何直觀;數(shù)形結(jié)合;作業(yè);數(shù)學(xué)見(jiàn)識(shí)

1? 試題呈現(xiàn)? 圖1

（陜西省2023年中考數(shù)學(xué)第13題）如圖1，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)E在邊AD上，且ED=3，M，N分別為邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且BM=BN，P是線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，連接PM，PN，若PM+PN=4，則線段PC的長(zhǎng)為.2? 試題簡(jiǎn)析

試題屬于填空壓軸題，以矩形為載體，隱藏角平分線、等腰直角三角形，構(gòu)造內(nèi)涵豐富、思辨靈動(dòng)的圖形空間.試題綜合考查學(xué)生靈活運(yùn)用矩形性質(zhì)定理、軸對(duì)稱性質(zhì)、平行線之間的距離和勾股定理知識(shí)，設(shè)問(wèn)指向能力立意評(píng)價(jià).

從知識(shí)層面分析：學(xué)生已有解題經(jīng)驗(yàn)是已知?jiǎng)狱c(diǎn)求線段和最小值問(wèn)題，“最短路徑”模型印象深刻.但本題反其道而行之，以線段和為條件，隱去“最值”關(guān)鍵詞，將“最值”轉(zhuǎn)化為“PM+PN=4”的條件，“4”是矩形的長(zhǎng)，“4”也可以描述為平行線AB與CD之間的距離，初中階段幾何最值問(wèn)題主要圍繞“兩點(diǎn)之間線段最短”“連接直線外一點(diǎn)與直線上點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”為知識(shí)基礎(chǔ)，借助軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)等變換進(jìn)行研究.點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線、點(diǎn)與形的關(guān)系是幾何核心內(nèi)容，定量確定特殊線，定性確定特殊點(diǎn)，從整體到局部，從一般到特殊，滲透、類比、化歸、數(shù)形結(jié)合、特殊一般等數(shù)學(xué)思想，把不熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題.

從能力層面解析：試題在矩形中隱藏角平分線，構(gòu)造等腰直角三角形，關(guān)注知識(shí)脈絡(luò)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目信息進(jìn)行深加工，通過(guò)“為形配數(shù)”和“賦形以數(shù)”，用數(shù)的精確性闡明形的對(duì)稱性，依托形直觀刻畫(huà)“PM+PN=4”，構(gòu)建直觀模型實(shí)現(xiàn)“數(shù)”“形”的雙向并進(jìn)與融通，學(xué)生實(shí)現(xiàn)從“看到”到“想到”，學(xué)生感受到數(shù)形結(jié)合的“精妙”，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生理性的幾何直觀和空間想象能力拾級(jí)而上，合乎邏輯的思維習(xí)慣、實(shí)事求是的理性精神得到有效培養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的落地.

從思維障礙探析：

1.學(xué)生沒(méi)有發(fā)現(xiàn)ED=3的隱含結(jié)論.矩形圖中隱含著Rt△EDC，線段CE是斜邊也是∠BCD的平分線.當(dāng)CE承擔(dān)對(duì)稱軸的作用時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)PM+PN化折為直；當(dāng)CE發(fā)揮角平分線的作用時(shí)，根據(jù)角平分線性質(zhì)添加輔助線，構(gòu)造“新的矩形”.Rt△EDC可以通過(guò)題中條件ED=3得到，也可以通過(guò)觀察圖形發(fā)現(xiàn)其特殊性.沒(méi)有發(fā)現(xiàn)這個(gè)隱含條件，說(shuō)明學(xué)生的“數(shù)感”“圖感”經(jīng)驗(yàn)有限.

2.學(xué)生對(duì)“最短路徑”模型最深的印象是線段和最小，題目中沒(méi)有給出“最小”關(guān)鍵詞，導(dǎo)致無(wú)法調(diào)取解題模型和解題經(jīng)驗(yàn)，說(shuō)明學(xué)生模型的理解停留在“記憶再現(xiàn)”層級(jí)，并沒(méi)有真正理解模型的本質(zhì)與核心要素.

3.當(dāng)學(xué)生看到PM+PN=4，從解題經(jīng)驗(yàn)知道要化折為直，但對(duì)數(shù)字“4”不夠靈敏，矩形長(zhǎng)“4”隱含折直變換后恰與矩形邊平行.對(duì)條件BN=BM不知如何使用.說(shuō)明學(xué)生有問(wèn)題線索的意識(shí)，但無(wú)法將多個(gè)信息點(diǎn)有機(jī)聯(lián)系起來(lái).

4.部分學(xué)生推理正確但運(yùn)算失誤，還有學(xué)生看到動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、看到這個(gè)題位即選擇放棄.如果用爬山形容中考答卷，逾山望遠(yuǎn)山，峰巒疊翠，志強(qiáng)者智達(dá).

幾何最值問(wèn)題的探究對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，特別是創(chuàng)新能力的培養(yǎng)、核心素養(yǎng)的提升具有重要意義，考場(chǎng)上的“靈機(jī)一動(dòng)”絕非輕易觸動(dòng)，它是完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、扎實(shí)的推理功底、豐富的解題經(jīng)驗(yàn)的綜合體現(xiàn).當(dāng)題意理解透徹后，解題就進(jìn)入了“模型”環(huán)節(jié)，圖形由動(dòng)變靜，點(diǎn)線由多變少，有形的東西在消失，模型關(guān)鍵要素浮出水面，學(xué)生思維由幾何直觀過(guò)渡到圖形抽象，由空間想象進(jìn)入邏輯推理，分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力一以貫之.思維障礙產(chǎn)生的原因有知識(shí)缺失，更是情感投入和意志力的支撐出現(xiàn)不足.四基四能讓核心素養(yǎng)得以“豐腴”，敢于挑戰(zhàn)、勇于克難、積極探索，豐富的情感投入讓核心素養(yǎng)發(fā)展擁有核心動(dòng)力.3? 解法探究

解法1? 模型驅(qū)動(dòng)，合理構(gòu)造

線段和常常在最短路徑問(wèn)題中出現(xiàn)，那么就需要判斷“PM+PN=4”是不是最短路徑.三角形三邊關(guān)系隱含等量最值，軸對(duì)稱性質(zhì)實(shí)現(xiàn)共點(diǎn)線段化折為直，兩大性質(zhì)巧妙串聯(lián)線段關(guān)系是破題的核心.BM=BN可以翻譯為“線段BN繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°”，隱含鄰邊相等夾角為90°某特殊四邊形的存在.EC既是∠BCD平分線，也是對(duì)稱軸，當(dāng)PN關(guān)于直線對(duì)稱得到PN′時(shí)，PM+PN轉(zhuǎn)化為PM+PN′，由“PM+PN=BC=4”即可判定“最短路徑”模型.

如圖2，根據(jù)EC平分∠DCB及對(duì)稱軸性質(zhì)，構(gòu)造點(diǎn)N關(guān)于PC對(duì)稱點(diǎn)N′，當(dāng)點(diǎn)M，P，N′三點(diǎn)共線即PM+PN=PM+PN′=BC=4時(shí)，點(diǎn)P位置即確定，依據(jù)條件BM=BN易得N為BC中點(diǎn)，進(jìn)而可得等腰Rt△PN′C，PC長(zhǎng)為22.

解法2? 研形理數(shù)，推理轉(zhuǎn)能

動(dòng)態(tài)幾何中的線段和問(wèn)題，問(wèn)題雖為幾何，但卻賦予了“數(shù)”的特性，構(gòu)建關(guān)聯(lián)關(guān)系需要立足幾何特征，把握幾何性質(zhì)，重點(diǎn)關(guān)注具有“數(shù)”屬性的性質(zhì)定理.如圖3，根據(jù)BM=BN條件作垂直構(gòu)造“特殊四邊形”，由“PM+PN≥PQ+PR=BR+CR=BC=4”易證四邊形PMBN為正方形，則PC=22.圖3解法3? 直觀蓄勢(shì)，巧做智得? 圖4

依據(jù)條件構(gòu)造網(wǎng)格輔助，會(huì)直觀發(fā)現(xiàn)線段EC的特殊性，如圖4.當(dāng)點(diǎn)M，N，P恰在格點(diǎn)時(shí)，滿足PM+PN=4且BM=BN，此時(shí)，點(diǎn)M，N，P均為格點(diǎn)特殊位置，即得PC長(zhǎng).借助網(wǎng)格平行線、度量運(yùn)算的內(nèi)在力量，實(shí)現(xiàn)了填空小壓軸的智得巧做.網(wǎng)格工具讓條件中的數(shù)與量直觀化，數(shù)與形真正結(jié)合，直觀模型“再發(fā)現(xiàn)”讓猜想可視化解題思路自然顯現(xiàn)，網(wǎng)格工具增強(qiáng)推理意識(shí)，提升推理能力.

不同的解法隱含不同的思維路徑，對(duì)條件的判斷與認(rèn)識(shí)程度，能夠反應(yīng)到做題繁簡(jiǎn)與用時(shí)差異，從而區(qū)分出不同層次的思維品質(zhì)，測(cè)評(píng)出數(shù)學(xué)素養(yǎng)各要素的不同水平.解法3簡(jiǎn)潔明快，干凈利落，網(wǎng)格作為非常態(tài)輔助工具，隱含建系策略，小格點(diǎn)大能量，為后續(xù)高中學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).4? 真題“化”作業(yè)

中考題嚴(yán)格以課標(biāo)為依據(jù)，緊緊圍繞學(xué)科核心概念、思想方法、時(shí)代方向等命題，具有引導(dǎo)教學(xué)教研方向的重要作用.如果能夠?qū)⒅锌颊骖}分解轉(zhuǎn)化為日常作業(yè)題組，針對(duì)知識(shí)考點(diǎn)和能力要求，將思維障礙進(jìn)行分層分解，轉(zhuǎn)換圖形背景、變換問(wèn)題設(shè)問(wèn)、關(guān)聯(lián)生活實(shí)際，精選精練精講，就能夠幫助學(xué)生真正走出題海，“作業(yè)”功能最大化.下面就以2023年陜西中考13題為例進(jìn)行作業(yè)題組設(shè)計(jì)，作業(yè)目標(biāo)、水平層級(jí)及學(xué)生自我評(píng)價(jià)量表［1］與每道題一一對(duì)應(yīng)，學(xué)生通過(guò)題組訓(xùn)練，能夠看到自我的進(jìn)階，實(shí)現(xiàn)從學(xué)會(huì)解題走向?qū)W會(huì)解決問(wèn)題；老師也通過(guò)作業(yè)設(shè)計(jì)，更加明確教與學(xué)的方向，優(yōu)化教與學(xué)的過(guò)程，用變式提高辯證、用“不變”策略激發(fā)應(yīng)變活力.

4.1? 作業(yè)目標(biāo)

1.通過(guò)圖形變化，強(qiáng)化識(shí)圖、畫(huà)圖能力，滲透數(shù)形結(jié)合思想；

2.通過(guò)變化題設(shè)延伸結(jié)論，深化模型解題策略，提升化歸能力；

3.通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題，優(yōu)化知識(shí)體系反思策略方法，培養(yǎng)思維審辯力.

4.2? 水平層級(jí)

水平Ⅰ：加強(qiáng)記憶——復(fù)述強(qiáng)化，問(wèn)題明確不再進(jìn)行信息加工；

水平Ⅱ：再現(xiàn)方法——鞏固所學(xué)方法解決學(xué)科內(nèi)問(wèn)題；

水平Ⅲ：熟練技能——強(qiáng)化技能，方法組合運(yùn)用，知識(shí)綜合應(yīng)用；

水平Ⅳ：形成能力——能抽象出數(shù)學(xué)模型或探索內(nèi)在規(guī)律，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)化地分析、表達(dá)，能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題或?qū)W科綜合，形成自己解決問(wèn)題的方法策略；

水平Ⅴ：培養(yǎng)思維——對(duì)不同背景下的過(guò)程性活動(dòng)，能運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方式進(jìn)行思考，能靈活運(yùn)用思想方法解決問(wèn)題，能進(jìn)行擴(kuò)展和延伸，展現(xiàn)理性思維.

4.3? 學(xué)生自我評(píng)價(jià)量表

評(píng)價(jià)維度

優(yōu)秀（3分）

良好（2分）

過(guò)關(guān)（1分）

再努力

1.讀懂題意，能將圖形與條件相結(jié)合

2.能讀出題中隱含條件（由已知想可知）

3.能正確應(yīng)用定理、性質(zhì)

4.能根據(jù)題意構(gòu)畫(huà)輔助線

5.能找到這一類問(wèn)題的共同特點(diǎn)（條件、圖形、解法等）

6.能進(jìn)行補(bǔ)圖、變圖、變條件、賦予實(shí)際背景并正確解答

4.4  作業(yè)題組設(shè)計(jì)

1.如圖5，梯形ABCE中，AE∥BC，AB=3，BC=4，AE=1，M，N分別是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且BM=BN，P是線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，連接PM，PN，若PM+PN=4，求線段PC長(zhǎng)，這個(gè)題目與“源”題是（填“相同題或不同的題”）.

水平層級(jí)行為表現(xiàn)目標(biāo)指向

Ⅰ級(jí)記憶識(shí)別1

2.如圖6，平行四邊形ABCD中，AB=4，BC=6，∠B=60°，點(diǎn)E在邊AD上，AE=2，M，N分別是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且BM=BN，P是EC上的點(diǎn)，若PM+PN=6，則線段PC長(zhǎng)為.水平層級(jí)

行為表現(xiàn)

目標(biāo)指向

Ⅱ級(jí)

理解初步應(yīng)用

1，2

3.如圖7，菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，M，N分別是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且BM=BN，PM⊥AB，垂足為M，交AC于點(diǎn)P，當(dāng)PM+PN=33時(shí)，求線段PC和BN長(zhǎng).

水平層級(jí)行為表現(xiàn)目標(biāo)指向

Ⅲ級(jí)掌握靈活應(yīng)用1，2

4.如圖8，等腰Rt△ABC中，∠B=90°，E，F(xiàn)是BC邊三等分點(diǎn)，P是斜邊AC上動(dòng)點(diǎn).

（1）當(dāng)BC=6，PE+PF=25時(shí)，求線段PC長(zhǎng)；

（2）當(dāng)PE+PF最小時(shí)，求APPC的值；

（3）如圖9，某小區(qū)游樂(lè)場(chǎng)為正方形ABCD，AB=800m，物業(yè)辦在點(diǎn)B處，F(xiàn)E是綠化帶，EF∥BC，BF=200m，根據(jù)環(huán)境和實(shí)際需求，在四邊形AFED內(nèi)（含邊界）修一個(gè)半徑為40m的圓型環(huán)道，過(guò)圓心O作OM⊥AB，垂足為M，與⊙O交于點(diǎn)N，連接BN，點(diǎn)P在⊙O上，連接DP，線段DP，BN及MN為要修的三條路，當(dāng)BN+DP最短的情況下，使道路MN最短，求此時(shí)OM長(zhǎng).

（2023陜西中考26題改編）

水平層級(jí)行為表現(xiàn)目標(biāo)指向

Ⅳ、Ⅴ級(jí)掌握實(shí)踐運(yùn)用2，35? 教學(xué)啟示

數(shù)學(xué)家華羅庚先生說(shuō)：“數(shù)學(xué)是一個(gè)原則，無(wú)數(shù)內(nèi)容，一種方法，到處可用.”經(jīng)歷中考復(fù)習(xí)后，大量的解題教學(xué)與訓(xùn)練，學(xué)生積累了豐富的解題經(jīng)驗(yàn)，但為什么在考場(chǎng)上還會(huì)出現(xiàn)“縱使相逢仍不識(shí)”的現(xiàn)象？這就需要教師追溯“曾經(jīng)相識(shí)”、找到“隱藏真相”、厘清本質(zhì)核心，讓解題“知其然、知其所以然、知何由以知其所以然”.

5.1? 從雕刻試題到作業(yè)設(shè)計(jì)，讓思維進(jìn)階

每年中考試題都是教研重要議題，小小試題承載著育人大使命和評(píng)價(jià)大任務(wù)，中考題中蘊(yùn)含著最新研究方向、前沿研究領(lǐng)域、現(xiàn)有研究深度，試題從解答→解析→賞析，從三年學(xué)習(xí)進(jìn)階的視角去審視解題模型，從凝練經(jīng)驗(yàn)形成策略去關(guān)注通性通法.試題也是作業(yè)，作業(yè)也是評(píng)價(jià)，作業(yè)融合“四基”“四能”和核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)，是階段性評(píng)價(jià)的主要依據(jù)［2］.雕刻試題變作業(yè)設(shè)計(jì)，微雕強(qiáng)化記憶再現(xiàn)方法，浮雕凸顯知識(shí)核心、滲透思想方法，3D圓雕綜合應(yīng)用素養(yǎng)落地.試題“分步得分”的本質(zhì)是學(xué)生思維能力水平的層級(jí)劃分，用作業(yè)評(píng)價(jià)量表讓學(xué)生看到進(jìn)階之路，激活思維動(dòng)力，久久為功步步踏實(shí)，實(shí)現(xiàn)思維進(jìn)階.

5.2? 從賡續(xù)力量到技術(shù)賦能，助思維生長(zhǎng)

審題閱讀明“目標(biāo)”，讀圖理數(shù)知“條件”，數(shù)形轉(zhuǎn)化尋“路徑”，反思回顧理“核心”.當(dāng)解題與教學(xué)相遇時(shí)，解題就不再是以獲得正確答案為目的.“數(shù)學(xué)+教育+網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板”，用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)多維呈現(xiàn)，解決學(xué)生在“動(dòng)態(tài)”問(wèn)題中的“想不到、畫(huà)不出、無(wú)感”情況，從具身體驗(yàn)到“離身”思辨，從“半腦”學(xué)習(xí)為全腦激活，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)最核心能力“抽象”分層、分步.幾何直觀、邏輯推理同步整體提升.學(xué)生在探“變”究“核”中落下“數(shù)學(xué)印記”，老師在探“變”究“核”中從學(xué)科邏輯走向?qū)W習(xí)邏輯，讓推理看得見(jiàn)，內(nèi)化思維的“序”與“章”，同時(shí)也解決了不同學(xué)生思維進(jìn)階分層分步的“時(shí)差”問(wèn)題.賡續(xù)力量技術(shù)賦能，師與生都是創(chuàng)生者，圓融無(wú)礙，應(yīng)物無(wú)方，用教師的“思維深度”助學(xué)生的“思維生長(zhǎng)”.

5.3? 從核心概念到核心素養(yǎng)，育思維品質(zhì)

平面幾何研究基本圖形構(gòu)成元素及元素之間的關(guān)系，點(diǎn)就是基本元素，關(guān)系就在概念中.高中點(diǎn)與面、線與面、面與面位置關(guān)系的知識(shí)點(diǎn)，就是從初中點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線生長(zhǎng)而來(lái)，從核心概念出發(fā)，對(duì)所習(xí)得的知識(shí)信息進(jìn)行深加工，形成基件組塊，用組塊去建立能體現(xiàn)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來(lái)學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的網(wǎng)絡(luò)體系，這個(gè)過(guò)程就是學(xué)生優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程實(shí)現(xiàn)了從“學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考”走向“通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思考”，用核心概念育可持續(xù)學(xué)習(xí)能力，攜核心概念育高階深度思維品質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)從做題到做事，育人無(wú)聲向素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

［1］王月芬.重構(gòu)作業(yè)——課程視域下的單元作業(yè)［M］.北京：教育科學(xué)出版社，2022.1：197-198.

［2］中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.4：3-4.

作者簡(jiǎn)介? 劉英英（1974—），女，陜西西安人，中學(xué)高級(jí)教師，陜西省學(xué)科帶頭人;主要從事數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究;主持完成教育部子課題、省市規(guī)劃課題，發(fā)表文章10余篇.