直角三角形內(nèi)接定形直角三角形的面積最值

【摘? 要】? 解最值題的一般策略是動(dòng)靜轉(zhuǎn)化，以靜制動(dòng)，捕捉特殊瞬間，凸顯問(wèn)題本質(zhì)．從學(xué)生易接受的二次函數(shù)法和幾何法角度對(duì)直角三角形內(nèi)接定形直角三角形的面積最值予以探究，豐富了解法．

【關(guān)鍵詞】? 直角三角形；內(nèi)接；三角形面積最值；二次函數(shù)法；幾何法

1? 問(wèn)題呈現(xiàn)及緣由

△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC上的點(diǎn)．若△DEF是兩直角邊DE與DF之比為定值λ（λ為正常數(shù)）的直角三角形，探究△DEF面積的最值．

文［1］利用三角法得到了直角三角形的任意內(nèi)接直角三角形面積的最小值，并給出最小位置的作圖方法；文［2］用坐標(biāo)法探求直角三角形的最大內(nèi)接直角三角形，但錯(cuò)誤較多，實(shí)不敢茍同．譬如“記E（t，0）（0≤t＜b）”，條件應(yīng)為0≤t≤b；“令直線DE的方程為y=k（x-t）（k＞-ab）”，條件應(yīng)為k＞0或k≤-ab（由于直線AB的斜率為-ab）；去絕對(duì)值混亂；定理2△DEF面積的最大值嚴(yán)重錯(cuò)誤．

為此，本文分別用二次函數(shù)法和幾何法探究△DEF面積的最值，其中探究△DEF面積的最小值及最小位置的作圖方法有別于文［1］．2? 最值的探究

解法1? 二次函數(shù)法

如圖1，分別過(guò)點(diǎn)C，E，F(xiàn)作AB的垂線段，垂足分別為H，M，N．

設(shè)AM=y，BN=x．易得BH=a2c，AH=b2c，CH=abc．

由tanA=ab=EMy得EM=ayb；由tanB=ba=NFx得NF=bxa．

易得△DNF∽△EMD，所以DEDF=MDNF=EMDN=λ．所以MD=λbxa，DN=ayλb．

所以x+λbxa+y+ayλb=c，解得y=λbca+λb－λbxa．

S△DEF=12DE·DF=λ2·DF2=λ2（b2x2a2+a2y2λ2b2）=λ2［b2x2a2+a2λ2b2（λbca+λb－λbxa）2］

=λc22a2x2-λaca+λbx+λa2c22a+λb2．

當(dāng)x=λaca+λbλc2a2=a3ca+λb時(shí)，S△DEFmin=λa2c22a+λb2-λaca+λb22λc2a2=λa2b22a+λb2．

此時(shí)y=λbca+λb－λbxa=λb3ca+λb，所以tan∠NDF=NFND=bxaayλb=λb2a2·xy=ab=tanA．

所以∠NDF=∠A．所以DF∥AC．所以當(dāng)DE⊥AC時(shí)，S△DEFmin=λa2b22a+λb2（如圖2）．? 圖2

下面探究S△DEF的最大值，不妨設(shè)a≥b．

（1）當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)H下方時(shí)，∠DFE=∠DCE＜∠HCA，所以λ＜ba．

此時(shí)點(diǎn)F在B，C之間運(yùn)動(dòng)，故點(diǎn)N在B，H之間運(yùn)動(dòng)，所以0≤x≤a2c．

當(dāng)x=0時(shí)，S△DEF=λa2c22a+λb2；

當(dāng)x=a2c時(shí)，S△DEF=λc22a2（a2c）2-λaca+λb·a2c+λa2c22a+λb2=λ1+λ2a2b22a+λb2．

下面比較λa2c22a+λb2與λ1+λ2a2b22a+λb2的大小，只需比較c2與（1+λ2）b2的大?。?/p>

c2-（1+λ2）b2=a2-λ2b2=（a+λb）（a-λb）．

由于λ＜ba≤ab，所以a-λb＞0，即c2＞（1+λ2）b2．

所以當(dāng)λ＜ba時(shí)，S△DEFmax=λa2c22a+λb2（如圖3）．

（2）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)H重合時(shí)（易得λ=ba），顯然S△HCB≥S△HAC，S△DEFmax=S△HCB=12·a2c·abc=a3b2c2（參考圖3）．

（3）當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)H上方時(shí)，λ＞ba．此時(shí)點(diǎn)E在A，C之間，故點(diǎn)M在A，H之間，所以0≤y≤b2c．即0≤λbca+λb－λbxa≤b2c．解得aca+λb-abλc≤x≤aca+λb．

當(dāng)x=aca+λb時(shí)，S△DEF=λc22a2（aca+λb）2-λaca+λb·aca+λb+λa2c22a+λb2=λb2c22a+λb2．

當(dāng)x=aca+λb-abλc時(shí)，

S△DEF=λc22a2（aca+λb-abλc）2-λaca+λb（aca+λb-abλc）+λa2c22a+λb2=1+λ2a2b22λa+λb2．

下面比較λb2c22a+λb2與1+λ2a2b22λa+λb2的大小，只需比較λ2b2c2與（1+λ2）a2b2的大?。?/p>

λ2b2c2-（1+λ2）a2b2=λ2b4-a2b2=b2（λb+a）（λb-a）．

①當(dāng)λ=ab時(shí)，λ2b2c2=（1+λ2）a2b2．S△DEFmax=λb2c22a+λb2=bc28a．

此時(shí)λ=tanA，所以∠DFE=∠DCE=∠A．所以DC=DA，即點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)O（如圖4）．圖4

②當(dāng)λ＞ab時(shí)，λ2b2c2＞（1+λ2）a2b2．S△DEFmax=λb2c22a+λb2（如圖5，點(diǎn)D在O，B之間）．

③當(dāng)ba＜λ＜ab時(shí)，λ2b2c2＜（1+λ2）a2b2．S△DEFmax=1+λ2a2b22λa+λb2（如圖6，點(diǎn)D在H，O之間）．圖5圖6

綜上，在a≥b條件下，當(dāng)點(diǎn)D在A，H之間（不含A，H；此時(shí)λ＜ba）時(shí)，S△DEFmax=λa2c22a+λb2（如圖3）；當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)H重合（λ=ba）時(shí)，S△DEFmax=S△HCB=a3b2c2（參考圖3）；當(dāng)點(diǎn)D在H，O之間（不含O；此時(shí)ba＜λ＜ab）時(shí)，S△DEFmax=（1+λ2）a2b22λa+λb2（如圖6）；當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)O重合（λ=ab）時(shí)，S△DEFmax=bc28a（如圖4）；當(dāng)點(diǎn)D在O，B之間（不含B；此時(shí)λ＞ab）時(shí)，S△DEFmax=λb2c22a+λb2（如圖5）．

解法2? 幾何法

S△DEF=12·DE·DF=12λ·DE2．因此S△DEF的最值取決于DE的最值．

由垂線段最短知，當(dāng)DE⊥AC時(shí)，S△DEF最小，如圖2．

tanA=ab=DEAE=DEb－DF=DEb－DEλ，解得DE=λaba+λb，

所以S△DEFmin=12λ（λaba+λb）2=λa2b22a+λb2．

下面分情況探究S△DEF的最大值，不妨設(shè)a≥b．記斜邊上的高為CH，斜邊中線為CO．

（1）當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)H或點(diǎn)H下方時(shí)，圖7是△DEF的兩個(gè)極端位置．

由B，C，E，D四點(diǎn)共圓得∠DEE′=∠ABC；而∠DE′E＞∠A≥∠ABC，故∠DE′E＞∠DEE′，所以DE＞DE′．故S△DEF＞S△DE′F′．

tanA=ab=DEAD=DEc－DF=DEc－DEλ，解得DE=λaca+λb．

所以S△DEFmax=12λ（λaca+λb）2=λa2c22a+λb2，此時(shí)位置如圖7中的△DEF（當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)H時(shí)位置為△HCB）．圖7

（2）當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)O處時(shí)，圖8是△DEF的兩個(gè)極端位置，顯然DE=DE′，故S△DEFmax=S△DE′F′=12λ（c2）2=c28λ．而λ=tan∠OAC=ab，所以S△DEFmax=bc28a．圖8

（3）當(dāng)點(diǎn)D在H，O之間時(shí)，圖9是△DEF的兩個(gè)極端位置．

由OC=OA得∠OAC=∠OCA＞∠DCA，所以DE＞DE′．故S△DEF＞S△DE′F′．

過(guò)D作DG⊥BC于G．

因?yàn)棣?tan∠DFE=tan∠CDG=CGDG，tanB=ba=DGBG=DGa－CG，所以DG=aba+λb．

因?yàn)閠an∠DFE=λ，所以sin∠DFE=λ1+λ2=DGDF．解得DF=ab1+λ2λa+λb．

所以S△DEFmax=λ2·DF2=1+λ2a2b22λa+λb2，此時(shí)位置如圖9中的△DEF．圖9

（4）當(dāng)點(diǎn)D在O，B之間時(shí)，圖10是△DEF的兩個(gè)極端位置．

由OC=OA得∠OAC=∠OCA＜∠DCA，所以DE＜DE′．故S△DEF＜S△DE′F′．

過(guò)D作DG⊥BC于G．由③得DG=aba+λb．

因?yàn)閏os∠GDF′=cosB=ac，所以DGDF′=ac，解得DF′=bca+λb．

所以S△DEFmax=λ2·DF′2=λb2c22a+λb2，此時(shí)位置為圖10中的△DE′F′．圖10

3? 最小位置的作圖方法

當(dāng)DE⊥AC時(shí)，S△DEF最?。纱丝山o出S△DEF最小時(shí)的準(zhǔn)確位置及作圖方法．

作法? （1）過(guò)點(diǎn)A作AD1⊥AC，使D1與B在AC的同側(cè)，且AD1=λb；

（2）連接CD1交AB于點(diǎn)D；

（3）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接EF．

圖11中的△DEF就是符合題意的面積最小的直角三角形．圖11

4? 內(nèi)接等腰直角三角形面積最值

由前述結(jié)論S△DEFmin=λa2b22a+λb2，當(dāng)λ=1時(shí)，S等腰△DEFmin=12aba+b2，當(dāng)且僅當(dāng)DE⊥AC時(shí)取得．

由前述結(jié)論S△DEFmax=1+λ2a2b22λa+λb2，當(dāng)λ=1時(shí)，S等腰△DEFmax=aba+b2．直角頂點(diǎn)D在斜邊中點(diǎn)O與垂點(diǎn)H之間，且CD平分∠ACB．等腰Rt△DEF最大時(shí)的位置：若a＞b，如圖12①；若a＜b，如圖12②；若a=b，如圖12③．

參考文獻(xiàn)

［1］郭要紅．直角三角形的最小內(nèi)接定形直角三角形［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2006（09）：55-55．

［2］黃海波．直角三角形的最大內(nèi)接直角三角形［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2009（07）：46-46．作者簡(jiǎn)介? 鄧文忠（1974—），男，陜西洋縣人，中學(xué)一級(jí)教師，第四屆縣級(jí)名師，縣教研先進(jìn)個(gè)人;主要進(jìn)行數(shù)學(xué)解題、中高考和競(jìng)賽研究;發(fā)表文章150余篇．