核心素養(yǎng)背景下用尺規(guī)解決問題的路徑探究

【摘? 要】? 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中強(qiáng)調(diào)尺規(guī)作圖在發(fā)展學(xué)生幾何直觀、推理能力和創(chuàng)新能力上的重要作用.而尺規(guī)作圖作為數(shù)學(xué)教學(xué)中的重難點，引起了數(shù)學(xué)教師的重點關(guān)注和深層思考.在用尺規(guī)作圖解決問題中能夠發(fā)現(xiàn)，尺規(guī)作圖能夠簡化問題，降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度，通過使用數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生發(fā)散思維、自主探究，產(chǎn)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和積極性，也為后續(xù)學(xué)習(xí)提供思維和方法的支持.

【關(guān)鍵字】? 核心素養(yǎng)；尺規(guī)作圖；執(zhí)果索因

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》注重數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，尺規(guī)作圖正是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效載體.新課標(biāo)對初中階段尺規(guī)作圖提出兩個新增內(nèi)容，并且重點強(qiáng)調(diào)要理解和掌握尺規(guī)作圖的基本原理和方法［1］，由此可以看出新課標(biāo)對尺規(guī)作圖教學(xué)提出了更高的要求.史寧中教授也指出：用幾何解釋代數(shù)的基本理論工具是幾何作圖；幾何作圖實際上蘊(yùn)含著幾何證明，幾何作圖對于培養(yǎng)幾何直觀是非常有利的［2］.所以要想用幾何的方法解決代數(shù)問題，教師應(yīng)該更加注重作圖原理和方法的推理，讓學(xué)生多經(jīng)歷探索尺規(guī)作圖的內(nèi)涵和動手操作的過程，發(fā)展空間觀念和想象力，培養(yǎng)幾何直觀、推理能力和創(chuàng)新能力，從而提升學(xué)生的學(xué)習(xí)力.1? “尺規(guī)作圖”是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的有效載體

1.1? 幾何直觀

幾何直觀是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)，是學(xué)生建立數(shù)與形之間的聯(lián)系、感知圖形本身內(nèi)涵的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).尺規(guī)作圖恰好展示了數(shù)與形的相互結(jié)合，要把尺規(guī)作圖作為數(shù)學(xué)探究的手段，讓學(xué)生對圖形本身有一定的認(rèn)識，要從數(shù)學(xué)問題中構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型，分析圖形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合簡化問題，解決問題.1.2? 推理能力

推理是用尺規(guī)解題的生長點，而尺規(guī)作圖又在促進(jìn)和發(fā)展學(xué)生推理能力方面有重要作用.在尺規(guī)作圖問題中學(xué)生要從“是什么？為什么？怎么做？”三個方面去推理解決問題的方法.從學(xué)生推理中，就能發(fā)現(xiàn)其思維是否嚴(yán)謹(jǐn)、是否具有整體性.1.3? 創(chuàng)新能力

尺規(guī)作圖是解決數(shù)學(xué)問題的重要手段，也為解決數(shù)學(xué)問題提供了無數(shù)方法和思路.學(xué)生通過尺規(guī)作圖去嘗試、思考、推理、解決問題，借助不同知識間的聯(lián)系找到多種多樣的解題方式，提高創(chuàng)新能力.在促進(jìn)多元知識結(jié)合，鞏固學(xué)科聯(lián)系的同時，也為不同類型問題提供別出心裁的解法.2? 用尺規(guī)解決問題的現(xiàn)狀分析

在實際教學(xué)過程中，教師往往只注重作圖方法的講解，粗略或一筆帶過作圖原理的推理，這也進(jìn)一步導(dǎo)致缺乏學(xué)習(xí)主動性的學(xué)生只是機(jī)械掌握了作圖的方法，做簡單題目時生搬硬套，遇到較難題目或?qū)⒕唧w問題隱藏在問題情境中時，學(xué)生不能正確理解題目意圖，也難以從已有知識基礎(chǔ)尋找解決問題的突破口和方法.以2023年徐州市中考數(shù)學(xué)第26題為例.

兩漢文化看徐州，桐桐在徐州博物館“天工漢玉”展廳參觀時了解到；玉璧、玉環(huán)為我國的傳統(tǒng)玉器，通常為正中帶圓孔的扁圓型器物，據(jù)《爾雅·釋器》記載：“肉倍好，謂之璧；肉好若一，調(diào)之環(huán)．”如圖1，“肉”指邊（陰影部分），“好”指孔，其比例關(guān)系見圖示，以考古發(fā)現(xiàn)看，這兩種玉器的“肉”與“好”未必符合該比例關(guān)系．

（1）若圖1中兩個大圓的直徑相等，則璧與環(huán)的“肉”的面積之比為；

（2）利用圓規(guī)與無刻度的直尺，解決下列問題（保留作圖痕跡，不寫作法）．

①圖2為徐州獅子山楚王墓出土的“雷紋玉環(huán)”及其主視圖，試判斷該件玉器的比例關(guān)系是否符合“肉好若一”？

②圖3表示一件圓形玉坯，若將其加工成玉璧，且比例關(guān)系符合“肉倍好”，請畫出內(nèi)孔．

本題是2023年徐州中考第26題，是尺規(guī)作圖與傳統(tǒng)文化的結(jié)合應(yīng)用，得分率約為10％.這就說明學(xué)生對于此題的理解不透徹，在尺規(guī)作圖方面的應(yīng)用能力差，難以把問題簡化成所學(xué)的知識技能.題目設(shè)計以徐州兩漢文化為背景，以玉璧、玉環(huán)為依托，注重將思想、推理和操作相融合，同時也貫徹落實了新課標(biāo)的新要求“能理解尺規(guī)作圖的操作過程；并能進(jìn)一步利用尺規(guī)作圖完成新的作圖，了解其中的數(shù)學(xué)依據(jù)，強(qiáng)化作圖的基本原理和方法”［1］71.

第（1）問考查璧與環(huán)的“肉”的面積之比，題目中也指明了“肉”的位置，所以這一問是圓面積公式的簡單應(yīng)用.

第（2）問重點考查尺規(guī)作圖.第①小題讓判斷圖形比例關(guān)系是否符合“肉好若一”，也就是判斷內(nèi)圓的半徑是否是外圓半徑的一半，結(jié)合尺規(guī)作圖以及圓的性質(zhì)可以確定本題的關(guān)鍵是找同心圓的圓心.簡化后題目就轉(zhuǎn)化為找同心圓的圓心并判斷兩圓半徑之間的倍長關(guān)系.根據(jù)“不在同一條直線上的三點確定一個圓”和“垂徑定理”確定具體作圖方法：如圖4所示.在該圓環(huán)外圓上任意找A，B，C三點，連接AB，AC，分別作線段AB，AC的垂直平分線，交點即為同心圓的圓心O.過圓心O畫一條直徑，以O(shè)為圓心，OD為半徑畫弧，看是否滿足“肉好若一”的比例關(guān)系即可.

這一小題看似容易，但難在理解題意.很多學(xué)生難以理解該怎樣用尺規(guī)作圖的方式來判斷比例關(guān)系，其實就是對尺規(guī)作圖的基本原理沒有完全掌握，沒有切實從問題出發(fā)“執(zhí)果索因”，對問題做“減法”，找關(guān)鍵.? 圖4

第（2）問的第②小題題目看似容易，只需要在第①小題已經(jīng)確定圓心的基礎(chǔ)之上找到內(nèi)孔的半徑，有了圓心和半徑就能確定這個圓的大小，但這也是本題難度最大的地方.該如何找“肉倍好”內(nèi)孔的半徑，或者換個角度根據(jù)題目已有信息“肉倍好”的內(nèi)涵是三等分外圓的直徑.因此確定本題的關(guān)鍵是如何用尺規(guī)作圖的方法將線段三等分，然后在已有知識中展開聯(lián)想：可以借助三角形相似、平行線所截線段成比例、三角形重心、矩形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等來解決問題.按照①的方法找出圓心O，過圓心畫一條直徑AB，再借助聯(lián)想整合出以下作圖方法.2.1? 借助平行線所截線段成比例

如圖5所示.過點A作一條射線；以A為圓心適當(dāng)長為半徑畫弧，在射線上依次截取AC=CD=DE；連接BE，分別過點C，D作BE的平行線，交AB于點F，G，則F，G為線段AB的三等分點；進(jìn)而以FG為直徑畫圓，問題得解.圖5

如圖6所示.以A，B，C為頂點，其中C在圓外，作△ABC；線段BC與圓O交于點D，連接AD；取AD的中點E，連接CE并延長交AB于點F；取BF的中點G，則F，G為線段AB的三等分點；進(jìn)而以FG為直徑畫圓，問題得解.圖6

這兩種方法都是依據(jù)三角形相似和平行線所截線段成比例的性質(zhì).其中第一個方法也是新課標(biāo)在尺規(guī)作圖中新增的要求“過直線外一點作這條直線的平行線”的針對性運用.

2.2? 借助三角形重心

如圖7所示.作△BCD，使點A為邊CD的中點，那么此時線段AB是邊CD的中線；取BD中點E，連接CE與AB交于點F，則點F是△BCD的重心；取BF的中點G，則F，G為線段AB的三等分點；進(jìn)而以FG為直徑畫圓，問題得解.圖7

這種作法是依據(jù)三角形重心的性質(zhì).三角形三條中線的交點稱為三角形的重心，而重心能夠?qū)⑷切蔚闹芯€分為1∶2的兩部分，這也為本題解決線段三等分提供了思路.

2.3? 借助矩形的性質(zhì)

如圖8所示.在圓O中，連接AB，CD兩條直徑，以AB，CD為對角線作矩形ABCD；取AC，BD的中點分別為E，H，連接EH；連接DE，交AB于點F；取BF的中點G，則F，G為線段AB的三等分點；進(jìn)而以FG為直徑畫圓，問題得解.圖8

此方法利用矩形對邊平行且相等的性質(zhì)，構(gòu)造出相似比為1∶2的兩個相似三角形△AFE∽△BFD，也就將線段分為了1∶2的兩部分，與借助三角形的重心有異曲同工之妙.

2.4? 借助等邊三角形的性質(zhì)

如圖9所示.分別以A，B為圓心，AB為半徑畫弧，兩弧相交于C，D兩點，連接AC，AD，BC，BD得到全等的等邊△ABC和等邊△ABD；在線段AC，BC上分別截取AH=BE=AO；連接DH、DE分別交線段AB于點F，G，則F，G為線段AB的三等分點；進(jìn)而以FG為直徑畫圓，問題得解.? 圖9

這一作法實則是根據(jù)三角形的中位線和等邊三角形三邊相等的性質(zhì)，同樣構(gòu)造出了相似比為1∶2的兩個相似三角形△HFO∽△DFA，進(jìn)而促進(jìn)問題的解決.

2.5? 借助三角函數(shù)

如圖10所示.以點A為圓心，AO為半徑作弧，交圓O于點C，連接BC，過點O作AB的垂線，交BC于點D，作BD的垂直平分線交AB于點E，以點O為圓心，OE為半徑作圓，問題得解.圖10

如圖11所示.以點A為圓心，AO為半徑作弧，交圓O于點C，連接OC，作OC的垂直平分線，交OC于點D，作OA的垂直平分線，交AD于點E，過點E作AD的垂線交AB于點F，以O(shè)為圓心，OF為半徑作圓，問題得解.圖11

這兩種方法借助了30°和60°角的三角函數(shù)來解決.利用尺規(guī)作圖構(gòu)造出特殊直角三角形，并與垂徑定理結(jié)合，將大圓的半徑分成了1∶2的兩部分.特殊角的三角函數(shù)為本題的解答提供了獨特的思路.

綜上來看，解決這一問的方法是多種多樣的，但學(xué)生的答題率和正確率卻不樂觀，其原因就在于學(xué)生分析題目的能力欠缺，對于尺規(guī)作圖一類的題目只會機(jī)械套用作圖步驟，不能結(jié)合所學(xué)基本圖形的性質(zhì)進(jìn)行聯(lián)想.因此要解決尺規(guī)作圖類題目，我們應(yīng)該先從情境中抽象出數(shù)學(xué)模型以達(dá)到問題簡化的目的，再去分析解決問題的關(guān)鍵，然后在頭腦中展開聯(lián)想，根據(jù)聯(lián)想整合作圖方法，最后形成自己的解題方法.注重從已有的知識出發(fā)分析問題，注重將“思想、推理和操作”相融合，善于借力來解決問題.

這樣通過“抽象數(shù)學(xué)模型—簡化問題—結(jié)合幾何圖形性質(zhì)—找尋問題關(guān)鍵”的方式，對問題做簡化，幫助學(xué)生分析問題，確定核心問題；通過“執(zhí)果索因”，從問題出發(fā)，理清解決問題的思路，尋找問題解決的突破口，幫助學(xué)生解決問題；引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想已有的知識基礎(chǔ)，發(fā)散思維，使用不同的方法解決問題，讓學(xué)生更加理解尺規(guī)作圖的基本原理.3? 核心素養(yǎng)背景下用尺規(guī)解決問題的路徑探究

從新課標(biāo)的要求以及教學(xué)中的實際情況來看，尺規(guī)作圖作為解決數(shù)學(xué)幾何圖形問題的“抓手”之一，是日常教師的教和學(xué)生的學(xué)與應(yīng)用的難點.因此，教師應(yīng)該從學(xué)生現(xiàn)有的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗出發(fā)，注重思想、推理和操作的相互融合，幫助并引導(dǎo)學(xué)生掌握尺規(guī)作圖.3.1

確定解決問題的關(guān)鍵

讀題是解決問題的第一步.讀題是指閱讀問題、理解問題、分析問題.學(xué)生在面對題干情境較長的問題時，通常會將題目歸為難度大的題目，而閱讀題目的過程中去圈畫關(guān)鍵字，目的是讓學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，是幫助學(xué)生對問題做“減法”，也讓學(xué)生更容易理解問題.然后再從已有知識出發(fā)分析問題，對問題進(jìn)行分類，確定解決問題的關(guān)鍵.

3.2? 關(guān)注知識之間的聯(lián)系

尺規(guī)作圖表面上是對學(xué)生的一項技能訓(xùn)練，實際上則是對學(xué)生思維能力的培養(yǎng).大部分題目都不是孤零零的出現(xiàn)，而且伴隨著多重考點，這就意味著學(xué)生要在頭腦中不斷聯(lián)想，要能夠?qū)⒅R緊密的聯(lián)系在一起.從問題以及確定的關(guān)鍵出發(fā)，善用“執(zhí)果索因”，聯(lián)系基本圖形的性質(zhì)，注重知識之間的相互關(guān)聯(lián)，這是做題的關(guān)鍵也是讓學(xué)生思維不斷開闊的良好方法.

3.3? 理解作圖的基本原理

《新課標(biāo)》中多次強(qiáng)調(diào)要了解作圖的操作過程，強(qiáng)化作圖的基本原理，理解作圖的本質(zhì).作圖不能只是機(jī)械的套用畫圖步驟，而應(yīng)以基本知識為基礎(chǔ)去掌握基本技能，并學(xué)會站在數(shù)學(xué)的角度用數(shù)學(xué)的思想獲得基本的活動經(jīng)驗.在觀察學(xué)生用尺規(guī)作圖解決問題的過程中筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生通常畫了圖就默認(rèn)自己已經(jīng)完成解題，但他們忽略了畫圖只是一種假設(shè)，畫完圖后還應(yīng)對于此種假設(shè)進(jìn)行證明，看看是否符合數(shù)學(xué)邏輯.3.4? 形成自己的解題方法

基于學(xué)生思維發(fā)展的不同和已有知識的相似，解決問題的方法是多種多樣的，因此就要求學(xué)生在做題時形成自己的解題方法.基于“確定關(guān)鍵、關(guān)注聯(lián)系、理解原理”這樣一個整體性的尺規(guī)作圖解題流程，學(xué)生的思維十分重要，而思維的體現(xiàn)方式就在于最終的方法的選擇.尺規(guī)作圖題目往往要求保留作圖的痕跡，從痕跡就可以看出學(xué)生的思維是否嚴(yán)謹(jǐn)，思維是否具有關(guān)聯(lián)性.4? 結(jié)束語

綜上所述，尺規(guī)作圖在培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)和解決數(shù)學(xué)問題中有著不可或缺的重要地位.同時教師也應(yīng)該借助尺規(guī)作圖的教學(xué)，讓學(xué)生更加關(guān)注知識之間的多元聯(lián)系，通過不斷聯(lián)想促進(jìn)“深度學(xué)習(xí)”的實現(xiàn)，發(fā)展高階思維，完成核心素養(yǎng)的提升.

參考文獻(xiàn)［1］中華人民共和國教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.4：63.

［2］劉金英.尺規(guī)作圖畫出精彩——基于2022年中考感悟尺規(guī)作圖的育人價值［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2022（12）：41-45.作者簡介? 馬玉潔（1999—），女，江蘇徐州人，中小學(xué)二級教師；主要從事數(shù)學(xué)教育與初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.