落實(shí)新課標(biāo)對尺規(guī)作圖的新要求

李卓 代紫涵

【摘? 要】? 2022年教育部公布了新課標(biāo)，與舊課標(biāo)相比，新課標(biāo)對尺規(guī)作圖的要求發(fā)生了變化，因此相應(yīng)地在修訂初中數(shù)學(xué)教材時，也要對相關(guān)內(nèi)容做適當(dāng)?shù)恼{(diào)整與修訂.目前初中數(shù)學(xué)教材正在修訂，筆者以人教版初中數(shù)學(xué)教材中與新課標(biāo)尺規(guī)作圖相關(guān)內(nèi)容為例，對照新課標(biāo)，結(jié)合自身研讀課標(biāo)、研讀教材的體會，提出了初中數(shù)學(xué)教材中新課標(biāo)尺規(guī)作圖相關(guān)內(nèi)容修訂的若干思考.

【關(guān)鍵詞】? 新課標(biāo)；尺規(guī)作圖；初中數(shù)學(xué)教材修訂；思考

2011年，教育部頒布了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》.2019年，教育部啟動了對《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱舊課標(biāo)）的修訂.2022年，教育部公布了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱新課標(biāo)）.目前初中數(shù)學(xué)教材正在修訂，筆者以人教版初中數(shù)學(xué)教材中與新課標(biāo)尺規(guī)作圖相關(guān)內(nèi)容為例，對照新課標(biāo)，結(jié)合自身研讀新課標(biāo)、教材的體會，談?wù)劤踔袛?shù)學(xué)教材修訂的若干思考.

1? 新舊課標(biāo)對尺規(guī)作圖要求的變化及意義

在圖形與幾何領(lǐng)域，與舊課標(biāo)相比，新課標(biāo)突出的變化是強(qiáng)化了幾何直觀的要求，擴(kuò)充了尺規(guī)作圖的內(nèi)容［1］.舊課標(biāo)將尺規(guī)作圖置于點(diǎn)線面角、相交線與平行線、三角形、四邊形、圓等基本幾何概念之后，受到舊課標(biāo)中尺規(guī)作圖后置的影響，初中數(shù)學(xué)教材中有關(guān)尺規(guī)作圖的內(nèi)容也出現(xiàn)較晚.因此，尺規(guī)作圖成為了一種學(xué)習(xí)任務(wù)，其在幫助學(xué)生理解幾何概念與實(shí)際操作等方面的功能被大大削弱，影響了早期的直觀運(yùn)用［2］.新課標(biāo)則采取“化整為零”的方法，將尺規(guī)作圖植入到線點(diǎn)面角、相交線與平行線、三角形、四邊形、圓等具體的內(nèi)容中，而且新課標(biāo)將尺規(guī)作圖前置，小學(xué)階段就加入了尺規(guī)作圖的內(nèi)容.初中階段也加強(qiáng)了對尺規(guī)作圖的要求，目的是幫助學(xué)生通過具體的操作活動，經(jīng)歷幾何對象的圖形構(gòu)造過程，理解圖形的組成元素關(guān)系與結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)幾何直觀［3］.

總的來說，新課標(biāo)將尺規(guī)作圖前置，增加了尺規(guī)作圖的內(nèi)容，對幾何直觀的要求明顯提高，有利于幫助學(xué)生感悟圖形的抽象存在，通過感知操作獲得對事物的直觀理解和判斷［1］32.

2? 對新課標(biāo)規(guī)定尺規(guī)作圖內(nèi)容修訂的思考

課程標(biāo)準(zhǔn)是教材編寫的依據(jù)，新舊課標(biāo)對尺規(guī)作圖的要求發(fā)生了變化，因此相應(yīng)地在修訂初中數(shù)學(xué)教材時，也要對新舊課標(biāo)對尺規(guī)作圖要求有變化的內(nèi)容做適當(dāng)?shù)恼{(diào)整與修訂.

2.1? 對初中數(shù)學(xué)教材中三角形兩邊之和大于第三邊修訂的思考

關(guān)于三角形兩邊之和大于第三邊，舊課標(biāo)在第三學(xué)段（7—9年級）規(guī)定：“證明三角形的任意兩邊之和大于第三邊.”［4］新課標(biāo)在第三學(xué)段（5—6年級）規(guī)定：“圖形的認(rèn)識教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷基于給定線段用直尺和圓規(guī)畫三角形的過程，探索三角形任意兩邊之和大于第三邊（例32），并說出其中的道理，經(jīng)歷根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短的基本事實(shí)說明三角形三邊關(guān)系的過程，形成推理意識.”［5］

目前，人教版初中數(shù)學(xué)教材是先給出了一個探究活動：

“任意畫一個△ABC，從點(diǎn)B出發(fā)，沿三角形的邊到點(diǎn)C，有幾條線路可以選擇？各條線路的長有什么關(guān)系？能證明你的結(jié)論嗎？”在構(gòu)造出不同路線后，利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”這一基本事實(shí)構(gòu)造不等式，從而得到“三角形兩邊之和大于第三邊”這一結(jié)論，然后通過將不等式移項(xiàng)得到“三角形兩邊之差小于第三邊”這一結(jié)論.

對照新課標(biāo)，下一步修訂初中數(shù)學(xué)教材中的三角形兩邊之和大于第三邊時首先應(yīng)將這部分內(nèi)容前移到小學(xué)5—6年級，其次參考新課標(biāo)中的例32，設(shè)置尺規(guī)作圖探究活動，在活動中引導(dǎo)學(xué)生猜想出當(dāng)兩線段之和小于第三線段長時，這三條線段不能構(gòu)三角形，進(jìn)而可以得到猜想：三角形的兩邊之和大于第三邊（鮑建生、章建躍在《數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在初中階段的主要表現(xiàn)之三：幾何直觀》一文中也指出可以設(shè)計(jì)類似的探究活動），然后利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”這一基本事實(shí)證明三角形兩邊之和大于第三邊.

2.2? 對初中數(shù)學(xué)教材中平行線修訂的思考

關(guān)于平行線，舊課標(biāo)規(guī)定：“能用三角尺和直尺過已知直線外一點(diǎn)畫這條直線的平行線.”［4］32新課標(biāo)則規(guī)定：“能用三角板和直尺過直線外一點(diǎn)畫這條直線的平行線；能用尺規(guī)作圖：過直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線.”［5］65

目前人教版初中數(shù)學(xué)教材在七年級下冊平行線這一節(jié)中，在小節(jié)末尾的練習(xí)中提到：“讀下列語句，并畫出圖形：（1）點(diǎn)P是直線AB外一點(diǎn)，直線CD經(jīng)過點(diǎn)P，且與直線AB平行；（2）直線AB，CD是相交直線，點(diǎn)P是直線AB，CD外一點(diǎn)，直線EF經(jīng)過點(diǎn)P且與直線AB平行，與直線CD相交于點(diǎn)E.”可以看到教材對于“過直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”這一作圖活動并未提到尺規(guī)作圖.

對照新課標(biāo)，下一步初中數(shù)學(xué)教材修訂時可以在“同位角相等，兩直線平行”這一平行線的判定方法之后增加利用這一判定方法作“過直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖活動.

2.3? 對初中數(shù)學(xué)教材中三角形全等判定修訂的思考

關(guān)于三角形全等判定，舊課標(biāo)規(guī)定：“掌握基本事實(shí)：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等，兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等，三邊分別相等的兩個三角形全等.”［4］33新課標(biāo)規(guī)定：“能用尺規(guī)作圖：已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形.”［5］66義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組組長東北師范大學(xué)校長史寧中教授也指出，還可以通過尺規(guī)作圖，在充分感悟的基礎(chǔ)上，猜想三角形全等的條件［6］26.

目前人教版初中數(shù)學(xué)教材中三角形全等的“SSS”“SAS”“ASA”這三種判定方法都是通過探究活動：先任意畫出一個三角形，再畫出一個，使畫出的三角形與已知三角形三邊分別相等或者兩邊和它們的夾角分別相等或者兩角和它們的夾邊分別相等，然后判斷兩個三角形是否全等，最后再以基本事實(shí)的形式給出“SSS”“SAS”“ASA”這三種判定方法.

對照新課標(biāo)，下一步初中數(shù)學(xué)教材中三角形全等的“SSS”“SAS”“ASA”這三種判定方法的探究活動修訂時首先明確是用尺規(guī)作圖作出三角形，然后判斷兩個三角形是否全等.先任意畫出一個三角形，再利用尺規(guī)作圖作出一個與已知三角形三邊分別相等或者兩邊和它們的夾角分別相等或者兩角和它們的夾邊分別相等的三角形，然后判斷兩個三角形是否全等，最后再以基本事實(shí)的形式給出“SSS”“SAS”“ASA”這三種判定方法.

對于“SSA”不能作為兩個三角形全等的判定方法，教材則是通過“拼擺木棍”的實(shí)驗(yàn)：把一長一短的兩根木棍的一端固定在一起，擺出△ABC.固定住長木棍，轉(zhuǎn)動短木棍，得到△ABD.這個實(shí)驗(yàn)說明了什么？說明有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等.

對照新課標(biāo)，下一步初中數(shù)學(xué)教材修訂時可以將教材中利用“拼擺木棍”探究三角形全等的“SSA”判定方法替換為利用尺規(guī)作圖探究三角形全等的“SSA”判定方法，先任意畫出一個三角形△ABC，再利用尺規(guī)作圖作出與△ABC的兩邊和其中一邊的對角分別相等的三角形，然后判斷兩個三角形是否全等.調(diào)整了之后既落實(shí)了新課標(biāo)中尺規(guī)作圖的理念，同時還可以通過探究“滿足SSA的兩個三角形是否有全等的情況”，“如果條件中的角換成直角，即如果一個直角三角形的斜邊和直角邊與另一個直角三角形的斜邊和直角邊分別相等，那么兩個三角形一定全等嗎？”很自然地引出直角三角形全等判定的HL定理.

2.4? 對初中數(shù)學(xué)教材中圓的切線修訂的思考

舊課標(biāo)沒有規(guī)定“過圓外一點(diǎn)作圓的切線”.與舊課標(biāo)相比，新課標(biāo)新增“過圓外一點(diǎn)作圓的切線（例76）”.目前人教版初中數(shù)學(xué)教材圓的切線章節(jié)中沒有用尺規(guī)作圖過圓外一點(diǎn)作圓的切線的相關(guān)內(nèi)容，因此在下一步的教材修訂中可以在圓的切線章節(jié)增加用尺規(guī)作圖過圓外一點(diǎn)作圓的切線的相關(guān)內(nèi)容.3? 對新課標(biāo)未規(guī)定尺規(guī)作圖內(nèi)容修訂的思考

考慮到新課標(biāo)非常強(qiáng)調(diào)尺規(guī)作圖，筆者認(rèn)為盡管有些內(nèi)容新課標(biāo)沒有規(guī)定用尺規(guī)作圖，但是在修訂初中數(shù)學(xué)教材時仍然可以通過改編教材中的習(xí)題、新增尺規(guī)作圖習(xí)題等方式融入尺規(guī)作圖的理念.

3.1? 改編初中數(shù)學(xué)教材中的習(xí)題

在修訂初中數(shù)學(xué)教材時，可以通過改編初中數(shù)學(xué)教材中習(xí)題的方式融入尺規(guī)作圖的理念.例如目前人教版初中數(shù)學(xué)教材在九年級上冊圓周角這一節(jié)練習(xí)中有一個用三角尺找圓心的習(xí)題：“你能用三角尺確定一張圓形紙片的圓心嗎？有幾種方法？”在修訂初中數(shù)學(xué)教材時可以將利用三角尺找圓心改為利用直尺和圓規(guī)找圓心.

再如目前人教版初中數(shù)學(xué)教材在八年級上冊角的平分線的性質(zhì)這一節(jié)復(fù)習(xí)題中也有一個用三角尺找圓心的習(xí)題：“為了促進(jìn)當(dāng)?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個度假村.要使這個度假村到三條公路的距離相等，應(yīng)在何處修建？”在修訂初中數(shù)學(xué)教材時可以在原問題后面增加一個問題：“請你用直尺和圓規(guī)找到修建度假村的點(diǎn).”

3.2? 新增尺規(guī)作圖習(xí)題

除了改編教材中的習(xí)題，還可以通過新增一些尺規(guī)作圖的習(xí)題.例如前文指出下一步的教材修訂中可以在圓的切線章節(jié)增加用尺規(guī)作圖“過圓外一點(diǎn)作圓的切線”的相關(guān)內(nèi)容，類似地也可以在圓的切線章節(jié)增加已知圓的切線，讓學(xué)生用尺規(guī)作圖作圓的習(xí)題［7］.

如圖1所示，給定兩條直線和一個點(diǎn)P，如何利用直尺和圓規(guī)作出與兩直線相切的圓，并使P為切點(diǎn)之一.

再如可以增加讓學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)過的知識進(jìn)行尺規(guī)作圖的問題.以下是改編自中國臺灣地區(qū)2012年初中生基本學(xué)力測驗(yàn)試卷的一個問題，要解決這個問題，既要用到圓的切線的相關(guān)知識，又要用到角平分線的相關(guān)知識，還要用到“過直線上一點(diǎn)作垂線”的知識［8］.如圖2所示，AB為圓O的直徑，在圓O上取異于A，B的一點(diǎn)C，并連接BC，AC.若想在AB上取一點(diǎn)P，使得P與直線BC的距離等于AP長，請你用直尺和圓規(guī)找到點(diǎn)P.

此外，新課標(biāo)規(guī)定：“在尺規(guī)作圖中，學(xué)生應(yīng)了解作圖的原理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法.”［5］根據(jù)新課標(biāo)，或許還可以考慮增加給出尺規(guī)作圖的方法和痕跡，讓學(xué)生說出作圖原理的習(xí)題.圖3是來自中國臺灣地區(qū)翰林版教材初二下冊給出了尺規(guī)作圖的痕跡和作法，讓學(xué)生說出作圖原理的一個習(xí)題.圖34? 結(jié)束語

建設(shè)一套“完美”的數(shù)學(xué)教材，不僅是編者的追求，更是一線教師的愿望［9］.考慮到與舊課標(biāo)相比，新課標(biāo)對尺規(guī)作圖的要求發(fā)生了變化，筆者對初中數(shù)學(xué)教材中尺規(guī)作圖相關(guān)內(nèi)容提出了修訂的建議.當(dāng)然以上的一些想法只是自己的一孔之見，提出的修訂建議也不完整，我們權(quán)當(dāng)是拋磚引玉，不當(dāng)之處，敬請同行批評指正.

參考文獻(xiàn)［1］吳立寶，劉穎超，郭衎．2022年版和2011年版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)比較研究［J］.教育研究與評論，2022（05）：32.

［2］何煜晶，周超．日本初中教科書尺規(guī)作圖編排及啟示［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2022（02）：56.

［3］鮑建生，章建躍．?dāng)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)在初中階段的主要表現(xiàn)之三：幾何直觀［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2022（Z3）：7.

［4］中華人民共和國教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：33.

［5］中華人民共和國教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：35.

［6］史寧中．?dāng)?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂與核心素養(yǎng)［J］.教育研究與評論，2022（05）：26.

［7］Schoenfeld，A.H.Explorations of Students’ Mathematical Beliefs and Behavior.Journal for Research in Mathematics Education，1989，20（04）：339.

［8］李建霖．尺規(guī)作圖的任務(wù)分析與閱讀理解層次［D］.臺北：臺灣師范大學(xué)，2014：2.

［9］印冬建．人教版“相似三角形的判定”（第一課時）修訂建議［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2018（12）：18.

作者簡介? 李卓（1988—），男，山東曲阜人，博士，講師，碩士生導(dǎo)師；主要從事數(shù)學(xué)教育研究.

代紫涵（1999—），女，湖北宜昌人，碩士研究生；主要從事數(shù)學(xué)教育研究.21世紀(jì)以來我國中小學(xué)數(shù)學(xué)變式教學(xué)研究的回顧與展望基金項(xiàng)目? 2019年度國家社會科學(xué)基金項(xiàng)目“德育內(nèi)容視閾下我國中小學(xué)理科課程的百年嬗變研究”（19BKS175）.