單元整體教學(xué)在中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的應(yīng)用
——以定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”復(fù)習(xí)教學(xué)為例

廣東省佛山市三水區(qū)三水中學(xué)附屬初中(528100) 羅增勝

1 教學(xué)過(guò)程

1.1 定理復(fù)習(xí),鞏固概念

1.1.1 定理呈現(xiàn)

定理: 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

教材位置: 北師大版九年級(jí)上冊(cè)第一章“特殊的平行四邊形”第1 節(jié)“矩形性質(zhì)與判定”;人教版八年級(jí)下冊(cè)第18 章第2 節(jié)“特殊的平行四邊形”.

教學(xué)意圖旨在復(fù)習(xí)定理的基本內(nèi)容,分析定理在教材中的位置與作用,幫助學(xué)生總體上回顧定理. 在教學(xué)中,教師引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分該定理在兩種主流教材的呈現(xiàn)形式. 人教版教材直接指出利用矩形的性質(zhì)得到直角三角形的一個(gè)性質(zhì)(定理), 而筆者所在地市使用的北師大版教材則安排在“議一議”中,提出問(wèn)題,讓學(xué)生自主探究,并未給出定理證明的具體方法. 筆者認(rèn)為,北師大版教材的呈現(xiàn)形式更能激發(fā)學(xué)生的求知欲,更容易提升學(xué)生的思維能力,這也契合了卜以樓老師所提倡的“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”理念.

1.1.2 定理證明

已知: 如圖1,在ΔABC中,∠ABC=90°,點(diǎn)O為AC的中點(diǎn).

圖1

教學(xué)意圖旨在復(fù)習(xí)定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的證明方法. 本定理的證明較有技巧,靈活運(yùn)用了矩形對(duì)角線相等的性質(zhì), 需延長(zhǎng)線段BO到點(diǎn)D,使得OD=OB,連接AD,CD,如圖2. 證明四邊形ABCD為矩形,再由對(duì)角線相等得到AC=BD,進(jìn)而證得. 而證明矩形常用的方法有兩種, 這兩種解法對(duì)中考復(fù)習(xí)很有幫助, 也是中考?jí)狠S題解題中常用的方法. 法一是用“邊角邊”證明了ΔAOBΔCOD,再由全等三角形對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等, 得到AB=CD,∠BAO= ∠DCO,從而AB//CD,這樣得到四邊形ABCD為平行四邊形,結(jié)合∠ABC=90° 得到四邊形ABCD為矩形;法二是利用對(duì)角線互相平分得到四邊形ABCD為平行四邊形,結(jié)合∠ABC= 90° 得到四邊形ABCD為矩形. 法一使用的“倍長(zhǎng)中線”法是一種重要的輔助線作法,法二可以幫助學(xué)生復(fù)習(xí)解題中較少用到的判定平行四邊形的方法,兩種方法都是中考?jí)狠S題解題的重要方法.

圖2

1.1.3 簡(jiǎn)單應(yīng)用

例題1已知: 如圖3, 在ΔABC中,AD⊥BC,E,F分別是AB,AC的中點(diǎn), 且AB=AC.

圖3

求證:DE=DF.

變式1已知: 如圖3,在ΔABC中,AD⊥BC,E,F分別是AB,AC的中點(diǎn),且DE=DF.

求證:AB=AC.

變式2如圖4,點(diǎn)C和點(diǎn)D在AB的異側(cè), 如果∠ACB= ∠ADB= 90°, 點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),連接CE,DE,那么線段CE與DE長(zhǎng)度相等嗎?

圖4

變式3如圖5, 點(diǎn)C和點(diǎn)D在AB的同側(cè),如果∠ACB= ∠ADB= 90°,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),連接CE,DE,那么線段CE與DE長(zhǎng)度相等嗎?

圖5

變式4在學(xué)習(xí)“圓”一章時(shí),我們學(xué)習(xí)了圓周角定理的一些推論,其中一個(gè)推論是“90° 的圓周角所對(duì)的弦是直徑”,你是怎樣證明的? 請(qǐng)完成以下的證明:

已知: 如圖6,ΔABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C在⊙O上,∠ABC=90°.

圖6

求證:AB為直徑.

教學(xué)意圖: 例題及變式均為定理的直接運(yùn)用,例題1 與變式1 是條件與結(jié)論互換,變式2 與變式3 是圖形的位置變化,變式4 是本節(jié)復(fù)習(xí)課的亮點(diǎn),整合了“圓”一章的知識(shí),目的是對(duì)圓周角定理推論進(jìn)行復(fù)習(xí),是基于單元整體教學(xué)視角下的教學(xué)設(shè)計(jì). 將矩形、直角三角形、圓三個(gè)獨(dú)立的內(nèi)容通過(guò)定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”聯(lián)系在一起,串聯(lián)多個(gè)知識(shí)點(diǎn),體現(xiàn)了整體性和關(guān)聯(lián)性. 這樣,通過(guò)系列的變式找出不同問(wèn)題的共同特點(diǎn)以及解決問(wèn)題的基本方法,降低了解決問(wèn)題的難度,大大的提升了復(fù)習(xí)的效率.

1.2 逆向思考,拓展提升

例題2已知: 如圖7,在ΔABC中,點(diǎn)O為AC的中點(diǎn),且.

圖7

求證: ∠ABC=90°.

變式5在學(xué)習(xí)“圓”一章時(shí),我們學(xué)習(xí)了圓周角定理的一些推論,其中一個(gè)推論是“直徑所對(duì)的圓周角為直角”,你是怎樣證明的? 請(qǐng)完成以下的證明:

已知: 如圖8, ΔABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C在⊙O上,AB為直徑,連接OC.

圖8

求證: ∠ACB=90°.

教學(xué)意圖例題2 實(shí)際上是定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題“如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這邊的一半, 那么這個(gè)三角形是直角三角形”的證明, 該命題為真命題, 為北師大版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第14 頁(yè)數(shù)學(xué)理解第4 題的內(nèi)容. 設(shè)∠A=α,∠C=β, 由題設(shè)可知OA=OB=OC, 所以有∠OBA=∠A=α,∠OBC=∠C=β,這樣,由三角形內(nèi)角和得到2α+2β= 180°,從而∠ABC=α+β= 90°. 變式5 為“圓”一章的復(fù)習(xí),解決方法同例題2. 變式5 與變式4 均為整合的內(nèi)容,建立在學(xué)生已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上,注重了前后知識(shí)的整體性和關(guān)聯(lián)性. 解題中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想,能更直觀的幫助學(xué)生理解角度關(guān)系,更高效的解題,這種方法可以有更廣的應(yīng)用價(jià)值,下文將通過(guò)例題及變式強(qiáng)化.

1.3 拾級(jí)而上,學(xué)以致用

例題3如圖9, 在ΔABC中,∠ACB= 90°, 分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心,大于的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧相交于M,N兩點(diǎn), 作直線MN, 直線MN與AB相交于點(diǎn)D,與AC相交于點(diǎn)E,連接CD,若AB=4,則CD的長(zhǎng)是_____.

圖9

變式6如圖10,E,F分別是ABCD的BC,AD邊上的點(diǎn),且CE=AF,AE=BE, ∠BAC=90°.

圖10

求證: 四邊形AECF是菱形.

教學(xué)意圖: 例題3 雖有直角作為條件,但并沒(méi)有點(diǎn)D為斜邊中點(diǎn)的條件, 亦無(wú)DA=DB=DC的條件, 因此, 與例題1 和例題2 有所不同. 教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生分析已知條件,區(qū)分題目結(jié)構(gòu), 尋求解題方法. 學(xué)生在例題2 的數(shù)形結(jié)合法的啟發(fā)下,設(shè)∠A=α,可由線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DC,從而有∠A= ∠ACD=α,由∠ACB= 90° 得∠B=∠DCB=90°-α,所以得到DB=DC,這樣就有了DA=DB=DC,從而得到. 例題3 還可以有其他解題方法,由圖可知直線MN為線段AC的垂直平分線,由定義可知點(diǎn)E為中點(diǎn),易知DE//BC,這樣根據(jù)平行線分線段成比例定理得到點(diǎn)D為中點(diǎn),就可以利用定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”解決問(wèn)題了. 例題3 的兩種解法均可用在變式6 中,因此,變式6 能有效的強(qiáng)化例題3 的教學(xué),這樣,通過(guò)例題3 和變式6 復(fù)習(xí)了線段垂直平分線的定義與性質(zhì),復(fù)習(xí)了平行線分線段成比例定理,復(fù)習(xí)了平行四邊形和菱形的性質(zhì)與判定,從而達(dá)到了串聯(lián)知識(shí)以實(shí)現(xiàn)高效復(fù)習(xí)的目的,同時(shí),也強(qiáng)化了數(shù)學(xué)結(jié)合思想.

變式7(2023 年廣東中考第22 題節(jié)選)如圖11, 在矩形ABCD中(AB＞AD),對(duì)角線AC,BD,相交于點(diǎn)O,點(diǎn)A關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)為A′,連接AA′交BD于點(diǎn)E,連接CA′.

圖11

求證:AA′⊥CA′;

教學(xué)意圖本題為2023 年廣東中考數(shù)學(xué)真題的節(jié)選, 有多種解題方法, 較為常見(jiàn)的方法是由點(diǎn)E和點(diǎn)O為中點(diǎn),得到OE為中位線,推出OE//A′C,進(jìn)而由OE⊥AA′得AA′⊥CA′. 除了這種方法,教師可引導(dǎo)學(xué)生利用本節(jié)課復(fù)習(xí)知識(shí)解題,連接OA′,由軸對(duì)稱得OA=OA′,由矩形的性質(zhì)得OA=OC,從而有OA=OA′=OC,這樣又回到了上文的變式5 了. 可以用變式5 的證明方法解題,也可以由圓的定義解題,由OA=OA′=OC得知A,A′,C三點(diǎn)共圓,再由圓周角定理的推論“直徑所對(duì)的圓周角為直角”得到∠A′=90°. 本題既可讓學(xué)生練習(xí)中考真題,還是本節(jié)所復(fù)習(xí)的內(nèi)容的升華,有一石二鳥(niǎo)之妙.

2 教學(xué)思考

2.1 關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)

眾所周知,《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022 年版)》明確指出,“單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)要整體分析數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律, 合理整合教學(xué)內(nèi)容”[2], 而定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的本質(zhì)是矩形性質(zhì)的延伸,“90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑”和“直徑所對(duì)的圓周角為直角”這兩個(gè)圓周角定理的推論的本質(zhì)就是定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”. 中考復(fù)習(xí)的內(nèi)容非常多,零散的知識(shí)點(diǎn)之間有著緊密的聯(lián)系,在中考復(fù)習(xí)課中,抓住數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì),整合零散的知識(shí),理清數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在邏輯,有助于幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò),形成有機(jī)的整體,進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí).

2.2 關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知邏輯

教師是課堂的引導(dǎo)者,而學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體,教學(xué)設(shè)計(jì)要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理特點(diǎn),循序漸進(jìn),中考復(fù)習(xí)的知識(shí)是零散的,教師要依托教學(xué)內(nèi)容,巧妙設(shè)計(jì)課堂的各個(gè)環(huán)節(jié),精選題目,幫助學(xué)生激活記憶,鞏固已學(xué)內(nèi)容. 教學(xué)設(shè)計(jì)要從簡(jiǎn)單到復(fù)雜,在學(xué)生建立了整體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)后,再進(jìn)行知識(shí)的延伸和深拓,如例3 及對(duì)應(yīng)的變式6、變式7 為本節(jié)課的升華,所選題目指向了學(xué)生已有的認(rèn)知,符合學(xué)生的思維特點(diǎn). 題目較之前的定理證明和練習(xí)在難度上有一定的提升,使學(xué)生形成認(rèn)知沖突,學(xué)生的求知欲被激活. 有了之前的方法提煉,學(xué)生思維被打開(kāi),解決問(wèn)題便水到渠成了.

2.3 關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法

作為概念或定理復(fù)習(xí)課,既要發(fā)揮到鞏固知識(shí)、延伸拓展的作用,也要讓學(xué)生感悟思想方法和發(fā)展解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力,學(xué)生在知識(shí)的再認(rèn)知過(guò)程中,進(jìn)一步領(lǐng)悟定理證明和習(xí)題解決過(guò)程中用到的數(shù)學(xué)思想方法,提煉出一般的解題方法,顯得尤為重要. 比如本節(jié)課的數(shù)形結(jié)合思想,在不同的題目中有著同樣的應(yīng)用,題目變化了,但解題的數(shù)學(xué)核心思想方法并沒(méi)有變化,通過(guò)變式練習(xí),培養(yǎng)了學(xué)生在變化中尋找不變的思維能力.

2.4 關(guān)注中考復(fù)習(xí)的整體性

在中考復(fù)習(xí)課中應(yīng)用單元整體教學(xué)理念,對(duì)教師的要求較高,并不是簡(jiǎn)單地重復(fù)學(xué)生在新課中的知識(shí),而是對(duì)初中三年所學(xué)習(xí)內(nèi)容的進(jìn)行整合,挖掘所復(fù)習(xí)知識(shí)內(nèi)部的緊密聯(lián)系,這就需要教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容有更好的研究. 除了老師平時(shí)教學(xué)的積累,還需要備課組的通力合作. 在習(xí)題選取時(shí),要基于復(fù)習(xí)的目標(biāo)選擇適當(dāng)?shù)念}目, 要注意知識(shí)點(diǎn)的全面覆蓋,注意題目的延伸,這樣才能更好地實(shí)現(xiàn)整體性,進(jìn)而提高中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效率. 本節(jié)課在基于單元整體設(shè)計(jì)理念的指導(dǎo)下,從學(xué)生學(xué)習(xí)的方法和認(rèn)知特點(diǎn)的一致性角度進(jìn)行整體的設(shè)計(jì),對(duì)中考數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)有著深遠(yuǎn)的意義.