幾何模型在解題應(yīng)用中“走火入魔”現(xiàn)象的分析*

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 陳碧玉 蘇洪雨

1 幾何模型在解題中的價(jià)值

幾何模型是對(duì)平面幾何問題中常見幾何圖形的性質(zhì),及其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律、數(shù)學(xué)思想方法的提煉. 例如“手拉手模型”、“半角模型”等.

在考試作為基本評(píng)價(jià)模式的背景下,培養(yǎng)學(xué)生的解題能力十分重要. 初中階段平面幾何的問題考察對(duì)于學(xué)生來說普遍偏難. 于是教師在長期的教學(xué)實(shí)踐中對(duì)平面幾何的問題作進(jìn)一步歸納總結(jié),形成幾何模型. 通過幾何模型,揭示隱藏其中的圖形對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),問題解決的常用方法如構(gòu)造法等,讓解題變得有跡可循. 幾何模型也揭示了一類問題的本質(zhì),強(qiáng)化問題解決策略的學(xué)習(xí),促進(jìn)正向遷移的發(fā)生.

幾何模型就如同棋譜中的定式, 運(yùn)用幾何模型解題能大大縮短思維的時(shí)間,更快地接近目標(biāo),起到化繁為簡的目的[1]. 學(xué)生掌握幾何模型可以豐富他們的解題經(jīng)驗(yàn),從更高的角度看待問題,掌握一類問題的本質(zhì). 學(xué)生在解題時(shí)只需根據(jù)模型的特征識(shí)別出模型,便可快速得到正確的解題方向,減輕思維負(fù)擔(dān),加快解題速度.

2 “走火入魔”的反例

隨著平面幾何教學(xué)的深入與考察難度的增加,幾何模型深受命題者的青睞. 但是目前習(xí)題的質(zhì)量參差不齊,命題者對(duì)幾何模型的追求也開始出現(xiàn)“走火入魔”的現(xiàn)象.

題目重現(xiàn)如圖1, ∠A= ∠B= 90°,CA=CB= 4,∠ACB= 120°,∠ECF= 60°,AE= 3,BF= 2,求五邊形ACBFE的面積.

解法一(半角模型) : 延長FB至點(diǎn)M, 使得BM=AE= 3, 連接CM, 如圖2所示. ∵CA=CB=4,∠CAE= ∠CBM= 90°, ∴ΔCAEΔCBM(SAS).∴CE=CM,∠ACE= ∠BCM. 由題∠ACB= 120°,∴∠FCM= ∠BCM+∠FCB= ∠ACB-∠ECF= 60°.又CF為公共邊,∴ΔECFΔMCF(SAS). ∴SΔECF=SΔMCF=SΔCAE+SΔCBF=10,S五邊形ACBEF=20.

半角模型如圖3, 在正方形ABCD中,E、F分別在BC、CD上,且∠EAF= 45°,連接AE、AF、EF,那么EF=BE+DF. 若E、F分別在CB、DF延長線上時(shí),結(jié)論變?yōu)镋F=DF-BE.

當(dāng)E、F分別在BC、CD上時(shí), 延長CD到點(diǎn)G, 使得BE=DG(補(bǔ)短) , 如圖4. 易證ΔABEΔADG(SAS), 得AE=AG, ∠GAF= 45°.易證ΔAFEΔAFG(SAS),結(jié)論得證. 若E、F分別在CB、DF延長線上時(shí),在DC上取點(diǎn)G,使得BE=DG(截長),如圖5. 同理可證.

通過補(bǔ)短或者截長的形式, 構(gòu)造出第一對(duì)全等三角形,這一對(duì)全等三角形可以看成由原三角形旋轉(zhuǎn)形成; 同時(shí)也構(gòu)造出另一個(gè)半角, 即∠GAF= ∠BAD- ∠EAF, 而∠EAF= 45°, 都為∠BAD的一半, 恰好為一對(duì)相等的角,出現(xiàn)第二對(duì)全等三角形.十分關(guān)鍵,故稱為半角模型.

使用半角模型的條件是有邊(AB和AD)相等,且中間分割出一個(gè)半角. 半角模型的使用方法是進(jìn)行補(bǔ)短或者截長.

解法二(解三角形): 由勾股定理,可得CE= 5,;那么.

所以,

為何兩種解法會(huì)出現(xiàn)不一樣的結(jié)果?

3 問題的本質(zhì)分析

問題源于人教版八年級(jí)上冊第十二章“全等三角形”的課后作業(yè),定位為一道初中幾何問題. 考察的知識(shí)點(diǎn)是全等三角形,若學(xué)生只掌握全等三角形,較難求解本題. 而題目中已有兩邊相等以及120° 的半角,根據(jù)半角模型,采取補(bǔ)短邊的方法,使得ΔCAE可以旋轉(zhuǎn)到ΔCBM的位置上,便會(huì)出現(xiàn)全等三角形. 從幾何模型的角度便可輕松得到解法一.

解法二則是在不考慮考察對(duì)象知識(shí)儲(chǔ)備的限制下,運(yùn)用高中階段三角函數(shù)的知識(shí)去求解. 問題的難點(diǎn)是求ΔCEF的面積,運(yùn)用兩邊乘夾角正弦值求三角形面積的方法十分容易解決. 但此時(shí)存在一個(gè)疑問: 題目的一個(gè)條件∠ACB=120° 沒有用上,這個(gè)條件是否是多余的,或者是干擾項(xiàng)?

匯總兩種解法發(fā)現(xiàn)得到的答案并不一致,兩種解法各自也不存在錯(cuò)誤. 仔細(xì)分析兩種解法的差異,發(fā)現(xiàn)解法一使用了“∠ACB=120°”的條件,而解法二沒有. 順著這個(gè)思路分析發(fā)現(xiàn),ΔCAE和ΔCBF已有兩邊及一個(gè)角是確定的,從解三角形的角度,∠ACE和∠BCF是確定的,那么∠ACB也能通過計(jì)算確定. 通過計(jì)算發(fā)現(xiàn),∠ACB≈123.43°,大于120°. 而“∠ACB=120°”是呈現(xiàn)半角模型的重要條件,命題者為了體現(xiàn)半角模型添加了一個(gè)錯(cuò)誤的條件,導(dǎo)致題目違背事實(shí),才出現(xiàn)了結(jié)果不一致的情況.

4 幾何模型應(yīng)用的反思和建議

4.1 基于幾何模型的學(xué)習(xí)要注重過程性

在學(xué)習(xí)幾何模型的過程中,學(xué)生應(yīng)在經(jīng)歷幾何模型應(yīng)用的過程中不斷加深對(duì)平面幾何知識(shí)的理解,提煉方法,培養(yǎng)模型觀念. 只有在幾何模型的學(xué)習(xí)中弄清知識(shí)的來龍去脈,建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò),才能在綜合的情境中識(shí)別出問題的本質(zhì),成功解決問題. 僅將幾何模型看成解題的工具,學(xué)生容易形成思維定勢,不利于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí).

4.2 幾何模型問題設(shè)計(jì)要科學(xué)合理,避免生搬硬套

問題出錯(cuò)的根本原因在于命題者為了體現(xiàn)半角模型添加了一個(gè)錯(cuò)誤的條件,所謂過猶不及. 同時(shí)命題者的命題思路不自然,導(dǎo)致解題者的解題思路也不流暢. 很多八年級(jí)的學(xué)生對(duì)這道題一籌莫展,反而達(dá)不到訓(xùn)練的效果. 強(qiáng)扭的瓜不甜,命題者不能為了考察某個(gè)知識(shí)點(diǎn)或者體現(xiàn)難度而生搬硬套,使問題違背事實(shí).

4.3 幾何模型教學(xué)要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)

幾何模型是對(duì)一些平面幾何問題的高度概括與總結(jié). 在初中平面幾何的教學(xué)中,切忌只向?qū)W生展示模型的內(nèi)容與結(jié)論. 教師應(yīng)在學(xué)生掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)之后,適時(shí)提煉總結(jié),揭示本質(zhì),讓學(xué)生理解幾何模型的邏輯規(guī)則和方法,并注意避免模型思維定勢. 從中幫助學(xué)生理清知識(shí)的脈絡(luò)與結(jié)構(gòu),促進(jìn)發(fā)生知識(shí)遷移;形成模型觀念,提升解決問題的能力.