解密平口單峰函數(shù)及其本質(zhì)

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 葉曉茵

華南師范大學(xué)附屬中學(xué)(510630) 陳偉連

1 試題背景

上述試題蘊(yùn)含平口單峰函數(shù)的命題背景,為了深入研究該類(lèi)問(wèn)題,我們現(xiàn)將上述試題一般化如下,以得到更一般的推廣結(jié)論.

已知h(x) = |f(x)-ax-b| 對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b, 存在x0∈[m,n],使h(x0)≥M,求實(shí)數(shù)M取值范圍.思路分析:

(1)先把x0看成主元,把a(bǔ)、b看成常數(shù),由題目條件存在x0∈[m,n],于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為M≤h(x)max=g(a,b);

(2) 接著把a(bǔ)、b視為主元, 把x0看成常數(shù), 由題目條件對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b, 那么問(wèn)題轉(zhuǎn)化為M≤[g(a,b)]min=[h(x)max]min;

(3)由上可知,解決這類(lèi)問(wèn)題就是求M≤[h(x)max]min.

2 引題呈現(xiàn)

(2017年高考浙江卷第17題)已知a∈ R, 函數(shù)在區(qū)間[1,4]上的最大值為5, 則a∈R 的取值范圍為_(kāi)___.

3 平口單峰函數(shù)定理

平口單峰函數(shù)就是上面的一種特殊情況, 即當(dāng)f(m) =f(n) 時(shí), 在區(qū)間存在唯一的極值點(diǎn)x0(用拉格朗日中值定理可以證得),則h(x) = |f(x)-ax-b|在區(qū)間[m,n] 內(nèi)的最大值的最小值為,當(dāng)a= 0,取等號(hào). 幾何表示如圖1.

圖1

4 研究的幾何意義

接下來(lái),我們將從一個(gè)具體的題目來(lái)說(shuō)明平口單峰函數(shù)定理.

例1已知f(x) =|x2-ax-b|對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b,存在x0∈[m,n],其中m=-2,n=2,使f(x0)≥M,求實(shí)數(shù)M取值范圍.

題目分析:f(x)在幾何意義上為拋物線(xiàn)y=x2與直線(xiàn)y=ax+b在[-2,2]內(nèi)橫坐標(biāo)取一樣時(shí),縱坐標(biāo)之間的距離.M是這兩條線(xiàn)垂直距離的最大值的最小值. 當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí),如圖2,其中拋物線(xiàn)和直線(xiàn)之間的垂直距離M總比2 要大. 當(dāng)斜率為0 的時(shí)候,其中y=x2與y=b2 的垂直距離M,總比在y=2 位置要大. 如下圖3.

圖2

圖3

通過(guò)上面的幾何揭示, 我們發(fā)現(xiàn)f(x0) 最大值的最小值M在處取到.

5 研究問(wèn)題的代數(shù)證明

前面我們是從幾何角度直觀感受絕對(duì)值函數(shù)何時(shí)取得其最大值的最小值的情況,接下來(lái)將從代數(shù)的角度進(jìn)行嚴(yán)格推導(dǎo)來(lái)揭示它的本質(zhì),其實(shí)平口單峰函數(shù)是切比雪夫最佳逼近直線(xiàn)的一個(gè)特例.

切比雪夫最佳逼近直線(xiàn)設(shè)A={g(x)=ax+b|a∈R,b∈R}, 若存在g0(x) ∈ A 使得對(duì)任意g(x) ∈ A, 有, 則g0(x) ∈A 稱(chēng)為f(x) 在切比雪夫下的最佳逼近直線(xiàn), 也可以稱(chēng).

由于運(yùn)用代數(shù)來(lái)證明涉及到切比雪夫逼近直線(xiàn),為了更直觀的了解切比雪夫最佳逼近直線(xiàn),其幾何形式如下圖.

(1)當(dāng)f(x)為單峰函數(shù)時(shí),如圖4,其中過(guò)CM中點(diǎn)D且平行MN的直線(xiàn)就是最佳逼近曲線(xiàn).

圖4

(2)當(dāng)f(x)為非單峰函數(shù)時(shí),如圖5,其中C為圖像的切點(diǎn),過(guò)C點(diǎn)作直線(xiàn)l1和平行于直線(xiàn)l1的l3,與直線(xiàn)l3和直線(xiàn)l1距離相等的直線(xiàn)l2為最佳逼近直線(xiàn). 從幾何角度來(lái)看,最佳逼近直線(xiàn)就是最貼近曲線(xiàn)的一次函數(shù)直線(xiàn),恰好直線(xiàn)到曲線(xiàn)l2的最大距離比其他直線(xiàn)到曲線(xiàn)的最大距離都要小. 就是夾住曲線(xiàn)中間的兩條直線(xiàn)l1、l3中間的直線(xiàn)l2.

圖5

下面將用切比雪夫逼近直線(xiàn)定理和三點(diǎn)控制法來(lái)證明平口單峰的最佳逼近直線(xiàn).

切比雪夫逼近直線(xiàn)定理若f(x) 在[m,n] 上具有二階導(dǎo)數(shù), 且f(x) 為凸函數(shù), 則f(x) 的最佳逼近直線(xiàn)為, 其中,f′(x0) =k. 特別的, 當(dāng)f(m) =f(n)時(shí),直線(xiàn)的斜率為0,此時(shí)直線(xiàn)為最佳逼近直線(xiàn),而h(x) = |f(x)-ax-b|在[m,n]內(nèi)最大值的最小值為.

三點(diǎn)控制法從切比雪夫逼近直線(xiàn)定理可以看出,我們可以選取端點(diǎn)m,n、極值點(diǎn)x0,運(yùn)用三角不等式來(lái)證明.

證設(shè)h(x) = |f(x)-ax-b| 最大值為M, 則有M≥|f(x)-ax-b|,x∈[m,n],M≥|f(m)-am-b|,M≥|f(x0)-ax0-b|,M≥|f(n)-an-b|,于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明M≥max{f(m),f(n),f(x0)}.

對(duì)上式乘相關(guān)系數(shù),得

根據(jù)三角不等式|a| - |b| ≤ |a-b| ≤ |a| + |b|, 有

由于f(m) =f(n), 于是, 當(dāng)a=0,時(shí)取到等號(hào).

注三點(diǎn)控制法重點(diǎn)在于運(yùn)用三角不等式消去帶有a,b的項(xiàng). 這個(gè)方法的原理來(lái)源于切比雪夫多項(xiàng)式.

6 研究問(wèn)題的適用范圍及其應(yīng)用

6.1 直接用平口單峰函數(shù)模型

引題解答依題意即求f(x) ≤5,設(shè),由于g(1) =g(4),則g(x)為平口單峰函數(shù),且g′′(x)＞0,極值點(diǎn)為x= 2,則當(dāng)時(shí),f(x)取到最大值, 而觀察式子得到當(dāng),g(x) 到y(tǒng)=a的距離小于5,即.

6.2 構(gòu)造平口單峰函數(shù)模型

若f(m)f(n),設(shè)h(x)=|f(x)+ax+b|,x∈[m,n],若a,b的范圍沒(méi)有限制, 那么我們可以通過(guò)重新構(gòu)造f(x)來(lái)運(yùn)用平口單峰函數(shù)模型. 步驟如下:

(1)首先,設(shè)p(x) =f(x)+λx,令p(m) =p(n),求出λ的值;

(2)其次將式子變?yōu)閔(x)=|p(x)+(a-λ)x+b|,運(yùn)用平口單峰函數(shù),得到最大值的最小值為,且當(dāng)a=λ,時(shí)取到等號(hào).

例1(2015 年1 月浙江省學(xué)業(yè)水平考試第34 題)設(shè)函數(shù), 若對(duì)于a,b∈R, 總存在x0∈[0,4]使不等式f(x0)≥m成立,求使式子成立的實(shí)數(shù)m.

分析易知該題不符合平口單峰函數(shù)模型的情況, 即f(0)f(4),但是a,b∈R 不受限制,所以可以轉(zhuǎn)化為構(gòu)造平口單峰函數(shù)模型進(jìn)行解題.

解根據(jù)平口單峰函數(shù)模型, 設(shè), 當(dāng)p(0) =p(4) 時(shí), 求得, 則原函數(shù)轉(zhuǎn)化為. 當(dāng)時(shí),解得x=1. 所以當(dāng)時(shí),此時(shí)函數(shù)的最大值的最小值為,所以.

6.3 不能用平口單峰模型

若f(m)f(n),但a,b受到限制的時(shí)候,即題目給出a=0,或者a0,則無(wú)法使用上述方法. 那么找目標(biāo)函數(shù)最大值和最小值本質(zhì)就是求切比雪夫逼近直線(xiàn),結(jié)合三角不等式即可解決該類(lèi)問(wèn)題.

例2(2016 年天津高考理科數(shù)學(xué)第20 題) 設(shè)函數(shù)f(x) = (x-1)3-ax-b,x∈R, 其中a＞0,b∈R, 設(shè)g(x)=(x-1)3,求證|f(x)|在區(qū)間[0,2]上的最大值不小于.

分析由于g(0)g(2),所以不能直接用平口單峰函數(shù)模型.

解法一(切比雪夫直線(xiàn)逼近) 設(shè)g(x) =(x-1)3, 由設(shè)直線(xiàn)l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(0,-1) 且與曲線(xiàn)相切于點(diǎn)(x2,f(x2)), 由,得到極值點(diǎn)為, 則當(dāng)x= 2,l1過(guò)點(diǎn)(2,1),l3過(guò)點(diǎn), 則中點(diǎn)為, 則最佳逼近直線(xiàn)l2為斜率且過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn),, 則,如圖6 所示.

解法二(點(diǎn)控制法) 設(shè)g(x) = (x-1)3, 極值點(diǎn)為,則有

則

注點(diǎn)控制法步驟歸納: ①求出[m,n]內(nèi)f(x)的極值點(diǎn)x1,x2, ②運(yùn)用M≥h(m),M≥h(n),M≥h(x1),M≥h(x2),結(jié)合三角不等式消去a,b求出M的值.

結(jié)語(yǔ)從以上的分析結(jié)果來(lái)看, 我們發(fā)現(xiàn)求函數(shù)h(x) = |f(x)-ax-b| 最大值的最小值, 其背景就是求使得M=h(m)=h(n)時(shí),最小的M值. 我們從平口單峰函數(shù)模型出發(fā),一步一步挖掘蘊(yùn)含的背景知識(shí),首先畫(huà)圖直觀讓學(xué)生感受切比雪夫最佳逼近直線(xiàn). 通過(guò)分析切比雪夫逼近直線(xiàn)的幾何直觀來(lái)揭示本質(zhì),如果不能運(yùn)用平口單峰函數(shù)模型,則可以通過(guò)切比雪夫逼近直線(xiàn)的幾何本質(zhì),通過(guò)畫(huà)圖結(jié)合本質(zhì)進(jìn)行求解. 其實(shí)將高等知識(shí)帶入高中課堂,就將這種知識(shí)背后的思想方法,通過(guò)幾何直觀和代數(shù)來(lái)讓學(xué)生感受并且運(yùn)用,本文旨在從幾何、代數(shù)角度介紹平口單峰函數(shù),同時(shí)從代數(shù)和幾何角度來(lái)引入切比雪夫逼近直線(xiàn),從幾何角度分析切比雪夫直線(xiàn)的本質(zhì),從而面對(duì)一些變式的時(shí)候我們可以畫(huà)圖直觀分析,再運(yùn)用切比雪夫逼近直線(xiàn)的思想求解.