教學(xué)做合一：走向有用的數(shù)學(xué)
——以“推算某月某日是星期幾”的教學(xué)為例

江蘇南通師范學(xué)校第二附屬小學(xué)（226000） 朱建美

三年級下冊期末考試中有這樣一道題：

本題是根據(jù)學(xué)校主題單元活動設(shè)計(jì)的情境題，題目信息雖“源于生活，用于生活”，但卻是學(xué)生出錯(cuò)率最高的題目。結(jié)果統(tǒng)計(jì)說明，學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)缺乏，概念理解有偏差，數(shù)量關(guān)系認(rèn)識模糊，解決不確定的問題時(shí)缺少相應(yīng)的策略。

無獨(dú)有偶，四年級上冊“簡單周期”單元練習(xí)中有這樣一題：“2016 年1 月1 日是星期五，同年的2月1 日是星期幾？”它跟上述三年級下冊期末考試的錯(cuò)題緊密相關(guān)，且“推算幾月幾日是星期幾”的問題在生活中更是常見，可用數(shù)學(xué)方法解答一直是學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)。學(xué)生的錯(cuò)誤看似粗心所致，實(shí)則不然。究其原因，這類問題雖源于生活，但在生活實(shí)際運(yùn)用時(shí)，利用網(wǎng)絡(luò)查找萬年歷便能輕易獲得答案，這條捷徑讓人失去了思考的動力。從這一點(diǎn)看，所謂的生活經(jīng)驗(yàn)沒有促進(jìn)人們的深入思考，反而助長了思維的惰性。因此，“一個(gè)月有多少天”“月歷是怎樣排的”等問題都成了學(xué)生的認(rèn)知盲區(qū)。

鄭毓信教授指出：“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的教學(xué)，不應(yīng)求全，而應(yīng)求聯(lián)；數(shù)學(xué)基本技能的學(xué)習(xí)，不應(yīng)求全，而應(yīng)求變?！弊屑?xì)分析不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生之所以錯(cuò)誤百出，就是因?yàn)樗莆盏闹R支離破碎，沒有建立知識之間的聯(lián)系，缺少自我內(nèi)化、建構(gòu)的認(rèn)知過程。歸根結(jié)底，就是“教學(xué)做”沒有合一，導(dǎo)致學(xué)習(xí)沒有獲得相應(yīng)的效果。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以陶行知先生“教學(xué)做合一”的教育思想為指導(dǎo)，讓學(xué)生在“做”中學(xué)，真正習(xí)得所學(xué)的數(shù)學(xué)知識。

一、課前叩問，找準(zhǔn)難點(diǎn)

教師的教學(xué)方法需要根據(jù)學(xué)生的學(xué)情而定，這是陶行知先生提倡“教學(xué)做合一”教育思想的理由。教材編寫者把“推算幾月幾日是星期幾”的問題安排在“簡單周期”單元練習(xí)中，應(yīng)該有他獨(dú)特的意圖，教師要深入研究教材，解讀練習(xí)設(shè)計(jì)思想。筆者翻閱了很多有關(guān)“簡單周期”的教學(xué)案例及參考資料，都沒有涉及“推算幾月幾日是星期幾”的問題。訪談幾位推算正確的學(xué)生，他們表示先將起始日期加幾或減幾，變成從周一開始周日結(jié)束的傳統(tǒng)意義上的一星期，再用“簡單周期”中的方法解答。這樣的解題策略和“簡單周期”中的方法不太一樣，將原本復(fù)雜的問題變得更復(fù)雜，學(xué)生更難以掌握，即使勉強(qiáng)聽懂也容易遺忘。怎么教學(xué)才能將“推算幾月幾日是星期幾”問題融入“簡單周期”的單元知識中呢？針對學(xué)生推算過程中易錯(cuò)點(diǎn)的分析，筆者明確了教材編寫者設(shè)計(jì)練習(xí)的意圖，了解了學(xué)生的認(rèn)知障礙，找到合適的施教路徑：將學(xué)生一知半解、易混淆的生活問題進(jìn)行知識重構(gòu)，將易錯(cuò)點(diǎn)融入新的知識教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生由淺入深地分析與理解問題，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)難點(diǎn)的突破。

二、生活嵌入，趣問促思

師：國慶期間，學(xué)校長廊按紅、黃、綠、紫、紅、黃、綠、紫、紅、黃、綠、紫……的順序掛了39 面旗。你們能說說最后一面旗是什么顏色嗎？

生1：紅、黃、綠、紫這4 面旗代表一個(gè)周期，表示這4面旗按一定的順序排列，列式為39÷4=9（組）……3（面），余下的3 面旗就是每個(gè)周期中的前三面旗，即紅、黃、綠。所以，第39 面旗就是每組中的第3面旗，即綠色。

師：很好！同學(xué)們對“簡單周期”問題都有固定的解題模式了，現(xiàn)在一起來說說解題過程。

師板書：（1）圈，找周期并圈出一組圖形。（2）算，即總數(shù)除以周期數(shù)。（3）定，根據(jù)結(jié)果決定最后一個(gè)圖形是什么。如果整除沒有余數(shù)，那么最后一個(gè)圖形就是每個(gè)周期中的最后一個(gè)圖形；如果有余數(shù)，余數(shù)是幾，最后一個(gè)圖形就是每個(gè)周期中的第幾個(gè)圖形。

……

基于陶行知先生“生活即教育”的思想，恰逢學(xué)校迎來“國慶”主題單元活動，創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)的、有意義的問題情境，既有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生分析探究問題，又能幫助學(xué)生構(gòu)建解題模型，使學(xué)生更加牢固地掌握“簡單周期”問題的解題策略。

三、激發(fā)憤悱，助力建模

師：為什么上述問題是“簡單周期”問題？

生1：每組圖形就是一個(gè)周期，這個(gè)周期周而復(fù)始。我們過去學(xué)的找規(guī)律問題，其實(shí)都是周期問題。

師：（追問）那你們還想到生活中的哪些周期問題？比如，由這個(gè)課題“簡單周期”想到什么？

生2：我想到時(shí)間問題，因?yàn)殓姳砻刻熘芏鴱?fù)始、有規(guī)律地轉(zhuǎn)動。

生3：每個(gè)星期周而復(fù)始，也是周期問題。

生4：我想到練習(xí)中做過的一道題，就是以一個(gè)星期為一個(gè)周期，來推算幾月幾日是星期幾的問題。比如，根據(jù)2019 年10 月1 日是星期二，推算同年的12月5日是星期幾。

師：聽起來，這確實(shí)是個(gè)典型的周期問題。如果把一個(gè)星期看成一個(gè)周期，那每個(gè)周期指的是從哪天到哪天呢？

生5：日歷上把每周的周日到下周的周六規(guī)定為一個(gè)周期。

生6：我有不同的想法。生活中，很多人認(rèn)為每周的周一到周日是一個(gè)周期。

師：你們說的都對，這是國際上普遍的兩種看法。

師：（追問）還有其他的表述嗎？比如，先從每周的周二開始到下周的周幾正好是一個(gè)周期7 天呢？然后從下周的周二開始到下下周的周幾是一個(gè)周期7天呢？

生7：我覺得從周二到下周的周一是一個(gè)周期7天，從下周的周二到下下周的周一又是一個(gè)周期7天。

師：（指著題目）剛才有同學(xué)提出“推算12 月5日是星期幾”的問題，跟今天學(xué)習(xí)的“簡單周期”問題是否有關(guān)呢？（學(xué)生沉默，這個(gè)問題有些難度）

生8：感覺有關(guān)系。如果有月歷就好了，我覺得用畫月歷的方法能推算出12月5日是星期幾。

生9：我覺得這方法可行，但全部畫出來很麻煩，可以用月歷示意圖，即一周只標(biāo)注一個(gè)日期，下周的這一天依次加7。

生10：那如果跨越好幾個(gè)月，這個(gè)方法也很麻煩。我覺得不僅需要參照月歷，還要學(xué)會推算。

師：讓我們把掌聲送給這些認(rèn)真傾聽、積極思考并發(fā)言的同學(xué)！現(xiàn)在我們就根據(jù)大家的建議，嘗試解決這個(gè)非常有意義的生活實(shí)際問題。

（師生一起設(shè)計(jì)10 月份的月歷示意圖，通過集體討論不斷改進(jìn)、完善推算方法）

師板書：（1）圈，將2019年10月1日往后退1天變成2019 年9 月30 日，這樣就從周一開始，到周日共7天作為一個(gè)完整的周期。（2）算，先算出從2019年9 月30 日到同年12 月5 日的總天數(shù)為1+31+30+5=67（天），再列式計(jì)算，即67÷7=9（周）……4（天）。（3）定，因?yàn)橛鄶?shù)4 天是每個(gè)星期中的前四天，即周一、周二、周三、周四，所以同年的12月5日是周四。

……

教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，雖然學(xué)生的推算方法不成熟、不簡便，但卻是真實(shí)的生活經(jīng)驗(yàn)，值得肯定并鼓勵。盡管學(xué)生已升級到四年級，但對三年級的舊知——“經(jīng)過天數(shù)”的算法仍不熟練，尤其是跨月計(jì)算，他們的思維還是停留在直觀具體的月歷層面。因此，有必要將學(xué)生理解有偏差的概念和數(shù)量關(guān)系融合在新的問題情境中，這樣能為學(xué)生的探究搭建“腳手架”，讓學(xué)生在認(rèn)知沖突中辨析，發(fā)現(xiàn)問題所在，實(shí)現(xiàn)查漏補(bǔ)缺的目標(biāo)。

四、生疑釋疑，解構(gòu)重構(gòu)

師：“推算幾月幾日是星期幾”的方法跟剛才的“簡單周期”解題方法完全一樣嗎？

生1：剛才的“周期問題”是直接從第一個(gè)圖形或字母數(shù)出幾個(gè)作為一組，而這道題得先倒退一下，再選7天作為一組，容易混亂。

師：是??！這題的起始日期是周二，要退1 天變成周一開始。如果給出的起始日期是周六，那就要——

生2：可以退5 天變成周一，也可以往前2 天變成周一，更容易出錯(cuò)。

師：這是大家共同的感覺嗎？這樣解題不僅煩瑣，還容易出錯(cuò)。想一想，推算時(shí)既要將起始日期退到周一，又要把周一到周日看作一個(gè)周期嗎？

生3：我們平常認(rèn)為一星期是從周一到周日，但其他國家認(rèn)為是從周日到下周一。那么，我覺得一個(gè)周期也可以從每周二到下周一，為什么非要把日期退回到周一來解決呢？

生4：我明白了。只要一個(gè)周期都是7 天，且每個(gè)周期都跟前一個(gè)周期一樣，這樣就簡便了。

師：為你們敢于質(zhì)疑、思辨點(diǎn)贊！是啊，直接從起始日期開始，圈一個(gè)周期7 天即可，接下來的每個(gè)周期都一樣，這就是周而復(fù)始。那就按你們的建議來解決2019 年12 月5 日是星期幾的問題吧，看看結(jié)果是否跟剛才的解法一樣。

（巡視過程中發(fā)現(xiàn)：計(jì)算總天數(shù)是學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)，且根據(jù)總天數(shù)除以7 的結(jié)果，怎么確定最后一天是周幾也是學(xué)生理解的難點(diǎn)?；诖?，筆者設(shè)計(jì)一系列問題時(shí)注意了層次感，關(guān)注學(xué)生思維層次的提升）

師：這一題的起始日期正好是10 月的第一天，10 月份的總天數(shù)有31 天，這樣跨月算總天數(shù)就不易出錯(cuò)。先用10月份的31天加上11月份的30天，再加上12 月份的5 天，算出總天數(shù)，即31+30+5=66（天）；然后用總天數(shù)除以周期數(shù)，即66÷7=9（組）……3（天）；最后，確定余數(shù)3 天就是每個(gè)周期（周二、周三、周四、周五、周六、周日、周一）中的前3天，即周二、周三、周四，所以12月5日就是周四。

師：實(shí)踐證明，只要將7 天定為一個(gè)周期，最后都能得到12 月5 日是周四?，F(xiàn)在感覺哪種方法簡便？

生5：直接圈出一周期的方法簡便，這樣就和前面學(xué)的“簡單周期”問題完全一樣了。

師：這題正好是從10 月的第一天開始的，同學(xué)們都知道10月共有31天，總天數(shù)能計(jì)算正確，這一題的解答便不會出錯(cuò)了?？墒?，如果起始日期不是從某月的第一天開始，你們還會正確推算嗎？

課件呈現(xiàn)：2019 年10 月9 日是星期三，同年的12月10日是星期（ ）。

……

從作業(yè)反饋知道，筆者任教的兩個(gè)班級學(xué)生出錯(cuò)率都比較高，原因是學(xué)生對“經(jīng)過天數(shù)”的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)不足，在計(jì)算10 月9 日到10 月31 日的天數(shù)時(shí)少算了一天，導(dǎo)致結(jié)果出錯(cuò)。這樣，設(shè)計(jì)問題的目標(biāo)始終指向幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，重點(diǎn)訓(xùn)練學(xué)生分段計(jì)算總天數(shù)或者總天數(shù)減去沒算的天數(shù)，讓學(xué)生在“做”中進(jìn)一步感知每月天數(shù)及跨月經(jīng)過天數(shù)的算法。同時(shí)，因?yàn)檎抑芷谟幸欢y度，筆者繼續(xù)鼓勵學(xué)困生畫簡易月歷，借助直觀圖示確定周期。如此，舊知與新知之間形成了結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，既有助于培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維，又能起到優(yōu)化問題解決策略的作用，正可謂一舉兩得。

五、走近本質(zhì)，學(xué)以致用

師：現(xiàn)在同學(xué)們已經(jīng)知道怎么推算幾月幾日是星期幾了，希望你們課后能繼續(xù)提出跟“簡單周期”有關(guān)的問題，可以通過微信平臺發(fā)布，讓大家一起分享、思考，也可以將思考過程寫在練習(xí)本上。

（學(xué)生的精彩問題相繼誕生）

生1：芳芳出生在2007 年5 月15 日，今天是4 月23日，再過（ ）周零（ ）天是芳芳的生日。

生2：今天是2019 年10 月15 日，星期二。我想知道，校運(yùn)會11月6日和11月7日分別是星期幾？

生3：今天是2019 年10 月10 日，星期四。我想知道，爸爸的生日2020年1月2日是星期幾呢？

……

學(xué)生在建模的基礎(chǔ)上掌握了“推算幾月幾日是星期幾”的簡便方法，可家長認(rèn)為學(xué)生做錯(cuò)了，非要把周一到周日作為一個(gè)周期來推算，導(dǎo)致結(jié)果出錯(cuò)。這恰恰說明本課所學(xué)的知識確實(shí)是難點(diǎn)，也告訴我們一個(gè)道理：“教學(xué)只有跳出思維框框，才能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神?！?/p>

教學(xué)不應(yīng)只停留在課堂上，應(yīng)該把每一個(gè)學(xué)習(xí)難點(diǎn)日?；?、生活化，讓學(xué)生有機(jī)會實(shí)踐、參與、體驗(yàn)，能站在更高的視角去尋找更多知識之間的聯(lián)系。愛因斯坦曾說：“提出一個(gè)問題比解決一個(gè)問題更重要?！币虼?，教師要引導(dǎo)學(xué)生課后走出學(xué)校、走進(jìn)社會，形成每日一問的思考習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，確保學(xué)習(xí)從淺表走向深刻，更好地完善自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

總之，教師要積極踐行陶行知先生“教學(xué)做合一”的教育思想，這樣“做”中有突破、“做”中有創(chuàng)新，能呈現(xiàn)出更多學(xué)生和教師合作的精彩課堂，實(shí)現(xiàn)師生的共同成長。