八年級學(xué)生代數(shù)推理能力測評與教學(xué)建議*

付 鈺

(南京信息工程大學(xué)教師教育學(xué)院 210044)

1 問題提出

從世界范圍來看,尤其在美國,數(shù)學(xué)教育者及課程決策者都強調(diào)了“代數(shù)已經(jīng)成為通向高等教育和機遇的大門,成功參與民主社會和科技市場離不開抽象代數(shù)思維”[1]．為此,1994年2月,全美數(shù)學(xué)教師理事會(National Council of Teachers of Mathematics,簡稱NCTM)在“為每個人的代數(shù)”(Algebra for Everyone)的報告中指出,每個中學(xué)生都需要有平等的機會去學(xué)習(xí)代數(shù)的基本思想和方法,但事實上學(xué)校中的代數(shù)教學(xué)和學(xué)生的代數(shù)成績并不理想．為解決代數(shù)教與學(xué)中存在的問題,在學(xué)生早期學(xué)習(xí)中引入代數(shù)教學(xué)便成為了美國當時教育研究的迫切需求,為此政府還采取了相應(yīng)的問責(zé)措施使之條文化．NCTM還建議代數(shù)要成為所有K-12年級學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)容．此外,學(xué)生必須要在低年級為高年級的代數(shù)學(xué)習(xí)做好準備[2]．其中,6～8年級是學(xué)習(xí)代數(shù)的過渡時期,也就是說在8年級結(jié)束時,學(xué)生就應(yīng)該具備能服務(wù)于未來數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的扎實的代數(shù)基礎(chǔ)[3]．

學(xué)校數(shù)學(xué)課程中,代數(shù)的“意義”來自數(shù)量和變量之間關(guān)系的表達方式．“數(shù)量之間的關(guān)系”和“代數(shù)推理”在數(shù)學(xué)中無處不在[4]．然而,歷史上“先算術(shù),后代數(shù)”的中小學(xué)數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)幾乎沒有留給學(xué)生多少認知空間,這就導(dǎo)致學(xué)生難以適應(yīng)從小學(xué)和初中多年的計算訓(xùn)練到高中抽象的代數(shù)概念的突然轉(zhuǎn)變．認識到這一點之后,學(xué)者們逐漸提出關(guān)于代數(shù)教與學(xué)的新建議[5]．美國早期代數(shù)研究專家卡帕特提出,各種形式的代數(shù)推理和數(shù)表、圖象、公式等各種代數(shù)表征都是發(fā)展人類文明的有力工具[6]．現(xiàn)代社會生活中存在著大量的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律需要人們運用代數(shù)知識去解讀、探索,例如打折、獲利、尋找最優(yōu)方案等類似的活動,這些活動主要涉及到的都是代數(shù)知識[7]．因此,在小學(xué)階段發(fā)展代數(shù)推理對數(shù)學(xué)教學(xué)改革至關(guān)重要．作為體現(xiàn)數(shù)量間關(guān)系或結(jié)構(gòu)的一般化工具,如何在代數(shù)思維中培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)推理能力是代數(shù)教學(xué)的核心問題．研究者們[8-9]指出,學(xué)生在努力理解代數(shù)概念的過程中需要具備代數(shù)推理能力．因此,代數(shù)推理的發(fā)展和熟練使用被看作是數(shù)學(xué)成功的一個關(guān)鍵因素,因為它使個人有能力從學(xué)習(xí)和使用基本的算術(shù)過渡到理解和使用更復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念[10]．

此外,我國數(shù)學(xué)教育一直非常強調(diào)培養(yǎng)學(xué)生扎實的計算能力,雖然牢固的運算技能確實能夠在一定程度上促進學(xué)生發(fā)展,但是如果過分強調(diào)具體數(shù)值的計算,反而會讓學(xué)生忽視對數(shù)量關(guān)系、算式結(jié)構(gòu)、變量等一系列更高層次數(shù)學(xué)概念的理解[11]．事實上,發(fā)展學(xué)生推理能力的載體廣泛地存在于“數(shù)與代數(shù)”“概率與統(tǒng)計”等內(nèi)容之中[12],《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2022年版)》(下稱《課標2022》)中也強調(diào)了這一點,并在第四學(xué)段(7～9年級)數(shù)與代數(shù)部分的內(nèi)容要求中明確提出了解代數(shù)推理[13],這無疑說明了代數(shù)推理能力的必要性與重要價值．

2 文獻綜述

2.1 代數(shù)推理內(nèi)涵研究

2.2 代數(shù)推理測評研究

從測評內(nèi)容上看,方程是代數(shù)課程的主題之一,眾多數(shù)學(xué)教育研究者以方程為載體探究學(xué)生的代數(shù)推理表現(xiàn)[18-21]．代數(shù)推理的測評內(nèi)容也 主要側(cè)重考查學(xué)生的一般化算術(shù)和函數(shù)思維兩方面[22-25]．

從測評學(xué)段上看,研究者非常重視學(xué)生從算術(shù)推理到代數(shù)推理的過渡過程．研究者認為從靜態(tài)算術(shù)到動態(tài)代數(shù),從具體對象到形式符號,從具體思維到廣義思維,學(xué)生都面臨著相當大的困難[26]．學(xué)生在從算術(shù)過渡到代數(shù)時,會經(jīng)歷認知差距[27-29]．學(xué)生必須“以分析方式構(gòu)想那些不確定的量”,才能克服這種認知差距[30]．

從測評形式上看,部分研究者對影響學(xué)生代數(shù)推理表現(xiàn)的因素進行探究．認知風(fēng)格是影響學(xué)生代數(shù)推理能力產(chǎn)生差異的因素之一[31]．此外,部分研究者在探究影響代數(shù)推理的因素時,也通過干預(yù)的形式證實采取合適的教學(xué)手段可以優(yōu)化學(xué)生代數(shù)推理表現(xiàn)．鑒于學(xué)生所經(jīng)歷的課程,以及多年來大多數(shù)研究是在傳統(tǒng)的課堂環(huán)境下測量給定課程對學(xué)生的影響,國外對于代數(shù)推理的干預(yù)研究多采取旨在教授符號操作技術(shù)的簡單干預(yù)的形式[32-33]．

在代數(shù)推理相關(guān)研究中,盡管許多學(xué)者指出了代數(shù)推理的重要性,但幾乎沒有使用通用的工具來衡量學(xué)生的代數(shù)推理能力．且國內(nèi)對代數(shù)推理的研究主要集中在以下兩個方面:國內(nèi)學(xué)者在“代數(shù)推理在不同學(xué)段發(fā)揮重要的作用”方面達成了共識,或從試題入手分析試題中如何考查學(xué)生的代數(shù)推理能力以及學(xué)生在解決問題中可能遇到的困難．因此,通過本研究可以獲得大量關(guān)于學(xué)生代數(shù)推理表現(xiàn)的數(shù)據(jù),從而拋開猜測,打破“推理只局限于圖形與幾何中”的固有看法,代之以有理有據(jù)的、以量化數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)的評價,從而為數(shù)學(xué)教育研究者開展代數(shù)教學(xué)研究提供實證基礎(chǔ)．

3 研究方法

3.1 測評對象

本研究選取B市2所中學(xué)的八年級學(xué)生為研究對象,采取整群抽樣的方式發(fā)放測試題664份．在剔除漏答過多、回答完全一致的問卷后,最終得到有效樣本646份,有效率為97.3%．

3.2 測評框架

代數(shù)推理測評框架主要是通過對高校教師(數(shù)學(xué)教育方向)、中學(xué)數(shù)學(xué)教研員、一線數(shù)學(xué)教師、數(shù)學(xué)教育方向博士生等進行訪談、研討、問卷調(diào)查最終形成的,為后續(xù)的測評工作奠定基礎(chǔ)．在本研究中,研究者將代數(shù)推理視為一種能力,也就是成功地完成代數(shù)推理活動所必需的個性心理特征,測評框架主要包含內(nèi)容維度、能力維度、情境維度．內(nèi)容維度主要體現(xiàn)代數(shù)推理的知識內(nèi)容,主要包括數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù);能力維度是代數(shù)推理測評的核心,主要包括發(fā)現(xiàn)模式、表示模式、論證;情境維度是指提出數(shù)學(xué)問題的場合,主要包括真實情境和其他情境．

3.3 測評工具

本研究旨在了解八年級學(xué)生群體應(yīng)該掌握的代數(shù)推理能力,為了規(guī)避檢測內(nèi)容與參測學(xué)生有限的矛盾,從而采取錨題技術(shù)[34]．故本研究測試工具為C,D兩套試卷,兩套試卷各28道試題,其中包含18道錨題．測試試卷的題型分為選擇題(四選一)、填空題和解答題:8道選擇題,3道填空題和8道解答題,其中解答題最少為1問,最多為3問．八年級學(xué)生代數(shù)推理能力測試題依據(jù)《課標2022》內(nèi)容標準制定,根據(jù)本研究的研究目的與研究內(nèi)容編寫測驗雙向細目表,明確每一道試題考查的目標和評分標準．測試題經(jīng)過6人訪談,30人、200人兩輪預(yù)測試,以保證測試題的難度、區(qū)分度等指標均符合要求．以下對部分測試題及評分標準進行舉例說明．

題1能被2整除的整數(shù)叫做偶數(shù),不能被2整除的整數(shù)叫做奇數(shù)．引入負數(shù)后,如1,-3等是奇數(shù),0,-2等是偶數(shù)．任意兩個連續(xù)整數(shù)的平方差能確定是奇數(shù)還是偶數(shù)嗎?寫出你的判斷并證明．

解答題通常采用確立題目得分點的方式評閱,該題需要學(xué)生證明結(jié)論的一般性,要求學(xué)生會使用字母表示數(shù),借用平方差公式進行推導(dǎo),并作出正確的結(jié)論,每個得分點占1分,評分標準如 表1所示．

表1 M8CS131評分標準

題2如圖1所示,已知前兩個天平兩端保持平衡．要使第三個天平兩端保持平衡,天平的右邊應(yīng)放幾個圓形?請寫出你的思路．

該題的分值設(shè)置為3分,考慮到學(xué)生可能用字母、或文字、或圖形來表征題目中給出的等量關(guān)系,進而得到正確的結(jié)論,這樣作答的分值為3分．預(yù)設(shè)極少數(shù)學(xué)生沒有看清題意,將天平右邊應(yīng)該放幾個○表示成▲,也得到了正確的結(jié)論,這樣作答的分值為2分．除此之外,部分學(xué)生可能用字母、或文字、或圖形來表征題目中給出的等量關(guān)系,但未得到正確的結(jié)論或運算錯誤,這樣作答的分值為1分.評分標準如表2所示．

表2 M8CS151評分標準

該題要求學(xué)生驗證等式是否成立,難度稍大,分值為4分．還存在部分學(xué)生運用特殊值方式證明等式的成立,此類作答給1分,評分標準如表3所示．

表3 M8DS172評分標準

4 研究結(jié)果

4.1 經(jīng)典測量理論的試題質(zhì)量分析

經(jīng)典測量理論主要從測試題的信度、難度、區(qū)分度等指標對測試題進行質(zhì)量分析,以檢驗測試題的有效性．經(jīng)檢驗,C卷的Alpha的系數(shù)為0.798,D卷的Alpha的系數(shù)為0.818,內(nèi)部一致性信度較好,符合經(jīng)典測量理論中的信度要求．測試題的難度與區(qū)分度如圖2所示．

圖2 測試題的難度與區(qū)分度

由圖2可知,C,D卷大部分測試題的區(qū)分度介于0.4～0.7之間．根據(jù)經(jīng)典測量理論的區(qū)分度測量標準,區(qū)分度大于0.4即說明該題目可以區(qū)分不同水平的學(xué)生,由此判斷C,D卷大部分測試題的區(qū)分度均符合經(jīng)典測量理論的區(qū)分度的要求．

4.2 項目反應(yīng)理論的試題質(zhì)量分析

在命題設(shè)計上,有部分試題考查多個代數(shù)推理的子能力．經(jīng)專家標定后,在制定試題的評分標準時,將得分點設(shè)置在代數(shù)推理子能力的表現(xiàn)上．若客觀題中考查多個代數(shù)推理能力的子能力時,本研究假設(shè),得到正確答案的學(xué)生即在相應(yīng)的代數(shù)推理能力的子能力得分點上均得分,其他學(xué)生在相應(yīng)的代數(shù)推理能力的子能力得分點上均不得分．而簡答題中評分標準的得分點在考查多個代數(shù)推理子能力時進行了得分點賦分．根據(jù)本研究測評框架,代數(shù)推理可以從能力、情境和內(nèi)容維度進行刻畫,故分別使用多維Rasch模型對試題中的所有項目進行分析,各題擬合指數(shù)見表4．

表4 多維Rasch模型下的各題擬合指數(shù)

續(xù)表

由表4可知,整體來看,各維度下的幾乎所有項目的擬合指數(shù)(INFIT MNSQ)都在0.7～1.3,說明測試數(shù)據(jù)符合模型．

4.3 代數(shù)推理能力表現(xiàn)

4.3.1 八年級學(xué)生代數(shù)推理能力總體表現(xiàn)

由于Conquest軟件默認的輸出分數(shù)為標準分(又稱為Z分數(shù)),Z分數(shù)會出現(xiàn)負值和小數(shù),因此本研究采用CEEB分數(shù):CEEB分數(shù)=100Z+500,該分數(shù)的均分為500,標準差為100[35],而分維度能力值則乘以50再加300分別代表學(xué)生代數(shù)推理子能力表現(xiàn)．八年級學(xué)生代數(shù)推理能力分布如圖3所示．

圖3 八年級學(xué)生代數(shù)推理能力分布

從圖3可以看出,參測學(xué)生代數(shù)推理能力平均水平為496.76,大部分學(xué)生的代數(shù)推理能力處在400～600分之間(約占80%)．

4.3.2 八年級學(xué)生代數(shù)推理子能力之間的關(guān)系剖析

(1)八年級學(xué)生代數(shù)推理子能力的表現(xiàn)分析

圖4呈現(xiàn)了參測的八年級學(xué)生在發(fā)現(xiàn)模式、表示模式、論證三個代數(shù)推理子能力維度上的表現(xiàn)情況．

圖4 八年級學(xué)生在代數(shù)推理各能力維度上的表現(xiàn)情況

從圖4可以看出,學(xué)生在發(fā)現(xiàn)模式代數(shù)推理子能力的表現(xiàn)的離散程度明顯高于表示模式、論證子能力的表現(xiàn)的離散程度．此外,發(fā)現(xiàn)模式、表示模式、論證均存在低分異常值．

(2)能進行符號化的學(xué)生與其他學(xué)生的代數(shù)推理能力差異分析

作為代數(shù)推理的一個核心方面,一般化和符號化受到了廣泛的關(guān)注[36-38]．符號化的重要性在于它是一種手段,通過這種手段,可以將多個實例概括成一個象征多樣性的單一陳述的單一形式[39]．在本研究中,研究者認為八年級學(xué)生需要借助符號實現(xiàn)一般化推導(dǎo)的過程,故符號化與代數(shù)推理能力密切相關(guān)．在命題設(shè)計的過程中,命題團隊設(shè)置了M8CS151(M8DS151,題2)來考查學(xué)生的代數(shù)推理能力,但在對這道題的評閱過程中發(fā)現(xiàn)參測學(xué)生應(yīng)用了文字、符號、圖形來解決問題,故對能進行符號化的學(xué)生與其他學(xué)生的代數(shù)推理能力可能存在的差異進行探究．圖5呈現(xiàn)了能進行符號化的學(xué)生(組1)與其他學(xué)生(組2)代數(shù)推理子能力的表現(xiàn)情況．

圖5 能進行符號化的學(xué)生與其他學(xué)生的代數(shù)推理子能力的表現(xiàn)情況

在獨立樣本t檢驗分析中發(fā)現(xiàn),能進行符號化的學(xué)生的代數(shù)推理能力與其他學(xué)生的代數(shù)推理能力呈現(xiàn)了顯著的統(tǒng)計學(xué)差異(p<0.05)．并在子能力維度,能進行符號化的學(xué)生的表現(xiàn)情況與其他學(xué)生的表現(xiàn)情況均呈現(xiàn)了顯著的統(tǒng)計學(xué)差異,這表明能進行符號化的學(xué)生的代數(shù)推理能力明顯優(yōu)于其他學(xué)生．

(3)能給出一般性論據(jù)的學(xué)生與其他學(xué)生的代數(shù)推理能力差異分析

此外,在對M8CS172(M8DS172,題3)進行評閱的過程中發(fā)現(xiàn),部分學(xué)生使用了特殊值的方式進行驗證,但特殊值不具有一般性,故進一步探究該類學(xué)生(組2)與能給出一般性論據(jù)的學(xué)生(組1)代數(shù)推理能力的表現(xiàn)情況,如圖6所示．

圖6 能給出一般性論據(jù)的學(xué)生與其他學(xué)生的代數(shù)推理子能力的表現(xiàn)情況

在獨立樣本t檢驗分析中發(fā)現(xiàn),能給出一般性論據(jù)的學(xué)生的代數(shù)推理能力與其他學(xué)生的代數(shù)推理能力呈現(xiàn)了顯著的統(tǒng)計學(xué)差異(p<0.05)．并在子能力維度,能給出一般性論據(jù)的學(xué)生的表現(xiàn)情況與其他學(xué)生的表現(xiàn)情況呈現(xiàn)了顯著的統(tǒng)計學(xué)差異,這表明能給出一般性論據(jù)的學(xué)生的代數(shù)推理能力明顯優(yōu)于其他學(xué)生．

5 建議與啟示

5.1 提高學(xué)生符號化能力,引導(dǎo)學(xué)生嘗試給出一般性論據(jù)

本研究表明,部分八年級學(xué)生尚未掌握符號化能力,仍傾向于使用圖形或者文字解決問題,并習(xí)慣以特殊值的形式提供一般性論據(jù)．這可能由于學(xué)生在掌握解題技巧過程中,常常利用特殊值來判斷選擇題選項是否正確,尚未形成提供一般性論據(jù)的習(xí)慣．八年級是中學(xué)階段思維發(fā)展的關(guān)鍵期,這個時候?qū)W生思維開始從具體運算階段向形式運算階段發(fā)展,學(xué)生的抽象邏輯思維開始由經(jīng)驗型向理論型水平轉(zhuǎn)化．八年級是邏輯抽象思維的新起步,是中學(xué)階段運算思維的質(zhì)變時期．故尤其要利用現(xiàn)實情境中的問題,向?qū)W生滲透代數(shù)語言的簡潔、明了,使其感受符號化的必要性及重要意義．同時在教學(xué)中,切勿只過分強調(diào)特殊值等解題技巧,而可以在通過講授特殊值在快速判斷選擇題選項的基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生給出一般性論據(jù),循循善誘,讓學(xué)生站在更高的角度明晰題意．

5.2 教學(xué)活動中加強代數(shù)推理的“推理”環(huán)節(jié)

很多師生未能很好地“感受到”代數(shù)學(xué)習(xí)過程中的推理,部分原因是在教材設(shè)計和教學(xué)實施中,代數(shù)推理的過程展開不夠[40]．因此,將代數(shù)內(nèi)容中的推理過程呈現(xiàn)給學(xué)生是重要且必要的,在這個過程中,讓學(xué)生理解計算要依據(jù)一定的“規(guī)則”——公式、法則、運算律等,實現(xiàn)計算中有推理(算理)．具體地,可以從代數(shù)推理角度理解教材中的“規(guī)定”問題,例如,在八年級上整數(shù)指數(shù)冪中“任何非零數(shù)的零次冪都等于1”,其實,該規(guī)定可以從am÷am=am-m=a0得出,然后強調(diào)由于0不可以作為除數(shù),所以限制條件是非零數(shù),從該種意義上幫助學(xué)生理解“規(guī)定”問題,可以讓學(xué)生摒棄死記硬背的習(xí)慣．

5.3 從程序性學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向理解性學(xué)習(xí)

學(xué)生有能力進行復(fù)雜的數(shù)學(xué)推理[41],但傳統(tǒng)的教學(xué)不是建立在學(xué)生對數(shù)學(xué)的思考方式上,而是圍繞著對計算法則等的記憶．在這個過程中,學(xué)生往往會摒棄自己的數(shù)學(xué)思想,并開始依賴他們個人經(jīng)?；煜膫鹘y(tǒng)算法程序和不準確的“經(jīng)驗法則”[42],因此他們?nèi)狈?shù)感和對數(shù)學(xué)運算的理解．舍瓦列夫以暫時聯(lián)系理論的觀點分析解代數(shù)題的推理過程,得出一個重要的結(jié)論:隨著學(xué)生對數(shù)學(xué)推理過程和解數(shù)學(xué)題技能的熟練掌握,他們將漸漸意識不到所用的法則,雖然他們能正確地遵守這法則[43]．學(xué)生對數(shù)學(xué)知識理解的轉(zhuǎn)變要求教師改變教授數(shù)學(xué)概念的方式,教師必須從專注于計算和記憶轉(zhuǎn)向?qū)Ｗ⒂跀?shù)學(xué)意義的形成、問題的解決和推理．學(xué)生更需要通過有意義的活動和論述來發(fā)展自己的理解,這些活動和論述將使他們深刻理解這些概念,并將它們作為后續(xù)年級學(xué)習(xí)的基石．