一道2023年解析幾何?？碱}的探究

宋桃富

【摘? 要】? 從歷年高考真題和各地模擬卷可以看到，依托極點(diǎn)極線的背景來(lái)命制的圓錐曲線綜合問(wèn)題非常多，考查的不是高等數(shù)學(xué)知識(shí)生搬硬套，而更多的是考查高中生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力.教學(xué)中，我們可以站在更高處來(lái)看待問(wèn)題，了解知識(shí)的背景和原理有助于更好理解問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】? 高中數(shù)學(xué)；橢圓；圓錐曲線

1? 試題呈現(xiàn)

試題? （2023年燕博園21題）已知橢圓：的短軸長(zhǎng)為，離心率為．點(diǎn)，直線：．

（1）證明：直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且每一點(diǎn)與的連線都是橢圓的切線；

（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，求證：．

本試題以橢圓為載體，考查圓錐曲線切線、定值問(wèn)題.問(wèn)題（1）是以極點(diǎn)、極線為為背景，證明橢圓的切線；問(wèn)題（2）以調(diào)和點(diǎn)列性質(zhì)為背景，證明直線與橢圓交點(diǎn)的線段乘積等量關(guān)系.本題的知識(shí)背景深厚，解題方法多樣，較好地考查了考生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

2? 證法探究

由題知，因此，

則橢圓方程為：.

聯(lián)立消去，

可得，，則該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，所以直線與橢圓相交于兩點(diǎn).

下面從不同視角，對(duì)問(wèn)題（1）的證明切線及問(wèn)題（2）進(jìn)行解答.

2.1? 問(wèn)題（1）證明

證法1? 設(shè)為直線與橢圓的交點(diǎn)，

則，，

直線的方程為，

即.

代入橢圓方程得，

所以，

整理得，

即，

從而.

所以直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，即是橢圓的切線.

證法2? 由，令，

得，

則過(guò)求圓的切線，可得切點(diǎn)弦方程為，從而可知與的兩交點(diǎn)，任意一點(diǎn)與連線都是圓的切線，又因?yàn)樯炜s變換不改變圖形的相切和相交特征，從而得證直線與橢圓的兩相交點(diǎn)，與的連線都是橢圓的切線.

證法3? 過(guò)點(diǎn)作橢圓：的切線，

則切點(diǎn)弦所在直線方程為．

所以過(guò)作橢圓的切線，

切點(diǎn)弦所在直線方程為，

即，即直線為切點(diǎn)弦.

所以直線與橢圓的交點(diǎn)與的連線是橢圓的切線.

證法4? 由，

解得，

所以，

設(shè)過(guò)直線方程為，

由，

所以，

由得，即過(guò)作橢圓的切線，兩切線分別為.所以直線與橢圓的交點(diǎn)與的連線是橢圓的切線.

2.2? 問(wèn)題（2）證明

因?yàn)樗狞c(diǎn)共線，由（1）可知在線段外，在線段內(nèi)，所以與的方向相同，與的方向相同，設(shè).

證法1? 要證，

只需要，

即證，

不妨設(shè)，

因?yàn)樗狞c(diǎn)共線，

所以等價(jià)于，

即，

化簡(jiǎn)得，等價(jià)于求證.

設(shè)直線的方程為，

即，

由，

可得.

又由，

可得，

所以，

從而

.

所以結(jié)論成立.

證法2? 令，

所以.

又因?yàn)椋?/p>

由得，

所以，

即，

即，

所以點(diǎn)在上，且，

所以由，，

可得.

證法3? 令，

由得，

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，

可得，

化簡(jiǎn)得.

同理由，

可得，

所以是方程兩根，

從而，

所以.

所以，

即.

3? 試題推廣

試題適當(dāng)推廣及結(jié)論的普遍性探討，可以起到強(qiáng)化問(wèn)題的理解，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題規(guī)律的思考，升華解題思想方法，提高解題的遷移能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力，提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).對(duì)于本考題，可以如下試題推廣.

結(jié)論1? 過(guò)橢圓外點(diǎn)，作橢圓：的兩條切線，切點(diǎn)為；若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，與切點(diǎn)弦交于點(diǎn).則：

（1）切點(diǎn)弦所在直線方程為；

（2）.

結(jié)論2? 過(guò)雙曲線外點(diǎn)，作雙曲線：的兩條切線，切點(diǎn)為；若過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，與切點(diǎn)弦交于點(diǎn).則：

（1）切點(diǎn)弦所在直線方程為；

（2）.

結(jié)論3? 過(guò)拋物線外點(diǎn)，作拋物線：的兩條切線，切點(diǎn)為；若過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與切點(diǎn)弦交于點(diǎn).則：

（1）則切點(diǎn)弦所在直線方程為，即；

（2）.

評(píng)注? 以上結(jié)論的證明可參照試題的證明過(guò)程，限于篇幅，不再給出.

4? 試題的逆向思考

考慮試題的逆命題：已知橢圓：．點(diǎn)，直線：．

（1）直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，過(guò)兩點(diǎn)分別作橢圓切線，則：相交于點(diǎn)；

（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且直線上一點(diǎn)滿足．則點(diǎn)在直線上.

評(píng)注? 試題的逆命題是正確的，聯(lián)系結(jié)論1至結(jié)論3，容易得到三個(gè)結(jié)論的逆命題，詳細(xì)的證明留給感興趣的讀者進(jìn)行研究.

5? 試題背景探究

引理1? （極點(diǎn)極線幾何特征[1]）以橢圓為例，如圖1所示，設(shè)為橢圓外一點(diǎn)，過(guò)作橢圓的兩條割線分別與橢圓相交于和四點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則稱(chēng)點(diǎn)為直線關(guān)于橢圓的極點(diǎn)，直線為點(diǎn)關(guān)于橢圓的極線；另一方面，圖1也可以這么來(lái)看，從橢圓外的點(diǎn)作橢圓的兩條割線分別交橢圓于和四點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，所以點(diǎn)和直線也是一對(duì)極點(diǎn)極線，同理，點(diǎn)和直線也是一對(duì)極點(diǎn)極線，因此在中，以其中一個(gè)頂點(diǎn)作為極點(diǎn)，那么該頂點(diǎn)的對(duì)邊所在的直線就是對(duì)應(yīng)的極線，從而我們將稱(chēng)為“自極三角形”，為了加以區(qū)分，圖中畫(huà)成了虛線．如圖2所示，當(dāng)其中一條割線變成切線時(shí)，此時(shí)幾個(gè)點(diǎn)就都與切點(diǎn)重合，從而點(diǎn)和切線是一對(duì)極點(diǎn)極線.

圖1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖2

引理2? （極點(diǎn)極線的代數(shù)特征[2]）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)有圓錐曲線（圓、橢圓、雙曲線、拋物線均可）和不與的對(duì)稱(chēng)中心重合的點(diǎn)，在圓錐曲線的方程中，用替換，替換，替換，替換，得到的方程即為以作為極點(diǎn)的極線的方程.即過(guò)二次曲線外一點(diǎn)，作曲線：的兩條切線，切點(diǎn)為，則切點(diǎn)弦所在直線方程為.

以橢圓為例：

（1）當(dāng)點(diǎn)在橢圓上時(shí)，極線為橢圓在處的切線，如圖3所示；

（2）當(dāng)點(diǎn)在橢圓外部時(shí)，極線為過(guò)點(diǎn)對(duì)橢圓的切點(diǎn)弦所在直線，如圖4所示.

圖3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖4

引理3? （極點(diǎn)極線的調(diào)和分割性）（以橢圓為例）如圖5所示，設(shè)極點(diǎn)的極線是直線，過(guò)作橢圓的一條割線交橢圓于兩點(diǎn)，交極線于點(diǎn)，則成調(diào)和點(diǎn)列，即（或?qū)懗桑?

圖5

試題回顧? 從極點(diǎn)極線看，試題的問(wèn)題（1），如上圖4，為極點(diǎn)，由引理2極點(diǎn)極線的代數(shù)特征，可快速求解極線方程即為直線方程，即直線為極線，從而得證“直線與橢圓的兩相交點(diǎn)，任一點(diǎn)與的連線都是橢圓的切線”. 試題的問(wèn)題（2），如上圖5，為極點(diǎn)，由引理3可知，則成調(diào)和點(diǎn)列，即，即.站在極點(diǎn)極線的背景知識(shí)下，試題的兩個(gè)問(wèn)題均可快速得到解決.同時(shí)，我們也可以更好的理解命題者如何命制此試題.

6? 鏈接真題

真題1? （2020年新課標(biāo)Ⅰ卷題20）已知分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為的上頂點(diǎn)，，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，與的另一交點(diǎn)為，與的另一交點(diǎn)為.

（1）求的方程；

（2）證明：直線過(guò)定點(diǎn).

分析? 問(wèn)題（2）從極點(diǎn)極線看，如圖6，設(shè)和交于點(diǎn)，和交于點(diǎn)，則為自極三角形，所以點(diǎn)和直線是一對(duì)極點(diǎn)極線，設(shè)，則極線的方程為，即，又點(diǎn)在直線上，所以，從而，故，這樣就得到了直線過(guò)定點(diǎn).

圖6

真題2? （2018年新課標(biāo)Ⅰ卷）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程；

（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.

分析? 問(wèn)題（2）從極點(diǎn)極線看，極點(diǎn)極線看問(wèn)題：如圖7，設(shè)、分別為關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，

則顯然四邊形構(gòu)成等腰梯形，其對(duì)角線的交點(diǎn)，以為極點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)的極線為，即，而和的交點(diǎn)應(yīng)該在極線上，從而就是和的交點(diǎn)，由圖形的對(duì)稱(chēng)性不難發(fā)現(xiàn).

且這一結(jié)論還可以推廣，若不是焦點(diǎn)，而是橢圓內(nèi)軸正半軸上的一個(gè)一般的點(diǎn)，比如可設(shè)為，

那么它的極線為，即，所以點(diǎn)必定也能使

圖7

7? 結(jié)語(yǔ)

從往年高考真題和各地模擬卷可以看到，這種依托極點(diǎn)極線的背景來(lái)命制的圓錐曲線綜合問(wèn)題非常多，都是從同一知識(shí)背景不斷挖掘，且又進(jìn)行不同變式設(shè)置，考查的不是高等數(shù)學(xué)知識(shí)生搬硬套，而更多的是考查高中生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，這既體現(xiàn)了傳承經(jīng)典，又適度創(chuàng)新！在平時(shí)的教學(xué)上，我們可以站在更高處來(lái)看待問(wèn)題，了解知識(shí)的背景和原理有助于更好理解問(wèn)題；另外在平時(shí)教學(xué)中，對(duì)問(wèn)題多進(jìn)行變式及結(jié)論推廣，能有效地培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力.

【參考文獻(xiàn)】

[1]信統(tǒng)帥，姜坤崇.有心圓錐曲線中的一組調(diào)和點(diǎn)列[J]，中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2023（06）：36-37.

[2]林國(guó)紅.極點(diǎn)與極線在圓錐曲線中的應(yīng)用[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)，2019（11）：41-42.