高中數(shù)學(xué)數(shù)列通項(xiàng)公式求解技巧

余 濤

(杭州市富陽(yáng)區(qū)江南中學(xué),浙江 杭州 311421)

高中數(shù)學(xué)數(shù)列通項(xiàng)公式的求解一直是教學(xué)的重難點(diǎn),其求解技巧的靈活性較強(qiáng),通常較難被學(xué)生掌握.為了幫助學(xué)生更好地把握數(shù)列通項(xiàng)公式的求解,文章匯總了不同類型的數(shù)列通項(xiàng)公式實(shí)例求解技巧,幫助學(xué)生在具體應(yīng)用中去感受.

1 公式法

例1已知等差數(shù)列{an}符合a1+a2=10,a4-a3=2.

(1)求{an}的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)等比數(shù)列{bn}滿足b2=a3,b3=a7,求b6與數(shù)列{an}的第幾項(xiàng)相等?

解析(1)令等差數(shù)列{an}的公差為d,因?yàn)閍4-a3=2,所以d=2.

因?yàn)閍1+a2=10,所以2a1+d=10.所以a1=4.

綜上,an=2n+2(n=1,2,…).

(2)令等比數(shù)列{bn}的公比是q,因?yàn)閎2=a3=8,b3=a7=16,所以q=2,b1=4.所以b6=4×26-1=128.由128=2n+2,得n=63[1].

由此可知,b6與數(shù)列{an}的第63項(xiàng)相等.

2 累加法

針對(duì)隸屬于an=an-1+f(n)類型的遞推式,可以通過(guò)移項(xiàng)取相鄰兩項(xiàng)的差,從而得到一種函數(shù)關(guān)系an-an-1=f(n),再采用代入方法累加每個(gè)遞推式使之相互抵消后,又可以得到一種只具有a1,an的遞推式,將得到目標(biāo)數(shù)列的通項(xiàng)公式.一般可采用數(shù)列求和、錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消等技巧實(shí)現(xiàn)化解.

因?yàn)閍n=Sn-Sn-1(n≥2),

3 累乘法

解析由a1=2,an+1=2an,得an=2n(n∈N*).當(dāng)n=1時(shí),b1=b2-1,所以b2=2.

所以當(dāng)n≥2時(shí),

同時(shí)因?yàn)閎1=1,b2=2,所以bn=n.

4 數(shù)學(xué)歸納法

首先計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng),然后觀察an和n的關(guān)系并猜想數(shù)列通項(xiàng)公式,最后通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法予以驗(yàn)證,確定所猜想的數(shù)列通項(xiàng)公式成立于所有項(xiàng)數(shù)條件下.

由此推測(cè)cn=(n+1)n(n∈N*).

通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明,具體過(guò)程如下:

(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=右邊=2,等式成立.

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立,則

=[(k+1)+1]k+1.

所以,當(dāng)n=k+1時(shí),等式成立,結(jié)合(1)(2)可知,Cn=(n+1)n對(duì)所有正整數(shù)n均成立.

5 對(duì)數(shù)變換法

所以lgan+1=lg2+nlg3+5lgan.

令lgan+1+c(n+1)+d=5(lgan+cn+d),

則lgan+1=5lgan+4d+4cn-c.

得到:

6 構(gòu)造法

例6已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an=3an-1-2n2-1(n≥2),求an.

解析因?yàn)閍n=3an-1+2n2-1(n≥2),令an+xn2+yn+z=3[an-1+x(n-1)2+y(n-1)+z],

整理,得

an=3an-1+2xn2+(-6x+2y)n+(3x-3y+2z).

本文主要研究了高中數(shù)學(xué)數(shù)列通項(xiàng)公式的求解技巧,不同求解技巧應(yīng)用了不同的數(shù)學(xué)思想,在公式法中呈現(xiàn)的是一種分類討論思維,數(shù)學(xué)歸納法則呈現(xiàn)了一種回歸整理思想,剩余技巧呈現(xiàn)的則是轉(zhuǎn)化化歸的思想.