模型意識(shí)在求解三角形最值(范圍)問(wèn)題中的應(yīng)用

林厚棟

(福清融城中學(xué),福建 福州 350300)

解三角形中的最值(范圍)問(wèn)題往往與平面解析幾何、三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、基本不等式等相關(guān)知識(shí)加以交匯與融合,充分體現(xiàn)了新課標(biāo)中“在知識(shí)的交匯處命題”的指導(dǎo)思想.此類(lèi)問(wèn)題較全面地考查學(xué)生的識(shí)別模型的能力、化歸與轉(zhuǎn)化能力以及運(yùn)算求解能力等.破解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是要基于問(wèn)題情境,依托圖形特征或目標(biāo)問(wèn)題導(dǎo)向,樹(shù)立模型意識(shí),并以模型為導(dǎo)向,結(jié)合正余弦定理實(shí)施合理轉(zhuǎn)化,進(jìn)而構(gòu)建出具體的模型實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的求解.

1 策略剖析

解三角形本質(zhì)上是在三角形內(nèi)蘊(yùn)方程(三角形的正弦定理、余弦定理、三角形內(nèi)角和定理以及三角形兩邊之和大于第三邊)的基礎(chǔ)上,把試題設(shè)定的條件(方程)與內(nèi)蘊(yùn)方程建立起聯(lián)系,從而得到三角形的全部或者部分度量關(guān)系.而度量關(guān)系的形成,就需要對(duì)已知條件進(jìn)行深度加工或?qū)D形中隱藏的內(nèi)蘊(yùn)特征進(jìn)行挖掘,把情境問(wèn)題模型化,以利于順利求解問(wèn)題.解三角形中有關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題常見(jiàn)的解題路徑是: 直觀感知(直觀數(shù)式和直觀幾何圖形特征)、識(shí)別模式(建立已知和未知之間的聯(lián)系)、引入變量(邊或角)、建立模型、問(wèn)題求解.

解三角形中的最值(范圍)問(wèn)題,最根本的落腳點(diǎn)是樹(shù)立模型化思想,模型化思想的內(nèi)涵包含函數(shù)模型的建立或者隱形的軌跡方程模型的確認(rèn),軌跡模型常有圓、橢圓、雙曲線等.在運(yùn)用動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程模型中,首先要通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)三角形的邊與邊之間的數(shù)量關(guān)系,進(jìn)而借助平面幾何的相關(guān)知識(shí)以及圖形的直觀意識(shí),利用數(shù)形結(jié)合思想,直觀感知其軌跡方程中的圖形特征,借助化歸轉(zhuǎn)化等思想快速地實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的求解.

2 應(yīng)用賞析

(1)寫(xiě)出函數(shù)解析式S(x);

(2)求S(x)的最小值.

(2)由(1)知,

評(píng)注本題中以角為變量,利用正弦定理以及三角形的面積公式建立目標(biāo)函數(shù)S(x)模型,通過(guò)三角恒等變換,求得函數(shù)S(x)的最值,并注意結(jié)合具體的圖形特征限制變量的取值范圍.

解法1設(shè)BC=x,則AC=2x,由面積公式得

①

根據(jù)余弦定理得

將其代入①式得

化簡(jiǎn)可得(x-3)2+y2=8.

故點(diǎn)C的軌跡是一個(gè)圓(x-3)2+y2=8(y≠0).

圖1 解法2圖

解析由題知,sinB=-cosC>0.

解析設(shè)CD=2BD=2x>0,在△ABD中,AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB=x2+4+2x,

同理AC2=4x2+4-4x,

評(píng)注例3涉及的最值問(wèn)題求解是基于構(gòu)建以角為變量的函數(shù)模型,依托二倍角公式,并結(jié)合正弦定理的轉(zhuǎn)化,巧妙而簡(jiǎn)明地利用基本不等式來(lái)確定對(duì)應(yīng)的最值問(wèn)題,回歸解三角形本質(zhì),使問(wèn)題的求解變得自然順暢.例4問(wèn)題中呈現(xiàn)的三角形給出了一條邊上一個(gè)三等分點(diǎn)到頂點(diǎn)的長(zhǎng)度和一個(gè)特殊角,但這些條件是無(wú)法確定原三角形的大小和形狀的.因此就要求在理解三角形變化的過(guò)程中,依托已知條件CD=2BD,并結(jié)合問(wèn)題目標(biāo),選取邊BD作為基本變量,以?xún)蓚€(gè)三角形為載體,運(yùn)用余弦定理,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問(wèn)題.

正如波利亞在《怎樣解題》中所提到的:沒(méi)有任何一道題是徹底完成了的,總會(huì)有些事情可以做[1].只有將立足模型與立意思想兩者交相融合,才能使問(wèn)題的解決和素養(yǎng)的發(fā)展齊頭并進(jìn),才能將數(shù)學(xué)問(wèn)題解答得更加“揮灑自如、甄于完美”,使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)理解得更加透徹,對(duì)問(wèn)題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想領(lǐng)悟得更加深刻,學(xué)生的思維品質(zhì)亦能得到更好的發(fā)展,基礎(chǔ)知識(shí)得以進(jìn)一步夯實(shí),關(guān)鍵能力從中也得到顯著提高,最終促使學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)真正落地.