借助整體思想方法 助力數(shù)學(xué)解題教學(xué)

曹如祥

(福建省上杭縣第一中學(xué),福建 龍巖 364200)

整體思想方法是基于問題整體視角切入,突出對問題整體結(jié)構(gòu)的分析與改造,找到問題的整體結(jié)構(gòu)特征,善于采用“集成”的眼光,將問題中的某些式子或者圖形看作是一個整體,把握好彼此之間的聯(lián)系,有意識、有目的地進(jìn)行整體處理,從而找到簡便的解題思路與方法.在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,教師應(yīng)充分借助整體思想方法的優(yōu)勢,助力學(xué)生采用整體思想分析題意,使其快速、精準(zhǔn)地找到解題切入點(diǎn),降低試題難度,驅(qū)使他們輕松、高效地解題[1].

1 借助整體代入方法,助力數(shù)學(xué)解題教學(xué)

例1 已知函數(shù)f(x)=ax3+bsinx+2,f(-1)=10,那么f(1)的值是什么?

分析本題既可以使用常規(guī)方法,也可以采用整體代入的方法.當(dāng)難以從已知條件中找到題設(shè)的未知量,無法發(fā)現(xiàn)條件與題設(shè)之間的關(guān)系時,采取整體代入法可以把題設(shè)中的未知量用其它含有未知量的式子來代替,最終達(dá)到消元求解的目的.

解法1 根據(jù)f(-1)=10可以得到

f(-1)=a(-1)3+bsin(-1)+2=10.

即-(a×13+bsin1)+2=10.

則a×13+bsin1=-8.

所以f(1)=a×13+bsin1+2=-6.

解法2 可設(shè)φ(x)=ax3+bsinx,則

f(x)=φ(x)+2.

根據(jù)題意可知φ(x)是奇函數(shù),

根據(jù)f(-1)=10能夠得到

f(-1)=φ(-1)+2=10.

所以φ(-1)=8.所以φ(1)=-8.

所以f(1)=φ(1)+2=-8+2=-6.

2 借助整體換元方法,助力數(shù)學(xué)解題教學(xué)

分析解答這道題目時可使用整體換元法,將所求△AQB面積的最大值問題變得簡單化,轉(zhuǎn)變成一個求二次函數(shù)最值類的問題,最終順利求出△AQB面積的最大值.

(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0.

根據(jù)△1>0可得m2<4+16k2.

①

結(jié)合韋達(dá)定理可得

②

即0

3 借助整體運(yùn)算方法,助力數(shù)學(xué)解題教學(xué)

例3已知數(shù)列{an}的通項公式an=(2n-1)xn(x≠1),那么該數(shù)列的前n項和Sn是什么?

分析處理這道題目時,可以直接在數(shù)列的和式左右兩邊同時乘以x,再采用錯位相減的方式,求出數(shù)列前n項和Sn的表達(dá)式,結(jié)合整體思想把代數(shù)式進(jìn)行變形,使之呈現(xiàn)出某種規(guī)律,然后進(jìn)行整體運(yùn)算,達(dá)到減少運(yùn)算的目的.

解析數(shù)列{an}的前n項和

Sn=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn.

③

將③式兩邊同乘以x整體變形后得

xSn=x2+3x3+5x4+…+(2n-1)xn+1.

④

③-④,得

4 借助整體設(shè)元方法,助力數(shù)學(xué)解題教學(xué)

例5 求值sin10°sin30°sin50°sin70°.

分析本題題干十分簡單,如果直接計算學(xué)生往往無從下手,此時教師可提醒他們采用整體設(shè)元的方法,設(shè)出新的方程,再結(jié)合正弦的二倍角公式把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)變成特殊角的三角函數(shù),從而輕松求得答案.

5 借助整體構(gòu)造方法,助力數(shù)學(xué)解題教學(xué)

分析解答本題時,教師可以帶領(lǐng)學(xué)生基于三角函數(shù)的相關(guān)公式展開整體思考,使其將已知條件作為整體進(jìn)行構(gòu)造和計算,不僅可以減少計算步驟,還降低解題難度,這也是處理此類問題的最佳方案.

解析根據(jù)題干中提供的已知條件得

6 借助整體補(bǔ)形方法,助力數(shù)學(xué)解題教學(xué)

例7 如圖1所示,已知三棱錐P-ABC的三組對棱相等,其中PA=13,PB=14,PC=15,那么該三棱錐的體積多少?

圖1 三棱錐P-ABC

分析處理這一題目時,由于題目中給出三棱錐的三組對棱相等,可以聯(lián)想到長方體的對角線,于是教師可以引導(dǎo)學(xué)生使用整體補(bǔ)形的方法進(jìn)行解題,使其結(jié)合三棱錐的特征,通過添加輔助線的方式把該三棱錐補(bǔ)充成一個如圖2所示的長方體CDBE-GAFP,問題也就迎刃而解.

圖2 由三棱錐P-ABC構(gòu)成的長方體CDBE-GAFP

解析根據(jù)題意將三棱錐P-ABC補(bǔ)充成一個長方體CDBE-GAFP,則三棱錐的三條棱分別是長方體的面的對角線.

設(shè)AD=a,DB=b,DC=c,由此能夠得到

a2+b2=152,

b2+c2=132,

a2+c2=142.

把這三個式子聯(lián)立得到一個方程組,解之得

則VP-ABC=VCDBE-GAFP-4VA-BCD

總的來說,在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中,解題訓(xùn)練既是一個常規(guī)環(huán)節(jié),又是重要構(gòu)成部分.常用的解題方法有很多,教師除帶領(lǐng)學(xué)生掌握一些基本解題方法以外,還要注重整體思想方法的應(yīng)用,充分借助整體思想方法的優(yōu)勢,根據(jù)實(shí)際解題需求靈活采用整體代入、換元、運(yùn)算、設(shè)元、構(gòu)造、補(bǔ)形等多種方法,使其優(yōu)化解題過程,全力提高解題效率[2].