2022年新高考Ⅰ卷第12題的課本溯源與變式探究

康俊太

(甘肅省廣河縣三甲集中學,甘肅 蘭州 731301)

高考題源于課本,而高于課本,但“源于”有時是顯性的,容易被發(fā)現(xiàn),有時卻是隱性的,需要進一步探究才能發(fā)現(xiàn).筆者主要從顯性與隱性兩個視角來探究2022年新高考Ⅰ卷第12題的課本溯源,最后給出該高考題與課本習題的變式探究,設(shè)法實現(xiàn)從新教材到新高考的過渡.

1 高考真題

C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)

因為(f(x)+C)′=f(x),所以f(x)的圖象經(jīng)過上下平移后,其對稱性與導函數(shù)的性質(zhì)不發(fā)生改變,即f(x)+C也滿足題意,所以不能確定f(0)=0,故選項A錯誤.

2 試題評析

試題考查了考生分析問題和運用函數(shù)、導數(shù)相關(guān)知識解決問題的能力.作為新高考試卷的壓軸選擇題,試題緊扣課程標準,力圖引導教學,符合基礎(chǔ)性、綜合性、應用性、創(chuàng)新性的考查要求.試題將導函數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合,設(shè)計新穎,具有較好的選拔功能.

以往試題中考查抽象函數(shù)性質(zhì)的問題,往往通過特殊值法、單調(diào)性、奇偶性即可得出結(jié)論.試題創(chuàng)造性地將導函數(shù)引人其中,這便成為本題的一大亮點.同時多選題的題型設(shè)置也為不同能力層次的考生提供了發(fā)揮的空間.試題源于教材,緊扣課程標準,對考生的能力能進行很好地區(qū)分,具有較好的選拔功能.

3 題后反思

本題作為選擇題,我們可以巧做.取符合題意的特殊函數(shù)f(x)=sinπx+1,便可迅速利用排除法得到正確選項,這就是解法2的思想.

而解法1是按照解答題的要求來做的,這樣的好處就是很好地揭示了問題的本質(zhì):(1)函數(shù)的奇偶性、對稱性和周期性的關(guān)系;(2)函數(shù)與其導函數(shù)的對稱性的關(guān)系.

一般地,若函數(shù)f(x)具有奇偶性和對稱性,則f(x)必有周期性;若函數(shù)f(x)具有奇偶性和周期性,則f(x)必有對稱性;若函數(shù)f(x)具有周期性和對稱性,則f(x)必有奇偶性.其結(jié)論總結(jié)如下:

(1)若f(x)是奇函數(shù)且滿足f(a+x)=f(a-x),則f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱且最小正周期T=4a.

(2)若f(x)是偶函數(shù)且滿足f(a+x)=f(a-x),則f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱且最小正周期T=2a.

(3)若f(x)是奇函數(shù)且滿足f(a+x)=-f(a-x),則f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱且最小正周期T=2a.

(4)若f(x)是偶函數(shù)且滿足f(a+x)=-f(a-x),則f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱且最小正周期T=4a.

4 課本溯源

函數(shù)的對稱性與奇偶性的關(guān)系,不是什么新的內(nèi)容,因為它是源自課本習題.

2019年人教A版《數(shù)學必修第一冊》第87頁第13題如下:

我們知道,函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù),有同學發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為:函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點P(a,b)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x+a)-b為奇函數(shù)[2].

(1)求函數(shù)f(x)=x3-3x2圖象的對稱中心;

(2)類比上述推廣結(jié)論,寫出“函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)”的一個推廣結(jié)論[3].

解析(1)解法1 設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3x2的對稱中心為P(a,b),則y=f(x+a)-b=(x+a)3-3(x+a)2-b為奇函數(shù).

解法2 因為函數(shù)y=f(x+1)+2=(x+1)3-3(x+1)2+2=x3-3x是奇函數(shù),由題意知函數(shù)f(x)=x3-3x2圖象的對稱中心為(1,-2).

(2)略.

5 習題探究

該高考題還涉及導函數(shù)與其原函數(shù)的對稱性之間的關(guān)系,雖然這道課本習題沒有直接涉及導函數(shù)與原函數(shù)的對稱性之間的關(guān)系,但通過進一步探究習題,可以獲得這方面的知識.

本習題提到了三次函數(shù)的對稱中心,經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn),三次函數(shù)的對稱中心有如下性質(zhì).

6 變式探究

變式1 設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),若f(x+2)為偶函數(shù),則f(1)+f(2)+…+f(2024)=____.

解答案:0.

方法1因為f(x+2)為偶函數(shù),所以f(x+2)=f(-x+2),又f(x)是定義在R上的奇函數(shù),因此f(x+4)=f(-x)=-f(x),f(x+8)=-f(x+4)=f(x),即f(x)的最小正周期T=8.由題意知f(0)=0,得f(4)=0,f(8)=0.又f(5)=f(-3)=-f(3),f(6)=f(-2)=-f(2),f(7)=f(-1)=-f(1),所以f(1)+f(2)+…+f(8)=0,從而f(1)+f(2)+…+f(2024)=0.

方法2因為f(x+2)為偶函數(shù),所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,又f(x)的圖象關(guān)于原點對稱,所以f(x)的最小正周期T=4|2-0|=8. 下同方法1.

A.f(2)=0 B.f′(1)=f′(0)

C.f(3)=f(2) D.f′(2022)=-f′(-1)

解選ACD.由題意知f(2-x)+f(2+x)=0,所以函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(2,0)中點對稱.對f(2-x)+f(2+x)=0兩邊求導,得f′(2+x)-f′(2-x)=0,即f′(2+x)=f′(2-x),所以函數(shù)y=f′(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱.

對A,由f(2-x)+f(2+x)=0,令x=0,得f(2)=0.A正確.

綜上,選ACD.