基于“數(shù)學(xué)化”思想對統(tǒng)領(lǐng)課教學(xué)的多維度探究
——以“一元二次方程”統(tǒng)領(lǐng)課為例

■包 雯

一、教學(xué)內(nèi)容分析

統(tǒng)領(lǐng)課是一章內(nèi)容正式授課的第一節(jié)課，對全章框架、內(nèi)容、方法、思維等要素進(jìn)行梳理，是承載整章教學(xué)內(nèi)容的先導(dǎo)課，具有統(tǒng)攝作用，旨在讓學(xué)生“先見森林，再見樹木”。

一元二次方程知識量大，復(fù)雜程度高，是更深層次上對實(shí)際問題中含有未知數(shù)的等量關(guān)系的表達(dá)方式，也是繼續(xù)學(xué)習(xí)一元二次不等式、二次函數(shù)及二次曲線的重要基礎(chǔ)。教師要加強(qiáng)對單元統(tǒng)領(lǐng)課的重視和研究，從培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的角度讓學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。

二、設(shè)計理念

弗賴登塔爾將“數(shù)學(xué)化”分為水平數(shù)學(xué)化和垂直數(shù)學(xué)化兩種形式。水平數(shù)學(xué)化，是學(xué)生可以運(yùn)用教學(xué)工具發(fā)現(xiàn)和解答生活情境中的問題；垂直數(shù)學(xué)化，是在數(shù)學(xué)系統(tǒng)內(nèi)再組織的過程。簡單來說，水平數(shù)學(xué)化是從現(xiàn)實(shí)世界走進(jìn)符號世界，而垂直數(shù)學(xué)化是在符號世界中前進(jìn)。教師對兩種數(shù)學(xué)化重視程度有差異，會在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)生權(quán)重分配上的偏差。因此，兩種不同維度的數(shù)學(xué)化如何合理地分配權(quán)重，也需要根據(jù)具體教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行微調(diào)。就一元二次方程統(tǒng)領(lǐng)課而言，教師既要引導(dǎo)學(xué)生提煉實(shí)際問題中的數(shù)學(xué)成分，將實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生經(jīng)歷“分析→提煉→抽象”的過程，實(shí)現(xiàn)水平數(shù)學(xué)化的順利過渡；也要引導(dǎo)學(xué)生對研究策略和路徑進(jìn)行遷移，建立垂直數(shù)學(xué)化的探究路徑，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方式，滲透數(shù)學(xué)思想方法。

三、教學(xué)過程

1.水平數(shù)學(xué)化

（1）創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界

情境 小明購買了16m 的籬笆，計劃圍一個矩形花圃?？粗?2m 的圍墻，小明陷入了沉思……

【設(shè)計意圖】設(shè)計的情境開放程度大，入口寬，學(xué)生極有可能“走”向二次函數(shù)。如何從函數(shù)一步步“走”進(jìn)二次方程，對教師課堂應(yīng)變能力是極大的考驗(yàn)。如此開放的設(shè)計，是希望最大限度引導(dǎo)學(xué)生用“數(shù)學(xué)眼光”觀察現(xiàn)實(shí)世界，提出有“數(shù)學(xué)味道”的實(shí)際問題，將實(shí)際情境與數(shù)學(xué)表征進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

（2）設(shè)計問題串，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實(shí)世界

師：怎樣圍才能使矩形花圃的面積最大？試一試。

生1（預(yù)設(shè)）：從充分利用圍墻的角度考慮，如圖1，當(dāng)AB=2時，S最大，S=24。

圖1

師：這時面積是最大的嗎？

生2：從“圍成正方形面積最大”的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，如圖2，當(dāng)AB時，S最大，S=。

圖2

師：這是最大的面積嗎？還能圍成其他形式的矩形嗎？有多少種可能？

師：你還能找出比圖2 面積更大的矩形嗎？試一試。

【設(shè)計意圖】如果僅停留在“最大化”的問題上，本題只能算是帶有數(shù)學(xué)味道的“生活化”問題。教師應(yīng)順著學(xué)生的想法，沿著“最大化”這一優(yōu)化路徑，引導(dǎo)學(xué)生嘗試、探究，在反復(fù)試錯中找到解決問題的數(shù)學(xué)工具，促進(jìn)學(xué)生深度思考。學(xué)生通過反復(fù)計算，在試圖找出“最大化”方案的過程中，將生活化問題抽象成數(shù)學(xué)問題，在這個過程中，學(xué)生思維已經(jīng)從“生活化”轉(zhuǎn)向“數(shù)學(xué)化”。

（3）建立數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界

通過嘗試，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，無論是“充分利用墻的長度”，還是“圍成正方形”，都不能使圍成的矩形面積最大。

生3：根據(jù)運(yùn)用方程解決問題的經(jīng)驗(yàn)，我們可以設(shè)AB=xm，BC=（16-2x）m，面積為x（16-2x）=-2x2+16x=-2（x-4）2+32，當(dāng)x=4時，面積最大，為32。

【設(shè)計意圖】“圍花圃”這一情境的創(chuàng)設(shè)，讓學(xué)生經(jīng)歷從生活世界走向符號世界，經(jīng)歷將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程。從“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界”，到“用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”，再到“用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”，學(xué)生結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)形成功能更強(qiáng)、結(jié)構(gòu)更復(fù)雜的新模型。

2.垂直數(shù)學(xué)化

（1）從數(shù)學(xué)概念到新數(shù)學(xué)概念的平行結(jié)構(gòu)探究，完成“整式方程”體系的完整建構(gòu)

師：這是我們學(xué)過的方程嗎？我們學(xué)過哪些方程？你可以給這個方程下個定義嗎？整式方程的命名通常遵循什么規(guī)則？

【設(shè)計意圖】教師通過引導(dǎo)學(xué)生對一元二次方程概念內(nèi)涵的類比研究，滲透類比思想，使學(xué)生對方程中涉及的“多元”“高次”有了進(jìn)一步認(rèn)知，同時完善整式方程和分式方程的概念體系，為更多類型方程的探究奠定了基礎(chǔ)，也為探究一元二次方程提供了一致的探究路徑，進(jìn)而推廣到對整式方程概念內(nèi)涵的探索。

（2）探究路徑的遷移

師：我們對一元二次方程可以進(jìn)行哪些方面的研究？

【設(shè)計意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生將方程的研究策略和研究路徑進(jìn)行遷移，即：定義→解→解法→應(yīng)用，確立“垂直數(shù)學(xué)化”這一預(yù)設(shè)目標(biāo)，讓學(xué)生建立一般化的研究策略、路徑，對一元二次方程做進(jìn)一步探究。

（3）在“消元”和“降次”兩個方面統(tǒng)一化歸思想

師：回顧其他方程的解法，你怎么求解一元二次方程？怎樣降次？這些“降次”的方法適用其他一元二次方程嗎？

【設(shè)計意圖】結(jié)合“消元”“化整”的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生順理成章地將“化歸”思想遷移，“降次”應(yīng)運(yùn)而生。

（4）對比研究，完善方程“解法系統(tǒng)”的完整性建構(gòu)

問題1 解方程：（1）（x+1）3+8=0；（2）-3=0。

師：這些方程的解法有什么共同的數(shù)學(xué)思想嗎？

【設(shè)計意圖】從“一元”到“多元”、從“一次”到“高次”、從“有理”到“無理”，學(xué)生經(jīng)歷不同方程解法的對比分析過程，發(fā)現(xiàn)不同解法中蘊(yùn)含著相同思想——“化歸”思想，完善方程“解法系統(tǒng)”的完整性建構(gòu)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的再度升華。

（5）建立方程與函數(shù)的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)“區(qū)塊鏈”意識

師：是否可以圍成比32m2更大的矩形呢？隨著x的變化，S也在變化，怎樣才能圍成最大矩形？

【設(shè)計意圖】回歸問題情境，讓學(xué)生體會方程是用來刻畫現(xiàn)實(shí)世界的模型，也是用于解決現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)工具。通過引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)量關(guān)系中“變化而變化”的思考，學(xué)生主動挖掘新函數(shù)模型，建立方程和函數(shù)“區(qū)塊鏈”的意識。

四、結(jié)合教學(xué)實(shí)踐對統(tǒng)領(lǐng)課的再思考

1.一盞明燈破“暗處”

良好的統(tǒng)領(lǐng)課教學(xué)可以幫助學(xué)生建立知識框架，提高學(xué)習(xí)效率，厘清本章所涉及的基本數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想。同時，學(xué)生可以站在一個更高的位置，縱觀全局，無論對水平知識體系的橫向遷移，還是對垂直知識體系的縱深推進(jìn)，都能得心應(yīng)手。統(tǒng)領(lǐng)課教學(xué)就是“先見林，再見樹”；如一盞“明燈”，為后續(xù)學(xué)習(xí)指明方向，它照亮了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之路，讓學(xué)生更加明確做什么、怎樣做以及為什么。

2.添磚加瓦筑“新巢”

當(dāng)然，統(tǒng)領(lǐng)課只明確學(xué)習(xí)主線和方向遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，更應(yīng)結(jié)合相互關(guān)聯(lián)的“區(qū)塊鏈”，引導(dǎo)學(xué)生主動對數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)思想進(jìn)行“鏈接”，對數(shù)學(xué)知識乃至整個數(shù)學(xué)系統(tǒng)溯本求源，在激發(fā)學(xué)生探究欲望的同時，也讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)思想方法的美妙之處。通過一步步、一層層的探索，對比，聯(lián)結(jié)，數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)變得更加完整，數(shù)學(xué)方法變得更加完善，學(xué)生逐漸養(yǎng)成獨(dú)特的“數(shù)學(xué)眼光”、深度的“數(shù)學(xué)思維”和精準(zhǔn)的“數(shù)學(xué)表達(dá)”，從而最終落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。