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    關(guān)注數(shù)學(xué)課堂細(xì)節(jié),發(fā)展學(xué)生幾何直觀
    ——從一節(jié)“數(shù)軸”新授課的觀課說起

    2024-01-10 10:11:24張海華
    初中生世界 2023年48期
    關(guān)鍵詞:圓周角數(shù)軸原點(diǎn)

    ■張海華

    最近,筆者參加學(xué)校組織的青年教師匯報(bào)課的觀課與評課活動(dòng),內(nèi)容是蘇科版數(shù)學(xué)七年級上冊“數(shù)軸(第1 課時(shí))”。開課的六位教師都是近三年參加工作的,教學(xué)熱情高,課前都進(jìn)行了精心備課,不論是教案、學(xué)案的精致呈現(xiàn),還是課件的精美設(shè)計(jì)都是值得肯定的。課堂上,教師也能與學(xué)生保持積極互動(dòng)、對話追問。七年級學(xué)生剛剛進(jìn)入初中階段,對數(shù)學(xué)充滿興趣,“數(shù)軸”的教材內(nèi)容不算太難,課堂氛圍很好。課后帶教師父、教研專家們對青年教師們的點(diǎn)贊式課堂予以高度評價(jià)。然而,對于數(shù)軸這樣一個(gè)重要的數(shù)學(xué)工具,如何教出深度?還是引發(fā)了筆者的進(jìn)一步思考。

    一、從一節(jié)“數(shù)軸”新授課的觀課說起

    1.關(guān)于“原點(diǎn)”位置

    教師在講解數(shù)軸定義時(shí),給出的數(shù)軸都是標(biāo)準(zhǔn)的圖形,即原點(diǎn)位于“正中”位置,后續(xù)練習(xí)時(shí)提供的數(shù)軸原點(diǎn)也都處在“正中”位置。從學(xué)生的畫圖和練習(xí)來看,學(xué)生都是這樣來畫數(shù)軸的。比如,教師給出一道練習(xí)題,讓學(xué)生在數(shù)軸上表示出-1 和6.5這兩個(gè)數(shù),結(jié)果很多學(xué)生畫成如圖1所示的數(shù)軸。

    圖1

    圖2

    教師在點(diǎn)評或展示學(xué)生的作業(yè)時(shí),如果能發(fā)現(xiàn)如圖2所示的畫法,應(yīng)給予學(xué)生表揚(yáng),這將有利于學(xué)生深刻理解數(shù)軸三要素之一的“原點(diǎn)”。因?yàn)樵c(diǎn)并不一定要在直線的“正中”,它只是一個(gè)基準(zhǔn),“基準(zhǔn)”是一種規(guī)定,也是培養(yǎng)學(xué)生思維靈活性的重要機(jī)會(huì)。

    2.對“單位長度”的理解

    圖3

    圖4

    上述講解方式有利于學(xué)生理解“更小”的分?jǐn)?shù)(小數(shù))的表示方法,但是筆者認(rèn)為,這種方法還不能引導(dǎo)學(xué)生深刻理解“單位長度”的本質(zhì)。比如,我們需要在數(shù)軸上表示出(如圖4)。這時(shí)教師需要引導(dǎo)學(xué)生對照數(shù)軸定義理解圖4是否滿足定義中“規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的直線”,這樣做能加深學(xué)生對數(shù)軸定義的理解。為了鞏固學(xué)生對數(shù)軸的理解,教師還可以進(jìn)一步追問學(xué)生“如何在數(shù)軸上快速標(biāo)出2023與-2023”,這個(gè)練習(xí)可以鞏固學(xué)生對數(shù)軸“單位長度”的理解。

    二、關(guān)于發(fā)展學(xué)生幾何直觀的幾點(diǎn)思考

    1.教師要不斷精進(jìn)對幾何直觀的深刻理解

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022 年版)》(以下稱《課標(biāo)》)指出:幾何直觀主要是指運(yùn)用圖表描述和分析問題的意識與習(xí)慣,有助于把握問題本質(zhì),明晰思維的路徑。筆者認(rèn)為,對于幾何直觀的理解因人而異,且有一個(gè)不斷深入的過程。同樣對一個(gè)概念的呈現(xiàn)與揭示,甚至像上文提到的數(shù)軸,這樣看似簡單的概念,筆者提到的這兩處細(xì)節(jié)與教學(xué)建議,不少“老教師”都表示沒有做過深入思考。試想,如果教師缺少對這類問題的深入思考,就很難在新授課中為學(xué)生“打開一扇窗”。教師還可以多加研究多元表征理論,中學(xué)階段的函數(shù)概念的提出,正是多元表征理論的典型例證,函數(shù)可以用表格、圖像、表達(dá)式來表示,教師要有準(zhǔn)確的理解,并在講解這些不同的表示方式時(shí),引導(dǎo)學(xué)生從幾何直觀的視角進(jìn)行理解。

    2.數(shù)學(xué)概念新授課要重視幾何直觀的滲透

    教師應(yīng)注重新授課概念的不同預(yù)設(shè)方式,比如數(shù)軸的文字表示方式、圖形表示方式,包括數(shù)軸的相關(guān)概念(三要素)等;與之同類的概念教學(xué),比如平面直角坐標(biāo)系就可以類比數(shù)軸進(jìn)行;再如,乘法公式的新授課,既要給出文字表示,也要給出符號表示,還可以給出乘法公式的圖形直觀。

    教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)的一個(gè)重要工作就是進(jìn)行概念分析,概念分析的常用途徑是在各種問題情境中考查學(xué)生如何運(yùn)用概念。以圓周角的新授課為例,當(dāng)我們結(jié)合圖形定義圓周角之后,教師要引導(dǎo)學(xué)生對照定義學(xué)會(huì)辨識圓周角,讓學(xué)生繼續(xù)探究同弧所對的圓周角與圓心角之間的數(shù)量關(guān)系,還需分類討論不同位置關(guān)系狀態(tài)下的圓周角與圓心角之間的數(shù)量關(guān)系,這也是《課標(biāo)》所提出的幾何直觀的重要內(nèi)涵之一:會(huì)根據(jù)語言描述畫出相應(yīng)的圖形,分析圖形的性質(zhì)。與上文提到的數(shù)軸的原點(diǎn)位置關(guān)系相關(guān)的又一處新授課教學(xué)細(xì)節(jié),即關(guān)于“二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)”的新授課中,筆者在組織學(xué)生畫出形如y=x2-6x+15的圖像時(shí),引導(dǎo)學(xué)生先將其配方成頂點(diǎn)式y(tǒng)=(x-3)2+6,明確它的頂點(diǎn)、對稱軸位置,再選取恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)軸位置,即可畫出更合理的圖像。

    3.數(shù)學(xué)解題教學(xué)時(shí)要加強(qiáng)幾何直觀的演示

    不少教師在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中都會(huì)進(jìn)行“一題多解”,有效培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性、靈活性。

    為有效發(fā)展學(xué)生的幾何直觀,在開展一題多解的解法探究時(shí),教師要特別關(guān)注從數(shù)、形兩個(gè)角度對解法進(jìn)行研究,這樣可以讓學(xué)生既感受到數(shù)式演算的嚴(yán)謹(jǐn)性,又能從圖形演示的角度看到問題的直觀性。在七年級上學(xué)期期末復(fù)習(xí)階段,以數(shù)軸為背景的綜合題很多,數(shù)軸的“深刻性”還體現(xiàn)在數(shù)軸習(xí)題的解答過程中有很多數(shù)學(xué)思想方法,首先就是數(shù)形結(jié)合(根據(jù)不同習(xí)題的解法特點(diǎn),又可細(xì)化為以形助數(shù)、以數(shù)馭形、數(shù)形互助)。到八年級學(xué)習(xí)函數(shù)之后,學(xué)生又要靈活運(yùn)用平面直角坐標(biāo)系來研究函數(shù)問題,對學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力和圖形直觀能力也提出了較高的要求。另外,不少省市中考試卷中,對幾何綜合題的考查側(cè)重于補(bǔ)圖能力的訓(xùn)練,還需要教師在解題教學(xué)時(shí)培養(yǎng)學(xué)生補(bǔ)全圖形的能力,而不是直接給出完整圖形,只讓學(xué)生完成“后半段”的解題過程,這樣不利于學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng),也不利于學(xué)生解題能力的提升。

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