一道2021年奧林匹克競(jìng)賽試題的多解探究與推廣

貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 (550025) 徐鳳旺 成 敏 尹正波

1 試題呈現(xiàn)

這是2021年摩爾多瓦奧林匹克競(jìng)賽試題的一道求函數(shù)最小值問(wèn)題,可以看出該試題的條件式子和結(jié)論結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng),具有數(shù)學(xué)的美感.本文擬對(duì)該試題的求解方法、變式及推廣做進(jìn)一步的探究,與大家一起分享.

2 試題解析

評(píng)注:此解法通過(guò)構(gòu)造函數(shù)f(x),結(jié)合函數(shù)的凹凸性與琴生不等式,求得該函數(shù)的最小值.

評(píng)注:此解法通過(guò)構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)切線的性質(zhì),求得該函數(shù)的最小值.

3 試題變式

分析:此變式是通過(guò)改變未知數(shù)的“冪”得到,將分子和分母的未知數(shù)的冪從“3”和“2”變?yōu)椤?”和“3”.

分析:此變式是2022年馬其頓的數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題,將2021年摩爾多瓦奧林匹克競(jìng)賽試題條件式子中的“1”變?yōu)椤?”,每一項(xiàng)分母的未知數(shù)的系數(shù)“-1”變?yōu)椤?1”得到.

分析:此變式是通過(guò)把每一項(xiàng)分子的未知數(shù)的冪從“3”變?yōu)椤?”得到的.

分析:此變式是通過(guò)改變每一項(xiàng)分母的結(jié)構(gòu)得到的,將分母的項(xiàng)數(shù)從“2”項(xiàng)變到“3”項(xiàng).

4 試題推廣

分析:此推廣是在變式1的基礎(chǔ)上將每一項(xiàng)分母的系數(shù)“1,-1”推廣到“λ,-μ”,未知數(shù)的個(gè)數(shù)從“3”元推廣到“n”元.

分析:此推廣是在變式2的基礎(chǔ)上將每一項(xiàng)分母的系數(shù)“1,1”推廣到“λ,μ”,未知數(shù)的個(gè)數(shù)從“3”元推廣到“n”元.

分析:此推廣是在變式3的基礎(chǔ)上將每一項(xiàng)分母的系數(shù)“1,-1”推廣到“λ,-μ”,未知數(shù)的個(gè)數(shù)從“3”元推廣到“n”元.

分析:此推廣是將試題中條件式子的結(jié)果從“1”推廣到“t”.

分析:此推廣是在推廣4的基礎(chǔ)上將每一項(xiàng)中分母所含的常數(shù)項(xiàng)“1”推廣到“λ”.

分析:此推廣是在推廣5的基礎(chǔ)上將每一項(xiàng)分母所含的未知數(shù)的系數(shù)“1”推廣到“μ”.

分析:此推廣是在推廣6的基礎(chǔ)上將未知數(shù)的個(gè)數(shù)從“3”元推廣到“4”元.

分析:此推廣是在推廣7的基礎(chǔ)上將未知數(shù)的個(gè)數(shù)從“4”元推廣到“n”元.

分析:此推廣是在推廣8的基礎(chǔ)上將每一項(xiàng)分母和分子的未知數(shù)的冪從“2,3”推廣到“2k,2k+1”.

上述推廣1到推廣3的證明過(guò)程與對(duì)應(yīng)的變式1到變式3的證明思路是類(lèi)似的,推廣4到推廣8均是推廣9的特例,證明思路也是類(lèi)似的,這里給出推廣9的證明,其余推廣的證明不再敘述.