一道“非對(duì)稱性”問題的解法優(yōu)化與拓展

安徽省合肥市合肥一六八中學(xué) (230601) 張 倩 吳志勇

圓錐曲線中極點(diǎn)和極線的理論為我們求有關(guān)定點(diǎn)、定值部分問題提供了大的方向,而韋達(dá)定理的使用往往使方向的正確性得到了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明.但在實(shí)際的解題中我們經(jīng)常會(huì)遇到僅僅套用韋達(dá)定理不能一次性解決的“非對(duì)稱性”問題.本文以對(duì)一道試題解法進(jìn)行優(yōu)化處理為例,借此來談?wù)剬?duì)解決有關(guān)圓錐曲線中“非對(duì)稱性”問題的想法.

1 原題及求解

2 思路探求

探求一:利用橢圓第二定義將“非對(duì)稱性”轉(zhuǎn)化為“對(duì)稱性”

探求二:利用韋達(dá)定理部分消元

探求三:和積轉(zhuǎn)換代入化簡(jiǎn)

3 方法與應(yīng)用

綜合原題的解法和筆者的探求,可以將解決韋達(dá)定理應(yīng)用中與“非對(duì)稱性”有關(guān)的方法總結(jié)為以下四種:⑴分析結(jié)構(gòu),平方消元;⑵利用圓錐曲線第二定義將“非對(duì)稱性”問題轉(zhuǎn)化為“對(duì)稱性”問題;⑶利用韋達(dá)定理部分消元;⑷和積轉(zhuǎn)換代入化簡(jiǎn).以下筆者分別用方法四解決一道與雙曲線有關(guān)的問題來彌補(bǔ)“探究三”的不完整性和方法二來證明一個(gè)一般性結(jié)論作為本文的收尾.

本題也可以采用其他的三種方法得出結(jié)論,但相對(duì)于本題的情況采用和積轉(zhuǎn)化法相對(duì)來說是比較簡(jiǎn)潔的.故我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中,要引導(dǎo)學(xué)生熟練掌握四種不同的方法,根據(jù)具體的情況,靈活運(yùn)用.最后我們來運(yùn)用方法二證明一個(gè)一般性結(jié)論.