深挖廣拓 解決問題*
--以一道2022年新高考相似題為例

福建省莆田第一中學 (351100) 林清利 黃天華 肖志強

文[1,2]全面深度剖析了2022年新高考卷Ⅱ第12題.它們解法多樣,直指問題本質并進行了溯源、變式、拓展.筆者最近在《平面向量》這一章的教學中碰到一題,與之比較相似,故探析之.

1 題目呈現(xiàn)

圖1

2 解法探究

本題以平面向量為載體,已知兩個不共線的向量分解表示第三個向量,求系數(shù)和的取值范圍問題.本質上這是通過平面向量基本定理,把向量的運算化歸為實數(shù)的運算,所以本題有直觀的代數(shù)解法.而向量的運算是“帶方向的量的運算”,從而可以從幾何角度進行“方向的運算”,實現(xiàn)圖形的直觀.

探析一:(三角化)本題以單位圓為載體,設定圓上兩個定點,一個動點,自然的解法是建立直角坐標系,從三角函數(shù)定義出發(fā),設角變量來表示圓上的動點.

圖2

探析二:(代數(shù)化)考慮到已知向量的模長與夾角,而問題是求系數(shù)x,y的一次式的取值范圍,所以可以把原向量等式兩邊同時平方,化為關于x,y的關系式,進而利用代數(shù)的手法進行探究.

探析三:(幾何化)等和線在解決某些平面向量線性運算問題時非常簡便快捷[3],本題的條件與目標完全吻合等和線的要求.

圖3

探析四:(斜坐標系)本題代數(shù)表示中的系數(shù)實質是斜坐標系中的坐標,可以構造一個輔助向量破解.

以上幾種解法思路不同,思維量與運算量有較大差異.解法1回歸三角函數(shù)概念,通過表示動點的直角坐標較快得到結果.解法2到解法4都是通過代數(shù)變形得到結果.解法5利用動態(tài)視角,結合向量共線定理、解三角形知識破解本題.解法6是從斜坐標系視角來審視問題,緊緊抓住基向量分解式子的特征來解決問題.這幾種解法體現(xiàn)了向量與三角、不等式之間的轉化,把向量的幾何性質與代數(shù)形式有機地綜合起來.

3 試題溯源

圖4

以上兩道考題的題目表述、呈現(xiàn)方式、問題解法都與前面的探析一致.這體現(xiàn)了高考試題在核心問題上考查的持續(xù)性.我們再看人教版新教材必修二第37頁拓廣探索欄目中的一道題.

圖5

圖6

以上試題都屬于同一類問題,即基向量的系數(shù)、系數(shù)和等問題.處理該問題常見的思路有三類:(1)從向量自身的運算入手整理;(2)從向量運算的幾何意義下手,充分挖掘圖形特征,把原問題轉化為平面幾何問題;(3)在坐標系下,通過坐標運算,實現(xiàn)向量問題代數(shù)化,在代數(shù)形式下可以進行換元變形、消元化簡、借助不等式放縮等方法破解.

4 應用探究

題5(2022年新高考卷Ⅱ第12題(多選題))對任意x,y,x2+y2-xy=1,則( ).

A.x+y≤1 B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1

圖7

圖8

圖9

A.x2+y2-xy-3y+2=0

B.x2+y2-2x-4y+4=0

C.x2+y2-xy+3y-2=0

D.x2+y2-2x+4y-4=0

5 結語

解題教學提倡一題多解、多題一解、變式探究等,但需要辯證地運用這些方法.課堂上不能單向地把備好的幾種解法都依次宣讀一遍給學生,這樣只會讓學生覺得“不可思議、想不到、做不到”.我們應該關注學生已有知識基礎,合理創(chuàng)設概念、原理、運算、推理等問題情境,讓學生能“跳一跳,摸得著”.同時應遵循“最近發(fā)展區(qū)”原則,傾聽學生的想法,并完善其想法,師生共研從縱向深挖,橫向拓廣,真正實現(xiàn)從解題到解決問題,最終發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).