一種高精度軌道單元及其在車輛-軌道耦合系統(tǒng)的應(yīng)用

劉林芽，崔巍濤，秦佳良，左志遠(yuǎn)

(華東交通大學(xué) 軌道交通基礎(chǔ)設(shè)施性能監(jiān)測與保障國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西 南昌 330013)

隨著列車運(yùn)行速度的提升、行車密度的提高以及新型車輛和軌道結(jié)構(gòu)形式大量投入工程應(yīng)用,導(dǎo)致輪軌相互作用更加復(fù)雜,甚至?xí)绊懥熊嚨陌踩\(yùn)行[1-3]。進(jìn)行車輛-軌道系統(tǒng)動力學(xué)分析是研究復(fù)雜輪軌關(guān)系和相互作用機(jī)制的基礎(chǔ)[4],是優(yōu)化車輛、軌道結(jié)構(gòu)設(shè)計必不可少的內(nèi)容。

針對軌道結(jié)構(gòu)的建模方面,國內(nèi)外學(xué)者開展了大量的研究[5-7]。Clark等[8]建立考慮鋼軌彈性點(diǎn)支承和軌枕的振動的有砟軌道結(jié)構(gòu)模型,分析了鋼軌波磨對輪對與軌道結(jié)構(gòu)振動的影響。Nielsen等[9]建立包含轉(zhuǎn)向架、輪對、下部軌道基礎(chǔ)為一體的有限元模型,采用復(fù)模態(tài)疊加法分析了車輪扁平、鋼軌磨耗等因素對軌道結(jié)構(gòu)振動影響的影響。雷曉燕[10]基于有限元理論建立了車輪-有砟軌道動力計算模型,分析高速列車對不同道砟厚度的動力響應(yīng)。隨著高速鐵路的發(fā)展,無砟軌道由于整體性好和養(yǎng)護(hù)維修工作量少等優(yōu)點(diǎn)得到了廣泛應(yīng)用。Guigou-Carter等[11]提出一種二維的板式軌道預(yù)測模型,扣件的阻尼建模為滯后阻尼且采用復(fù)剛度進(jìn)行考慮,分析了扣件的動剛度變化對下部軌道結(jié)構(gòu)減振性能的影響規(guī)律。Khajehdezfuly等[12]建立二維的車輛-板式無砟軌道有限元分析模型,鋼軌采用Timoshenko梁模擬,扣件采用點(diǎn)支承的彈簧阻尼單元模擬,研究了扣件剛度變化對輪軌相互作用的影響規(guī)律。翟婉明等[13]基于模態(tài)疊加法建立一種車輛-板式軌道相互作用模型,鋼軌視為連續(xù)彈性點(diǎn)支承基礎(chǔ)上的歐拉梁,研究了砂漿層阻尼或剛度改變對系統(tǒng)振動的影響規(guī)律。蔡成標(biāo)[14]建立列車-軌道-基礎(chǔ)耦合分析模型,將鋼軌視為彈性點(diǎn)支承的歐拉梁,軌道板和底座板視為彈性薄板,研究了板式軌道及過渡段的動力學(xué)性能。文獻(xiàn)[15-16]基于彈性系統(tǒng)動力學(xué)總勢能不變值原理,提出一種橫向有限條與無砟軌道板段單元,比較了鋼軌與軌道板的靜、動態(tài)位移變化。Lei等[17]提出一種新型板式軌道單元,建立車輛-板式軌道-路基耦合動力學(xué)模型,評估了列車速度和軌道剛度對軌道振動的影響。上述研究對于軌道結(jié)構(gòu)中扣件的模擬多采用點(diǎn)支承的彈簧阻尼單元模擬而忽略扣件墊板的支承長度。

另有一些學(xué)者采用仿真軟件建立精細(xì)化軌道模型進(jìn)行研究。Ganesh等[18]建立有砟軌道結(jié)構(gòu)有限元模型,扣件墊板采用solid92單元模擬,分析諧響應(yīng)激勵下扣件、道砟和路基參數(shù)變化對軌道結(jié)構(gòu)的影響。Oregui等[19]提出一種軌道有限元模型,鋼軌和軌枕采用實(shí)體單元,扣件采用多個彈簧-阻尼單元組成的面區(qū)域模擬,研究了錘擊試驗(yàn)下軌道結(jié)構(gòu)的振動特性以及扣件膠墊建模形式對軌道動力學(xué)的影響。Zhao等[20]采用有限元法建立科隆蛋扣件系統(tǒng)的軌道真實(shí)有限元頻域分析模型,利用該模型進(jìn)行了數(shù)值模擬和輪軌振動特性分析。上述模型建立往往需借助仿真軟件,單元數(shù)量多,計算效率不高。

本文建立一種更精確的軌道單元模型,模型中考慮扣件膠墊的支承長度和鋼軌的剪切變形,可以得到更準(zhǔn)確的高頻振動響應(yīng)。為便于計算程序的設(shè)計,減小總剛度矩陣的帶寬,取兩扣件之間的一跨鋼軌、軌道板、底座板作為一個單元,鋼軌視為扣件分布支承的Timoshenko梁,軌道板和底座板視為連續(xù)支承的Euler梁,軌道結(jié)構(gòu)采用黏彈性彈簧-阻尼單元連接。車輛和軌道通過非線性輪軌接觸關(guān)系耦合在一起,采用顯-隱式積分法求解耦合系統(tǒng)的動力響應(yīng),并驗(yàn)證算法的正確性,然后比較扣件集中支承和分布支承下車輛、軌道結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)及輪軌相互作用,最后研究不同扣件膠墊支承長度對車輛、軌道結(jié)構(gòu)振動的影響。

1 車輛-軌道耦合系統(tǒng)動力學(xué)模型

根據(jù)車輛-軌道耦合動力學(xué)理論,建立高速列車-板式軌道耦合系統(tǒng)模型,車輛為考慮一系和二系懸掛的整車模型,軌道為三層板式無砟軌道模型,其中采用分布式彈簧阻尼元件模擬扣件墊板的支承長度,建立更加精確的軌道單元模型,兩個子系統(tǒng)通過非線性接觸關(guān)系耦合,見圖1。

圖1 車輛-軌道耦合系統(tǒng)模型

Mc和Jc分別為車體的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量;Mt和Jt分別為轉(zhuǎn)向架的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量;Mw為輪對的質(zhì)量;Ks1和Cs1分別為一系懸掛的剛度和阻尼;Ks2和Cs2分別為二系懸掛的剛度和阻尼;lc為車體上兩轉(zhuǎn)向架中心之間的長度;lt為轉(zhuǎn)向架兩軸之間的距離。Z0i(t)、Pwi(t)(i=1,2,3,4)分別為第i個車輪接觸處的不平順幅值和輪軌垂向力;ρr、Er、Ir分別為單位長度鋼軌的質(zhì)量、鋼軌的彈性模量和繞水平軸的截面慣性矩;ρs、Es、Is分別為單位長度軌道板的質(zhì)量、軌道板的彈性模量和繞水平軸的截面慣性矩;ρh、Eh、Ih分別為單位長度底座板的質(zhì)量、底座板的彈性模量和繞水平軸的截面慣性矩。kp、cp分別為扣件的剛度和阻尼;km、cm分別為軌道板下瀝青水泥砂漿層的剛度和阻尼;kl、cl分別為路基層的剛度和阻尼。

1.1 高精度的軌道單元模型

軌道子系統(tǒng)包括鋼軌、扣件、預(yù)制軌道板、CA砂漿、底座板和路基,采用有限元法建立三層板式軌道單元模型[21]。當(dāng)扣件考慮為集中支承時,板式軌道單元的長度l取鋼軌兩個相鄰離散支承點(diǎn)之間的距離,軌道板和底座板的長度與鋼軌一致,將鋼軌、軌道板和底座板視為組合單元,見圖2(a);當(dāng)扣件考慮為連續(xù)支承時,仍取該長度作為板式軌道單元的長度,此時扣件考慮為連續(xù)支承的彈簧阻尼單元,長度lr為二分之一的扣件膠墊寬度,見圖2(b)。

圖2 三層板式軌道單元模型

兩種板式軌道單元模型為12個自由度,v1、v4分別為鋼軌的豎向位移;v2、v5分別為軌道板的豎向位移;v3、v6分別為底座板的豎向位移;θ1、θ4分別為鋼軌的轉(zhuǎn)角;θ2、θ5分別為軌道板的轉(zhuǎn)角;θ3、θ6分別為底座板的轉(zhuǎn)角。只需形成單元的質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣,便可方便地按有限元集成規(guī)律組集,得到任意長度的軌道系統(tǒng)的總質(zhì)量、總剛度和總阻尼矩陣。單元內(nèi)任何一點(diǎn)的位移可以通過插值函數(shù)N和單元節(jié)點(diǎn)位移ae表示,即

X=Nae

(1)

式中:

ae=

1.1.1 板式軌道單元質(zhì)量矩陣

板式無砟軌道單元的質(zhì)量矩陣為

(2)

(3)

式中:

(4)

式中:As為軌道板的截面面積。

(5)

式中:Ah為底座板的截面面積。

1.1.2 板式軌道單元剛度矩陣

板式軌道單元的剛度矩陣為

(6)

(7)

(8)

(9)

單元中任意一點(diǎn)鋼軌與軌道板之間的相對位移vrs為

vrs=vr-vs=N1v1+N2θ1+N3v4+N4θ4-N5v2+

N6θ2+N7v5+N8θ5=

(10)

故扣件膠墊層的彈性勢能為

(11)

扣件分布支承引起的剛度為

(12)

(13)

(14)

1.1.3 板式軌道單元阻尼矩陣

(15)

最后,按有限元集成規(guī)則組集單元質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣(式(2)、式(6)和式(15)),可得到三層板式軌道結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量、總剛度和總阻尼矩陣分別為

(16)

運(yùn)用Lagrange方程,可以得到板式軌道結(jié)構(gòu)的有限元方程,寫成統(tǒng)一的形式,即

(17)

1.2 車輛單元模型

車輛子系統(tǒng)考慮一個車體、兩個轉(zhuǎn)向架的點(diǎn)頭和沉浮及四個輪對的沉浮共10個自由度。定義車輛單元的位移向量為

(18)

式中:vc和θc分別為車體的豎向位移和角位移;vti和θti(i=1,2)分別為前、后轉(zhuǎn)向架的豎向位移和角位移;vwi(i=1,2,3,4)為第i個輪對的豎向位移。

運(yùn)用Lagrange方程,可得到車輛子系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

(19)

1.3 輪軌接觸關(guān)系

采用Hertz非線性彈性接觸理論,輪軌力為

(20)

式中:G為輪軌接觸常數(shù),m/N2/3;δZj(t)(j=1～4)為輪軌間的彈性壓縮量,m。

輪軌間的彈性壓縮量為

δZj(t)=vwj(t)-Zrj(t)-Z0j(t)

(21)

式中:vwj(t)、Zrj(t)分別為輪對和鋼軌接觸位置的垂向位移;Z0j(t)為軌道不平順幅值。

2 數(shù)值求解及模型驗(yàn)證

2.1 顯-隱式數(shù)值積分法

車輛和軌道兩個子系統(tǒng)通過非線性輪軌接觸力實(shí)現(xiàn)耦合,故需要采用數(shù)值積分進(jìn)行求解,常用的數(shù)值積分方法有隱式法和顯式法。顯式法中,新型快速顯式積分法[23]在質(zhì)量矩陣為對角陣或經(jīng)對角化,不需要聯(lián)立求解高階線性代數(shù)方程組,求解效率高且更經(jīng)濟(jì)。隱式法中,當(dāng)考慮高頻時要求極小的時間積分步長,隱式法每一步長都需要求解一次動力學(xué)方程,且對于非線性問題,需要采用交叉迭代控制精度范圍內(nèi)系統(tǒng)時程響應(yīng)始終是收斂的,計算工作量大。

本文車輛系統(tǒng)因采用集中質(zhì)量法建模,質(zhì)量矩陣為對角陣,采用新型顯式積分法求解;軌道模型采用有限元法建模,質(zhì)量矩陣為協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣非對角陣,故采用隱式Newmark數(shù)值積分法求解,即采用顯式-隱式數(shù)值積分法求解車輛-軌道非線性耦合系統(tǒng)動力分析模型,避免了交叉迭代,提高了計算效率,同時具有較好的結(jié)果。采用Matlab編制相應(yīng)的程序,主要計算步驟如下:

Step3根據(jù)軌道結(jié)構(gòu)位移Xl(t)可得到輪軌接觸處的鋼軌位移Zrj(t),由式(20)計算輪軌力Pwj(t)。

需注意的是,在起步時,先假設(shè)軌道結(jié)構(gòu)初始位移Xl(0)(一般取Xl(0)=0)。同時,顯式積分法令φ=ψ=0,具有積分“自開始”的特性。

2.2 模型驗(yàn)證

采用文獻(xiàn)[24]中相同的條件對模型和求解方法進(jìn)行驗(yàn)證。車輛模型為日本新干線300系列高速列車,軌道為三層板式無砟軌道,軌道不平順選用鋼軌接頭焊縫不平順。鋼軌焊縫不平順滿足

(22)

式中:a1和L1分別為長波的波深和波長;a2和L2分別為短波的波深和波長。

當(dāng)車輛以250 km/h的速度通過焊接區(qū)時,長波的波深和波長分別為0.3 mm和1 m,短波的波深和波長為0.2 mm和0.1 m。采用顯-隱式積分法求解板式軌道的動態(tài)響應(yīng),積分步長為0.000 1 s。顯隱式積分法計算結(jié)果見圖3。并與文獻(xiàn)[24]中的結(jié)果進(jìn)行對比,見圖4。由圖4可知,本文所提出的模型計算結(jié)果與文獻(xiàn)的結(jié)果吻合較好,表明本文建立模型的正確性。文獻(xiàn)[24]中積分步長為0.000 02 s,本文采用較小的積分步長仍得到較好的計算結(jié)果,提高了計算效率。

圖3 顯隱式積分法計算結(jié)果

圖4 文獻(xiàn)[24]的計算結(jié)果

3 扣件分布支承式軌道模型下車輛-軌道耦合系統(tǒng)動力響應(yīng)分析

3.1 計算參數(shù)

在仿真分析中,車輛選用中國CRH3高速客車,運(yùn)行速度為300 km/h,軌道采用CRTS Ⅱ型無砟軌道結(jié)構(gòu),具體參數(shù)見表1。

表1 車輛與軌道具體參數(shù)

3.2 扣件支承形式對耦合系統(tǒng)動力響應(yīng)影響

軌道不平順選擇我國高速鐵路無砟軌道不平順譜,波長范圍為2～200 m,同時將其延伸至波長0.1 m作為短波不平順激勵[25]。應(yīng)用上述的模型和計算參數(shù),研究采用不同扣件支承形式下車輛-軌道耦合系統(tǒng)的動力響應(yīng),其中FCS為扣件集中支承,FDS為扣件分布支承,見圖5。圖5(e)、圖5(h)中鋼軌的動力響應(yīng)取在軌道結(jié)構(gòu)跨中位置。

如圖5(a)～圖5(e)所示,在時域內(nèi),與FCS模型相比,FDS模型的輪軌力、輪對加速度和鋼軌加速度峰值均減小,波動范圍變窄,FCS模型的輪軌力、輪對和鋼軌加速度最大值分別為98.291 kN、21.419 m/s2、247.184 m/s2,FDS模型的輪軌力、輪對和鋼軌加速度最大值分別為97.705 kN、20.681 m/s2、239.874 m/s2,差異約為0.6%、4.231%和3.047%。在頻域內(nèi),兩種模型的輪軌力在70～140 Hz以及1 000 Hz附近存在較小差異,FDS模型的振幅通常小于DCS模型振幅。輪對和鋼軌加速度采用1/3倍頻加速度振級可以明顯看出,兩種模型在125、1 000 Hz頻段存在區(qū)別,FCS模型大于FDS模型的計算結(jié)果。第一主頻在63 Hz,由車輛與軌道共同彈性變形的耦合共振引起。第二主頻為1 000 Hz附近,由鋼軌的垂向“pinned-pinned”振動引起?？紤]膠墊支承長度的FDS模型在1 000 Hz頻段加速度振級更小,與文獻(xiàn)[26]規(guī)律一致,更精確地反映了兩個模型之間的差異。從圖5(g)～圖5(h)可以看出,對于輪對位移和跨中鋼軌位移,與FCS模型相比,FDS模型的輪對和鋼軌的位移均較小,但差異均小于0.5%。

3.3 扣件膠墊支承長度對車輛-軌道耦合系統(tǒng)的影響分析

在FDS模型的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步研究扣件系統(tǒng)中膠墊支承長度對車輛-軌道耦合系統(tǒng)垂向動態(tài)響應(yīng)的影響,橡膠墊板的支承長度設(shè)置為50、150、250 mm,計算結(jié)果見圖6。為了更直觀地反映膠墊不同支承長度的區(qū)別,不考慮外部激勵作用,并假設(shè)鋼軌表面平順。另外,圖6(a)、圖6(b)響應(yīng)參照系取在車輛上,圖6(c)～圖6(h)鋼軌、軌道板和底座板的響應(yīng)參照系取在地面上。

圖6 扣件膠墊支承長度對軌道結(jié)構(gòu)的影響

如圖6(a)、圖6(b)所示,由于彈性膠墊的周期性支承,輪軌力和輪軌接觸處的輪對位移呈現(xiàn)周期性變化,變化幅值隨著膠墊支承長度的增加而減小。當(dāng)扣件膠墊長度分別取50、150、250 mm時,最大輪軌力分別為71.278、71.205、71.167 kN;最大輪對位移分別為1.005 38、1.004 89、1.004 51 mm。隨著膠墊支承長度從50 mm增加到250 mm,最大輪軌力和輪對位移減小了0.15%和0.08%。圖6(c)～圖6(e)反映了隨膠墊支承長度變化,鋼軌、軌道板和底座板加速度的變化,隨著膠墊長度的增加,鋼軌、軌道板和底座板的加速度均減小,其中膠墊支承長度的變化對鋼軌影響最大。當(dāng)扣件膠墊長度取50 mm,鋼軌、軌道板和底座板加速度最大值分別為15.151、0.736、0.598 m/s2;扣件膠墊長度取250 mm,鋼軌、軌道板和底座板加速度最大值分別為14.627、0.718、0.577 m/s2,分別減小3.582%、2.506%和3.639%。圖6(f)～圖6(h)反映了膠墊支承長度變化鋼軌、軌道板和底座板位移的變化,隨著膠墊長度的不斷增加,鋼軌、軌道板和底座板的位移也均略有減小,但影響較小。隨著支撐長度從50 mm增加到250 mm,鋼軌、軌道板和底座板的最大位移分別減小了0.6%、0.2%和0.08%。

4 結(jié)論

本文基于車輛-軌道耦合動力學(xué)理論,采用有限元法建立了更精確的考慮扣件膠墊的支承長度和鋼軌的剪切變形的軌道單元模型,將其應(yīng)用于車輛-軌道耦合系統(tǒng)動力學(xué),采用顯-隱式積分法求解耦合系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)。研究了扣件模型支承形式和長度對車-軌耦合動力學(xué)的影響,得到以下結(jié)論:

1)該軌道單元模型考慮了鋼軌的剪切變形及扣件的分布支承,具有精度高、編程簡捷清晰的優(yōu)點(diǎn)。

2)扣件考慮集中支承時會高估輪軌相互作用以及輪對和鋼軌的振動,采用扣件分布支承式軌道單元模型可以更精確地預(yù)測“pined-pined”頻率范圍附近的輪軌相互作用。

3)扣件膠墊支承長度的增加可以降低輪軌相互作用,實(shí)際工程中可以適當(dāng)增加扣件膠墊的支承長度來減小軌道結(jié)構(gòu)的振動。

4)采用本文建立的車輛-軌道耦合模型及顯-隱式積分算法可以在降低計算成本的情況下給出更為準(zhǔn)確的軌道結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)。