基于狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)外部激勵(lì)計(jì)算與響應(yīng)重構(gòu)

彭珍瑞，史鵬程

(蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

近年來(lái)隨著我國(guó)綜合國(guó)力的提高,建造了大量鐵路橋梁、隧道等大型土木工程。對(duì)于這些大型土木工程結(jié)構(gòu)進(jìn)行實(shí)時(shí)的健康監(jiān)測(cè)是很有必要的,但是這類(lèi)土木結(jié)構(gòu)的服役時(shí)間遠(yuǎn)長(zhǎng)于對(duì)其進(jìn)行監(jiān)測(cè)的傳感器壽命,若部分傳感器老化失效,則對(duì)應(yīng)的響應(yīng)信息則會(huì)丟失。同時(shí),傳感器布置的位置和數(shù)量往往受到經(jīng)濟(jì)原因、傳感器安裝條件等方面的限制,監(jiān)測(cè)結(jié)構(gòu)所有節(jié)點(diǎn)上的響應(yīng)是較為困難的。因此,研究一種使用少量響應(yīng)來(lái)重構(gòu)所需響應(yīng)及激勵(lì)的響應(yīng)重構(gòu)技術(shù)就顯得十分重要[1-4]。

當(dāng)前的響應(yīng)重構(gòu)方法有以下三類(lèi):第一類(lèi)通過(guò)傳遞率進(jìn)行重構(gòu)[5-7],此方法通過(guò)建立未知響應(yīng)和已知響應(yīng)的傳遞關(guān)系來(lái)重構(gòu)未知響應(yīng),這需以精準(zhǔn)的有限元模型為基礎(chǔ),且無(wú)法消除傳感器測(cè)量噪聲對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。第二類(lèi)為基于大數(shù)據(jù)分析的結(jié)構(gòu)響應(yīng)重構(gòu)方法[8-9],此方法使用深度學(xué)習(xí)、寬度學(xué)習(xí)等機(jī)器學(xué)習(xí)方法,分析學(xué)習(xí)已有監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)與所需重構(gòu)數(shù)據(jù)之間的隱性關(guān)系,實(shí)現(xiàn)對(duì)未知信號(hào)的重構(gòu)。但此類(lèi)方法需要大量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、學(xué)習(xí),且目前的研究仍處于起步階段。第三類(lèi)以狀態(tài)空間模型為基礎(chǔ),使用卡爾曼濾波類(lèi)(Kalman filter,KF)算法進(jìn)行重構(gòu)。張笑華等[10]率先使用KF算法進(jìn)行響應(yīng)重構(gòu)和傳感器優(yōu)化布置。Xu等[11]以懸索橋?yàn)樵囼?yàn)對(duì)象,使用此方法完成了多類(lèi)型響應(yīng)信息的重構(gòu)。Hu等[12]采用KF算法對(duì)一高層建筑的各類(lèi)響應(yīng)進(jìn)行重構(gòu),并將重構(gòu)后的數(shù)據(jù)用于地震前后結(jié)構(gòu)性能評(píng)估和安全預(yù)警。Zhang等[13]將大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)分為若干個(gè)子結(jié)構(gòu)后基于KF算法進(jìn)行結(jié)構(gòu)響應(yīng)重構(gòu),并將重構(gòu)的響應(yīng)應(yīng)用于結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別。

上述方法都需要事先測(cè)得結(jié)構(gòu)外部激勵(lì),但在工程實(shí)際中結(jié)構(gòu)外部激勵(lì)信息往往較難獲得。在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析、模型修正以及健康監(jiān)測(cè)等領(lǐng)域,外部激勵(lì)信息尤為重要。因此,若能在外部激勵(lì)未知的情況下,實(shí)現(xiàn)對(duì)結(jié)構(gòu)外部激勵(lì)和各處響應(yīng)的重構(gòu)將具有非常重要的意義。Liu等[14]基于狀態(tài)空間模型推導(dǎo)了外部激勵(lì)與結(jié)構(gòu)響應(yīng)的傳遞矩陣,并結(jié)合正則化方法優(yōu)化傳遞矩陣,用于重構(gòu)外部激勵(lì)和結(jié)構(gòu)響應(yīng)。董康立等[15]基于類(lèi)卡爾曼濾波算法實(shí)現(xiàn)對(duì)結(jié)構(gòu)外部激勵(lì)和響應(yīng)進(jìn)行重構(gòu)。

此外,由于工程測(cè)量中的噪聲大部分是有色噪聲而非白噪聲,而使用KF算法必須滿(mǎn)足噪聲為白噪聲,若忽略此差異則定會(huì)影響重構(gòu)結(jié)果。粒子濾波算法是繼KF類(lèi)算法后發(fā)展的一種可處理有色噪聲的濾波算法,近期不少學(xué)者成功將智能優(yōu)化算法和粒子濾波算法相結(jié)合,以改善粒子貧化現(xiàn)象[16-17]。

因此,針對(duì)上述問(wèn)題,本文從外部激勵(lì)計(jì)算結(jié)合多類(lèi)型響應(yīng)重構(gòu)的角度出發(fā),首先基于狀態(tài)空間模型推導(dǎo)出結(jié)構(gòu)外部激勵(lì)計(jì)算公式。然后,將外部激勵(lì)和結(jié)構(gòu)模態(tài)坐標(biāo)組合成新的狀態(tài)向量,構(gòu)建增秩狀態(tài)空間模型,并引入改進(jìn)的粒子濾波算法,處理測(cè)量數(shù)據(jù)中的有色噪聲,完成使用部分測(cè)量加速度響應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)其余位置速度、加速度響應(yīng)的重構(gòu)和外部激勵(lì)的計(jì)算。最后對(duì)鋼軌和外伸梁分別進(jìn)行數(shù)值模擬和試驗(yàn)分析,驗(yàn)證本文方法的有效性。

1 狀態(tài)空間模型及外部激勵(lì)計(jì)算

1.1 二階運(yùn)動(dòng)方程的狀態(tài)空間模型

結(jié)構(gòu)的二階運(yùn)動(dòng)方程在模態(tài)空間中可表示為

(1)

由以上二階運(yùn)動(dòng)方程建立狀態(tài)空間模型,即

xk+1=Axk+Buk

(2)

yk=Cxk+Duk

(3)

式中:xk、yk、uk分別為離散后的狀態(tài)向量,觀測(cè)向量以及外部激勵(lì)向量;A和B分別為狀態(tài)矩陣和輸入矩陣;C和D分別為輸出矩陣和直接傳輸矩陣。若觀測(cè)量為結(jié)構(gòu)各節(jié)點(diǎn)的加速度,則式(2)和式(3)中的各項(xiàng)具體表示為

(4)

(5)

(6)

(7)

D=ΦΦTL

(8)

1.2 狀態(tài)空間模型下的激勵(lì)計(jì)算

由狀態(tài)空間模型可推導(dǎo)出各時(shí)刻的結(jié)構(gòu)的外部激勵(lì)向量uk。

由式(2)可得

xk=Axk-1+Buk-1

(9)

將式(9)代入式(3)可得

yk=C(Axk-1+Buk-1)+Duk

(10)

由式(10)可建立觀測(cè)量yk與外部激勵(lì)向量uk的關(guān)系為

uk=(DTD)-1DT(yk-C[Axk-1+Buk-1])

(11)

通過(guò)式(11)可由結(jié)構(gòu)各處測(cè)得的各類(lèi)響應(yīng)計(jì)算出結(jié)構(gòu)外部激勵(lì),但由于工程測(cè)量中往往存在一定的噪聲影響,直接用式(11)計(jì)算得出的結(jié)果必然與實(shí)際存在一定的差距。為了減小測(cè)量噪聲帶來(lái)的影響,將建立結(jié)構(gòu)狀態(tài)向量xk與外部激勵(lì)向量uk的聯(lián)合增秩狀態(tài)向量,并進(jìn)行濾波處理。

1.3 增秩狀態(tài)空間模型

由式(11)計(jì)算外部激勵(lì)向量后,外部激勵(lì)向量在k時(shí)刻至k+1時(shí)刻的增量Δuk為

Δuk=uk+1-uk

(12)

Xk+1=AaXk+BaΔuk+wk

(13)

Yk=CaXk+vk

(14)

式中:wk和vk分別為系統(tǒng)噪聲和測(cè)量噪聲;若重構(gòu)響應(yīng)為速度和加速度響應(yīng),則其余各項(xiàng)具體表示為

(15)

(16)

(17)

(18)

2 結(jié)合螢火蟲(chóng)算法的粒子濾波算法

2.1 粒子濾波算法

由于測(cè)量噪聲的影響,若直接使用上述方法進(jìn)行未知響應(yīng)和外部激勵(lì)的計(jì)算,其結(jié)果必然不準(zhǔn)確。且實(shí)際工程中的噪聲多為有色噪聲,因此引入改進(jìn)的粒子濾波算法,以減小有色噪聲對(duì)重構(gòu)的響應(yīng)和激勵(lì)精度的影響。

基于第1節(jié)內(nèi)容,系統(tǒng)狀態(tài)空間模型可表示為

Xk=f(Xk-1,vk-1)

(19)

Yk=h(Xk,wk)

(20)

式中:Xk為狀態(tài)向量;vk-1為系統(tǒng)噪聲;Yk為觀測(cè)向量;wk為測(cè)量噪聲。

在傳統(tǒng)的粒子濾波中,隨著粒子集的不斷迭代,會(huì)造成粒子退化,導(dǎo)致大量的算力浪費(fèi)在極小權(quán)值粒子上。對(duì)此,Gordon等[18]提出重采樣理論,但是重采樣會(huì)降低粒子的多樣性,從而引起粒子貧化。

2.2 螢火蟲(chóng)算法

螢火蟲(chóng)算法借用螢火蟲(chóng)個(gè)體移動(dòng)的仿生思想實(shí)現(xiàn)尋優(yōu)。螢光亮度IF為

IF=I0e-γd

(21)

式中:I0為初始亮度;γ為吸收系數(shù);d為個(gè)體之間的距離。

個(gè)體之間的吸引度β為

β=β0e-γd2

(22)

式中:β0為初始吸引度。

位置變化表示為

(23)

式中:Xi和Xj分別為兩個(gè)體i和j的位置,i和j分別為兩個(gè)粒子;α為步長(zhǎng)因子;E為n×1的全一矩陣;rand為隨機(jī)數(shù)。

2.3 結(jié)合螢火蟲(chóng)算法的粒子濾波

傳統(tǒng)算法為了避免算法陷入局部最優(yōu),在式(23)中添加了隨機(jī)項(xiàng),但式(13)中各行非同一個(gè)數(shù)量級(jí),不可按原方法直接運(yùn)算,改進(jìn)運(yùn)動(dòng)更新,即

(24)

(25)

2.4 算法步驟

(26)

式中:q為粒子的重要性分布。

Step2將螢火蟲(chóng)算法中的螢火蟲(chóng)個(gè)體看作粒子濾波中的粒子,根據(jù)式(22)及式(24)計(jì)算粒子i的吸引度并指導(dǎo)其進(jìn)行移動(dòng)。

Step3根據(jù)式(25)的熒光度值更新最優(yōu)粒子。

Step4當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到預(yù)設(shè)值則停止迭代(本文中為15次)。

Step5計(jì)算并歸一化粒子權(quán)重,計(jì)算狀態(tài)向量并求得所需響應(yīng)。

2.5 算法總結(jié)

引入結(jié)合螢火蟲(chóng)算法的粒子濾波算法處理測(cè)量響應(yīng)中的有色噪聲,優(yōu)化粒子貧化問(wèn)題,并對(duì)結(jié)合螢火蟲(chóng)算法的粒子濾波[18]進(jìn)行適用性改進(jìn)。結(jié)合1.3節(jié)中建立的增秩狀態(tài)空間模型,可以在結(jié)構(gòu)外部激勵(lì)未知的情況下對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行響應(yīng)重構(gòu)并對(duì)外部激勵(lì)進(jìn)行計(jì)算,即通過(guò)部分測(cè)量加速度響應(yīng)計(jì)算結(jié)構(gòu)其余位置的未知速度、加速度響應(yīng)和外部激勵(lì)。

3 數(shù)值模擬

采用一根60 kg/m的鋼軌模擬整個(gè)響應(yīng)重構(gòu)過(guò)程,該鋼軌長(zhǎng)度為600 mm,彈性模量、密度和泊松比分別為200 GPa、7 850 kg/m3和0.3,在鋼軌兩端的底部?jī)蓚?cè)施加約束,模擬扣件對(duì)鋼軌的固定。進(jìn)行響應(yīng)重構(gòu)時(shí),以前5階模態(tài)振型為目標(biāo)模態(tài),對(duì)應(yīng)的固有頻率分別為286.94、637.38、1 071.71、1 117.31、1 644.42 Hz。如圖1所示,鋼軌從左到右劃分為20個(gè)單元,從左到右節(jié)點(diǎn)編號(hào)分別為1～21,其中1和21節(jié)點(diǎn)受到約束。在鋼軌上端的第16節(jié)點(diǎn)施加垂向錘擊激勵(lì),現(xiàn)通過(guò)測(cè)量鋼軌上端的7節(jié)點(diǎn)、19節(jié)點(diǎn)的垂向加速度響應(yīng)來(lái)重構(gòu)10節(jié)點(diǎn)和16節(jié)點(diǎn)的垂向速度和加速度響應(yīng),并計(jì)算外部激勵(lì)。為了模擬正常工作的傳感器的測(cè)量響應(yīng),在測(cè)量響應(yīng)中加入3%的有色噪聲,有色噪聲的功率譜見(jiàn)圖2。提取所需重構(gòu)點(diǎn)的測(cè)量響應(yīng)與重構(gòu)響應(yīng)進(jìn)行對(duì)比,見(jiàn)圖3。

圖1 測(cè)點(diǎn)布置

圖2 有色噪聲功率譜

圖3 重構(gòu)信息與測(cè)量信息對(duì)比

由圖3可知,所提方法在3%的有色噪聲下,能夠?qū)Y(jié)構(gòu)的未知響應(yīng)進(jìn)行有效重構(gòu),并能計(jì)算出結(jié)構(gòu)外部激勵(lì)。同時(shí),粒子質(zhì)量可以通過(guò)粒子的權(quán)重間接反映。某一時(shí)刻的粒子權(quán)重見(jiàn)圖4,由圖4可知,權(quán)重分布良好,沒(méi)有發(fā)生粒子退化或粒子貧化現(xiàn)象。

圖4 粒子權(quán)重

為探究此方法在不同等級(jí)的噪聲條件下的重構(gòu)效果,分別在測(cè)量響應(yīng)中加入6%和10%的噪聲,使用相對(duì)百分比誤差eRPE來(lái)衡量重構(gòu)精度,具體公式為

(27)

式中:std為標(biāo)準(zhǔn)差函數(shù);Ye為由式(18)重構(gòu)得出的響應(yīng);Yr為提取的真實(shí)響應(yīng)。

計(jì)算得到的相對(duì)百分比誤差見(jiàn)表1。由表1可知,在不同等級(jí)的噪聲下,重構(gòu)出的各點(diǎn)響應(yīng)以及激勵(lì)的精度隨著噪聲的增強(qiáng),精度逐步降低。重構(gòu)的響應(yīng)和外部激勵(lì)在各等級(jí)噪聲的影響下,相對(duì)百分比誤差均低于5%。綜上分析,所提方法在不同的噪聲條件下能對(duì)結(jié)構(gòu)各點(diǎn)未知響應(yīng)進(jìn)行有效重構(gòu),并能計(jì)算出結(jié)構(gòu)外部激勵(lì)。測(cè)量噪聲對(duì)重構(gòu)精度有一定的影響,但總體精度仍保持較好水平。

表1 相對(duì)百分比誤差 %

為了探究在不同形式的外部激勵(lì)下此方法的穩(wěn)定性,將施加激勵(lì)由錘擊激勵(lì)變?yōu)檎壹?lì),得

us=20sin(5πt)+50sin(15πt)+20sin(60πt)

(28)

激勵(lì)施加位置仍然為16節(jié)點(diǎn),方向?yàn)榇怪毕蛳隆Ｋ釉肼暼詾?%的有色噪聲,測(cè)量響應(yīng)為7節(jié)點(diǎn)、19節(jié)點(diǎn)的垂向加速度響應(yīng),所需重構(gòu)響應(yīng)為10節(jié)點(diǎn)和16節(jié)點(diǎn)的垂向速度和加速度響應(yīng)。重構(gòu)效果見(jiàn)圖5。

圖5 正弦激勵(lì)下重構(gòu)信息與測(cè)量信息對(duì)比

由圖5可知:在正弦激勵(lì)下,結(jié)構(gòu)響應(yīng)以及外部激勵(lì)仍然能被有效地重構(gòu),10節(jié)點(diǎn)垂向速度、16節(jié)點(diǎn)垂向速度的RPE分別為2.99%、2.97%;10節(jié)點(diǎn)垂向加速度、16節(jié)點(diǎn)垂向加速度的RPE分別為3.70%、3.99%;外部激勵(lì)重構(gòu)的RPE為4.14%。不同的激勵(lì)下的重構(gòu)精度略有改變,但總體精度仍然保持良好,驗(yàn)證了此方法適用于不同類(lèi)型的外部激勵(lì)。

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

為進(jìn)一步驗(yàn)證所提方法在實(shí)際工程中的實(shí)用性,使用一根外伸梁作為試驗(yàn)對(duì)象,見(jiàn)圖6。外伸梁尺寸為2 000 mm×100 mm×10 mm,外伸梁分為20個(gè)單元,21個(gè)節(jié)點(diǎn),在第2和20節(jié)點(diǎn)施加約束。取前4階模態(tài)振型進(jìn)行響應(yīng)重構(gòu),頻率分別為11.53、35.42、69.70、118.99 Hz。如圖7所示,在節(jié)點(diǎn)9的垂向施加錘擊激勵(lì),在第8、11、14節(jié)點(diǎn)布置3個(gè)加速度傳感器采集加速度響應(yīng),用于重構(gòu)信號(hào)和外部激勵(lì)的計(jì)算,同時(shí)在第5和17節(jié)點(diǎn)布置兩個(gè)加速度傳感器測(cè)量振動(dòng)信號(hào)與重構(gòu)值做對(duì)比。試驗(yàn)所采用的加速度傳感器型號(hào)為ICP型的INV9821;網(wǎng)絡(luò)分布式采集儀為北京東方振動(dòng)和噪聲技術(shù)研究所的INV3062-C2。

圖6 外伸梁試驗(yàn)

圖7 測(cè)點(diǎn)布置

重構(gòu)響應(yīng)與測(cè)量響應(yīng)的對(duì)比見(jiàn)圖8。由圖8可知,重構(gòu)響應(yīng)與傳感器測(cè)量響應(yīng)吻合良好。5節(jié)點(diǎn)垂向加速度、17節(jié)點(diǎn)垂向加速度重構(gòu)的RPE分別為18.19%、14.52%;5節(jié)點(diǎn)垂向速度、17節(jié)點(diǎn)垂向速度重構(gòu)的RPE分別為16.34%、12.94%;外部激勵(lì)重構(gòu)的RPE為27.20%。由于所對(duì)比數(shù)據(jù)為傳感器實(shí)測(cè)所得,存在一定的測(cè)量噪聲,與實(shí)際響應(yīng)稍有差距,試驗(yàn)中計(jì)算所得RPE與仿真算例相比必然有所增加。

圖8 重構(gòu)信息與測(cè)量信息對(duì)比

綜上所述,試驗(yàn)驗(yàn)證了所提方法能在使用少量加速度傳感器所測(cè)得的結(jié)構(gòu)振動(dòng)加速度響應(yīng),實(shí)現(xiàn)對(duì)于結(jié)構(gòu)其余未測(cè)量位置的速度和加速度響應(yīng)的重構(gòu),并可以有效計(jì)算結(jié)構(gòu)外部激勵(lì)。

5 結(jié)論

本文研究了使用少量包含有色噪聲的加速度響應(yīng),對(duì)結(jié)構(gòu)其余各點(diǎn)的速度、加速度以及外部激勵(lì)進(jìn)行重構(gòu)的方法,并分別進(jìn)行了數(shù)值模擬和試驗(yàn)驗(yàn)證。結(jié)論如下:

1)提出的基于狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)外部激勵(lì)計(jì)算與響應(yīng)重構(gòu)方法可在僅使用少量加速度響應(yīng)的情況下對(duì)于結(jié)構(gòu)其余位置的速度、加速度響應(yīng)以及結(jié)構(gòu)外部激勵(lì)進(jìn)行有效重構(gòu)。

2)激勵(lì)類(lèi)型的改變以及噪聲等級(jí)的變化未對(duì)重構(gòu)的響應(yīng)以及外部激勵(lì)的精度造成較大影響,此方法可以適用于不同類(lèi)型的激勵(lì),也具有一定的抗噪性。

3)外伸梁試驗(yàn)表明,該方法能夠?qū)崿F(xiàn)基于有限傳感器的測(cè)量信息對(duì)結(jié)構(gòu)其余各處響應(yīng)及外部激勵(lì)的重構(gòu),可以為后續(xù)的結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)、損傷識(shí)別等提供更完備的響應(yīng)數(shù)據(jù)。