經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過程，體會消元轉(zhuǎn)化思想

滕敏

摘? 要：根據(jù)前測結(jié)果，將“二元一次方程和方程組的概念及其解的概念、解二元一次方程組的代入消元法和加減消元法”這部分難度不大的內(nèi)容整合在一課時(shí)教學(xué)，利用“將一根繩子剪成兩段”的情境串聯(lián)的多個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生完整經(jīng)歷從實(shí)際問題中逐步產(chǎn)生二元一次方程，再通過解二元一次方程組解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模過程，明晰方程（組）概念，并重點(diǎn)體會代入法和加減法背后的消元轉(zhuǎn)化思想，感悟解法本質(zhì)。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；學(xué)情前測；二元一次方程組

本文系江蘇省南京市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“基于學(xué)習(xí)分析下優(yōu)化初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)踐研究”（編號：L/2018/179）的階段性研究成果。

一、學(xué)情前測：“次”的認(rèn)識有偏差，解法運(yùn)用憑感覺

蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級下冊第10章《二元一次方程組》前3節(jié)的內(nèi)容主要包括二元一次方程和方程組的概念及其解的概念、解二元一次方程組的代入消元法和加減消元法。以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明，這部分內(nèi)容比較簡單：學(xué)生遷移運(yùn)用一元一次方程的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)得比較輕松。對于這樣難點(diǎn)不顯的內(nèi)容，教師特別需要運(yùn)用前測手段充分了解學(xué)情，讓教學(xué)更有針對性。因此，筆者設(shè)計(jì)了如下前測題：

1.已知下列方程：（1）2x-3y=5；

（2）xy=3；

（3）x+3y=1；

（4）3x-y+2z=0；

（5）x2+y=6。其中是二元一次方程的有（? ）

A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)

2.已知下列各組取值：（1）x=2，

y=2；

（2）x=2，

y=1；

（3）x=2，

y=-2；

（4）x=1，

y=6。其中是方程4x+y=10的解的有（? ）

A.1組

B.2組

C.3組

D.4組

3.下列方程組中，屬于二元一次方程組的是（? ）

A.xy=1，

x+y=2

B.5x-2y=3，

1x+y=3

C.2x+z=0，

3x-y=15

D.x=5，

x2+y3=7

4.二元一次方程組x+y=2，

2x-y=4的解是（? ）

A.x=0，

y=2

B.x=2，

y=0

C.x=3，

y=-1

D.x=1，

y=1

5.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠探M：

（1）y=2x-5，

x+3y=-1；

（2）8x+6y=15，

4x-6y=21。

前4題分別考查學(xué)生對二元一次方程和方程組的概念及其解的概念的掌握情況，第5題主要考查學(xué)生對二元一次方程組解法的掌握情況。

將前測題發(fā)布在“智慧課堂”網(wǎng)絡(luò)平臺上，學(xué)生答題之后，平臺統(tǒng)計(jì)得到5題解答的平均用時(shí)分別為25秒、18秒、10秒、10秒、43秒，正確率分別為36%、97%、42%、94%、62%。其中，第5題兩位學(xué)生的具體解答情況分別如圖1、圖2所示。

由前4題的正確率可以看出，學(xué)生對二元一次方程和方程組的解的概念掌握得較好，而對二元一次方程和方程組的概念有些不清楚。分析具體作答情況可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的主要問題是對形如xy=a（a為常數(shù)）的方程認(rèn)識有偏差，其根本原因是對“次”的認(rèn)識有偏差。由第5題的正確率及具

體解答情況可以看出，學(xué)生對二元一次方程組的解法掌握得差強(qiáng)人意：大部分學(xué)生能夠通過代入或加減的方法，消去一個(gè)未知數(shù)，解出另一個(gè)未知數(shù)，進(jìn)而通過代回，解出之前被消去的未知數(shù)；但更多的是憑借經(jīng)驗(yàn)和感覺使用方法，而沒有認(rèn)識到方法背后消元轉(zhuǎn)化（將不熟悉的二元一次方程組轉(zhuǎn)化為熟悉的一元一次方程）的思想，并因此更容易想到代入法，不容易想到加減法，即方法的使用缺少一點(diǎn)靈活性和優(yōu)化意識。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)：明晰方程（組）概念，感悟解法本質(zhì)

根據(jù)前測結(jié)果，筆者認(rèn)為，可以將這部分難度不大的內(nèi)容整合在一課時(shí)教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生完整經(jīng)歷從實(shí)際問題中逐步產(chǎn)生二元一次方程，再通過解二元一次方程組解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模過程，明晰方程（組）概念，并重點(diǎn)體會代入法和加減法背后的消元轉(zhuǎn)化思想，感悟解法本質(zhì)。于是，筆者設(shè)計(jì)了一組情境串聯(lián)的多個(gè)問題：

把一根12米長的繩子剪成兩段。

（1）兩段繩子分別有多長？

（2）如果兩段繩長都為正整數(shù)，則兩段繩長分別為多少？

（3）如果一段繩長是另一段繩長的2倍，則兩段繩長分別為多少？

（4）如果兩段繩長相差3米，則兩段繩長分別為多少？

教學(xué)中，通過問題1引導(dǎo)學(xué)生得到一個(gè)數(shù)量關(guān)系，形成一個(gè)二元一次方程；然后再現(xiàn)前測題1，幫助學(xué)生克服對形如xy=a（a為常數(shù)）的方程的認(rèn)識偏差，深刻理解“次”的含義，從而正確得出二元一次方程的概念。

通過問題2幫助學(xué)生強(qiáng)化方程解的概念，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到：一般來說，一個(gè)二元一次方程的解有無數(shù)個(gè)，但在實(shí)際問題中，受到現(xiàn)實(shí)情況的制約，解可能只有有限個(gè)。

通過問題3引導(dǎo)學(xué)生增加一個(gè)數(shù)量關(guān)系，形成兩個(gè)二元一次方程，順勢介紹二元一次方程組的概念；然后再現(xiàn)前測題3，引導(dǎo)學(xué)生在理解概念的基礎(chǔ)上尋找出錯(cuò)原因；進(jìn)而，引出二元一次方程組的解法，強(qiáng)調(diào)代入和加減只是方法（手段），消元和轉(zhuǎn)化才是背后的思想（目的），引導(dǎo)學(xué)生體會到方法表象的靈活性和思想本質(zhì)的統(tǒng)領(lǐng)性。

問題4是問題3的變式——第二個(gè)方程從倍比關(guān)系變成相差關(guān)系。通過此題，學(xué)生能夠進(jìn)一步感受到：使用代入法解二元一次方程組有時(shí)需要變形，而且比較靈活（代入任意一元都可以）；使用加減法有時(shí)更為便捷，而且比較靈活（相加、相減都可以），同時(shí)需要關(guān)注符號的問題。

課尾，筆者根據(jù)本課的知識點(diǎn)，結(jié)合前測題的完成情況，設(shè)計(jì)了一組練習(xí)題，幫助學(xué)生鞏固本課所學(xué)，同時(shí)也作為后測題，檢測學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。練習(xí)（檢測）結(jié)果表明，學(xué)生學(xué)習(xí)效果良好。例如，“方程2x-3y=5，xy=3，x+3y=1，3x-y+2z=0，x2+y=6中，是二元一次方程的有（? ）

A.1個(gè)；B.2個(gè)；C.3個(gè)；D.4個(gè)”一題的正確率為100%，表明學(xué)生對二元一次方程的概念，特別是形如xy=a的方程是不是二元一次方程掌握良好。“若x=-1，

y=4是二元一次方程3x+ay=5的一組解，則a=??? ”一題的正確率接近100%，

表明學(xué)生對方程組解的概念理解深刻——能夠逆用。兩道解二元一次方程組的題目正確率都接近100%（個(gè)別做錯(cuò)的學(xué)生都是因?yàn)橛?jì)算出錯(cuò)）；具體解答中，有學(xué)生采用代入消元法，有學(xué)生采用加減消元法，有學(xué)生消去x，有學(xué)生消去y。這表明學(xué)生對二元一次方程組的解法掌握良好，能夠在消元轉(zhuǎn)化思想的引領(lǐng)下靈活選用方法。