利用基波分量近似法的LLC串聯(lián)諧振電路建模

王 凡

(石家莊職業(yè)技術(shù)學(xué)院 實訓(xùn)技術(shù)與裝備管理中心, 河北 石家莊 050800)

0 引言

科技的快速發(fā)展推動了開關(guān)電源技術(shù)的發(fā)展與應(yīng)用.硬開關(guān)技術(shù)因開關(guān)損耗嚴(yán)重,不利于提高工作效率與開關(guān)頻率,軟開關(guān)技術(shù)則因高效率、低開關(guān)損耗而在能源領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1].LLC 串聯(lián)諧振電路因具有電流源特性而被大量應(yīng)用于開關(guān)電源的電路拓?fù)渲?最常見的應(yīng)用為開關(guān)電源主電路中的直流-直流變換器.中大功率的直流-直流變換器在服務(wù)器電源、新能源分布式發(fā)電、新能源汽車充電裝置、電除塵高頻電源、軌道牽引電力電子變壓器、工業(yè)電源等領(lǐng)域得到了普遍應(yīng)用[2].在任何一種開關(guān)電源的設(shè)計過程中,為了滿足其所需要的高效率、低損耗等,尤其是要找到最優(yōu)參數(shù)與控制方法,往往需要對主電路進行建模分析.而采用小信號模型、電流解析等方法建模,工作量大且過程復(fù)雜,實際應(yīng)用中設(shè)計難度較大.為了降低設(shè)計難度,本文選用基波分量近似法,對全橋LLC串聯(lián)諧振電路進行線性建模,以期得到一種在實際應(yīng)用中便于工程設(shè)計、可行且更簡潔的參數(shù)設(shè)計方法.

1 基波分量近似法建模的可行性分析

在復(fù)雜的非正弦周期性振蕩中,同時存在基波與諧波.與該振蕩同頻的分量被稱為基波分量,其他分量則為諧波分量.基波分量近似法是指在建模時忽略高頻次諧波分量,只對電路中包含諧振頻次的基波分量進行傅里葉展開分析的一種方法.采用此方法可以將非線性的諧振電路近似為純正弦交流電路,從而利用正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析方法來簡化諧振電路復(fù)雜工作過程中的分析和計算,清晰地展現(xiàn)諧振電路穩(wěn)態(tài)時的工作特性,并為LLC串聯(lián)諧振電路的實際應(yīng)用提供更加可行的設(shè)計思路[3].

全橋LLC串聯(lián)諧振電路圖見圖1,整個電路由直流輸入、逆變部分、諧振部分、變壓部分、整流部分、濾波部分及輸出負(fù)載組成,本文主要對諧振部分進行建模.由圖1可知,諧振電感Lr、諧振電容Cr與勵磁電感Lm共同組成LLC 串聯(lián)諧振網(wǎng)絡(luò).LLC串聯(lián)諧振電路的等效電路圖見圖2,輸入電壓波形圖[4]見圖3.本文以圖1-3的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及波形為基礎(chǔ),對全橋LLC串聯(lián)諧振電路利用基波分量近似法建模的可行性進行論證.

圖1 全橋LLC串聯(lián)諧振電路圖

圖2 LLC串聯(lián)諧振網(wǎng)絡(luò)等效電路圖

圖3 LLC串聯(lián)諧振網(wǎng)絡(luò)輸入電壓波形圖

對所用諧振參數(shù)做如下定義:逆變周期定義為Ts,開關(guān)角頻率定義為ωs,諧振角頻率定義為ω0.

圖2中的等效諧振電感Le的等效式為:

圖2中的負(fù)載電阻Re可等效表示為:

對輸入電壓進行傅里葉展開可得等效式:

公式(3)中,n=1時為基波電壓,n=3時為三次諧波電壓,n=5時為五次諧波電壓,以此類推.n次諧波時輸入阻抗的等效表達式為:

n次諧波電流表達式為:

公式(6)中,n=1時為基波電流,n=3時為三次諧波電流,n= 5 時為五次諧波電流,以此類推.

將n次諧波電流值與基波電流值相除可得:

據(jù)此可以得到,當(dāng)開關(guān)角頻率與諧振角頻率的比值取不同值時,n次諧波電流值|in|與基波電流值|i1|的比值與輸出負(fù)載品質(zhì)因數(shù)Q值的關(guān)系圖,見圖4.

圖4 ωs/ω0 取不同值時,|i n|/|i 1|與Q 的關(guān)系

從圖4 可以看出,當(dāng)開關(guān)角頻率ωs取較小值(ωs/ω0=0.5)時,三次諧波電流與基波電流的比值與輸出負(fù)載Q成正比,即隨著輸出負(fù)載的增加而增加;而五次諧波電流、七次諧波電流與基波電流的比值則與輸出負(fù)載Q成反比,即隨著輸出負(fù)載的增加而減少.當(dāng)開關(guān)角頻率ωs取其他值如小于(ωs/ω0=0.8)、等于(ωs/ω0=1)或大于(ωs/ω0=1.5)諧振角頻率ω0時,各次諧波電流與基波電流的比值均與輸出負(fù)載Q成反比,即隨著輸出負(fù)載的增加而減少.當(dāng)輸出負(fù)載Q保持不變,且開關(guān)角頻率ωs小于諧振角頻率ω0時,n次諧波電流與基波電流的比值與ωs/ω0成反比,即隨著ωs/ω0的增加而減少.由圖4b可知,當(dāng)ωs/ω0=0.8,Q為2.5時,三次諧波電流、五次諧波電流、七次諧波電流與基波電流的比值分別為0.080,0.032和0.018;由圖4c可知,當(dāng)ωs/ω0=1,Q為2.5時,三次諧波電流、五次諧波電流、七次諧波電流與基波電流的比值分別為0.050,0.018和0.009.可見,Q取值越大,開關(guān)角頻率ωs越接近諧振角頻率ω0,通過諧振產(chǎn)生的電流響應(yīng)中諧波分量的含量相對于基波分量越小.因此,在對電路進行建模分析時,輸入電壓信號的高頻次諧波對諧振網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)的影響可以忽略不計,僅輸入電壓信號的基波分量可引起諧振網(wǎng)絡(luò)響應(yīng).當(dāng)電路處于穩(wěn)定工作狀態(tài)時,由這種近似而產(chǎn)生的誤差可以忽略.

通過分析可知,通過調(diào)整LLC串聯(lián)諧振電路開關(guān)部分的工作頻率即可控制輸出部分,且能夠利用基波傳遞能量,因此采用基波分量近似法對其進行建模分析是可行的.

2 主電路建模分析

在對主電路建模分析之前有如下假設(shè):(1)電路中的開關(guān)元件均為理想元件,即開關(guān)過程無損耗,無源元件均為線性元件.(2)逆變部分的輸出電壓us(t)為占空比50%的方波脈沖序列.(3)LLC串聯(lián)諧振電路輸出負(fù)載品質(zhì)因數(shù)Q大于0.5,且開關(guān)角頻率ωs與諧振角頻率ω0近似相等.(4)主電路工作狀態(tài)采用電流連續(xù)模式,且低通濾波器的轉(zhuǎn)折頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于開關(guān)頻率fs.[5]

2.1 逆變部分

設(shè)定諧振網(wǎng)絡(luò)的工作區(qū)間為感性,諧振電感電流信號為只含有基波分量的正弦信號,諧振電感電流相位滯后諧振網(wǎng)絡(luò)電壓相位φ角.將諧振電流基波分量設(shè)定為:

利用它可以得到輸入電流的平均值,也就是等效電路中受控電流源的值為:

對逆變部分進行等效變換,可以得到等效電路圖(見圖5)及其電壓、電流波形圖(見圖6).

圖5 逆變部分等效電路圖

圖6 逆變部分電壓、電流波形圖

逆變部分橋臂輸出電壓基波分量Vs1,也是等效電路中受控電壓源值,可表示為:

將公式(8)、公式(9)、公式(10)聯(lián)立,可得等效電路的輸入功率表達式為:

等效電路的輸出功率表達式為:

對比公式(11)和公式(12)可知,輸入功率與輸出功率相等,即Pin=Pout,等效電路兩端的功率平衡.

2.2 LLC串聯(lián)諧振網(wǎng)絡(luò)部分

LLC串聯(lián)諧振網(wǎng)絡(luò)的等效電路圖見圖7.

圖7 LLC串聯(lián)諧振網(wǎng)絡(luò)等效電路圖

圖5中諧振網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù):

在不同的負(fù)載條件下,傳遞函數(shù)H(s)的頻率特性見圖8,各參數(shù)取典型值,即諧振電感Lr=196μH,諧振電容Cr=44.5 nF,令系數(shù)h=5.圖8a為系統(tǒng)工作在重載狀況下,取負(fù)載電阻R=20Ω,諧振峰值出現(xiàn)在開關(guān)角頻率與諧振角頻率相等(即ωs=ω0)時的圖形;圖8b 為系統(tǒng)工作在輕載狀況下,取負(fù)載電阻R=100Ω,諧振峰值出現(xiàn)在開關(guān)角頻率為ω1(即ωs=ω1)時的圖形,此時輸入電壓相位正好滯后于輸出電壓90°.產(chǎn)生圖8b現(xiàn)象的原因為:當(dāng)開關(guān)角頻率值為ω1(即ωs=ω1)時,勵磁電感Lm參與了諧振電感Lr與諧振電容Cr之間的諧振,此時諧振電路形成完全諧振,根據(jù)電流回路可知,勵磁電感電流與諧振電感電流為同相位,而諧振網(wǎng)絡(luò)輸出電壓與勵磁電感Lm兩端的電壓同相位,因此諧振網(wǎng)絡(luò)的輸入電壓相位滯后于諧振電路的輸出電壓90°.此時開關(guān)角頻率取值為:

圖8 諧振網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)H(s)的頻率特性

圖8a 中,當(dāng)開關(guān)角頻率與諧振角頻率相等(ωs=ω0)時,諧振網(wǎng)絡(luò)的輸出電壓與輸入電壓相位一致,幅值相等,也就是說該特性與負(fù)載無關(guān).產(chǎn)生該現(xiàn)象的原因為:當(dāng)開關(guān)角頻率與諧振角頻率相等(ωs=ω0)時,諧振電感Lr與諧振電容Cr組成的諧振網(wǎng)絡(luò)阻抗為零,此時諧振網(wǎng)絡(luò)的輸入電壓完全體現(xiàn)在負(fù)載電阻R上.當(dāng)開關(guān)角頻率小于諧振角頻率(ωs＜ω0)時,諧振網(wǎng)絡(luò)輸出電壓的相位總是超前于諧振網(wǎng)絡(luò)輸入電壓的相位,但輸出電壓的幅值與負(fù)載的大小有關(guān).當(dāng)工作于重載狀況時,諧振網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)出降壓作用.系統(tǒng)工作在輕載狀況下,當(dāng)ω2＜ωs＜ω0時,諧振網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)出升壓作用; 當(dāng)ωs＜ω2時,諧振網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)出降壓作用.當(dāng)開關(guān)角頻率大于諧振角頻率(ωs＞ω0)時,諧振網(wǎng)絡(luò)輸出電壓的相位始終滯后于諧振網(wǎng)絡(luò)輸入電壓的相位,此時諧振網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)為降壓作用,且輸出電壓幅值的大小與負(fù)載無關(guān).

諧振網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗Zin(s)及輸出阻抗Zout(s)分別設(shè)定為:

圖9為輸入阻抗Zin(s)的幅頻特性,圖10為輸出阻抗Zout(s)的幅頻特性.

圖9 輸入阻抗Z in(s)的幅頻特性

圖10 輸出阻抗Z out(s)的幅頻特性

對比圖9與圖10可知,輸入阻抗Zin(s)的幅頻特性存在波谷,即諧振電流的最大值出現(xiàn)在輸入阻抗|Zin(jωs)|到達最小值時,負(fù)載兩端的輸出電壓也相應(yīng)達到最大值.輸入阻抗Zin(s)的相頻特性可穿越0°線,當(dāng)∠Zin(jωs)的值為零時,諧振網(wǎng)絡(luò)的輸入電壓與諧振電流同相,此時諧振網(wǎng)絡(luò)為純阻性;當(dāng)∠Zin(jωs)的值大于0時,諧振網(wǎng)絡(luò)的輸入電壓的相位超前于諧振電流的相位,此時諧振網(wǎng)絡(luò)為感性;當(dāng)∠Zin(jωs)的值小于0時,諧振網(wǎng)絡(luò)的輸入電壓的相位滯后于諧振電流的相位,此時諧振網(wǎng)絡(luò)為容性.由此可知,輸入阻抗Zin(s)相頻特性穿越0°線的頻率點ωR受負(fù)載大小的影響.

2.3 輸出整流部分

在等效變換之前,先假設(shè)選用理想變壓器且原副邊比N=1∶1,輸出端的濾波電容Co足夠大,加在負(fù)載R兩端的輸出電壓Vo無紋波,變壓器原邊的激勵信號為只含有基波分量的正弦電流信號,則整流部分的等效電路圖見圖11.因LLC 串聯(lián)諧振電路可省略輸出端的濾波電感,因此變壓器副邊的整流二極管交替導(dǎo)通,不會出現(xiàn)同時導(dǎo)通續(xù)流的情況.輸出整流電路的負(fù)載為阻性,變壓器原邊的輸入電壓Vp1與輸入電流ip同相位.

圖11 整流部分等效電路圖

假設(shè)輸入電流為:

當(dāng)輸入電流ip＞0 時,圖11 中的整流二極管DA和DD導(dǎo)通,此時輸入電壓與輸出電壓的關(guān)系為Vp=Vo/N;當(dāng)輸入電流ip＜0時,圖11中的整流二極管DB和DC導(dǎo)通,此時輸入電壓與輸出電壓的關(guān)系為Vp=-Vo/N.由此可知,變壓器原邊輸入的電壓信號是周期為Ts的方波信號,幅值大小為Vo/N,對輸入電壓進行傅里葉展開可得:

輸入電壓的基波分量為:

聯(lián)合公式(19)與公式(21),可得等效電路負(fù)載電阻表達式為:

計算得出的整流電路輸出電流的平均值為:

等效電路的負(fù)載電阻為:

聯(lián)合公式(22)與公式(24)可得,實際負(fù)載電阻與等效電路負(fù)載電阻之間的變換關(guān)系為再將公式(19)至公式(24)聯(lián)立,可得整流電路的輸入功率為:

整流電路的輸出功率為:

對比公式(25)與公式(26),可知Pin=Pout,也就是說等效電路功率平衡.

2.4 LLC串聯(lián)諧振變換器的等效電路模型與直流電壓變換特性

將各部分的等效電路級聯(lián)可得圖12,即得到利用基波分量近似法建立的全橋LLC串聯(lián)諧振直流-直流變換器的等效電路模型.

圖12 全橋LLC串聯(lián)諧振直流-直流變換器等效電路模型

將等效電路輸入輸出的直流電壓比定義為M,M可表示為:

令公式(27)的等效負(fù)載電阻RL→∞,即Q→0,可得到等效電路的空載電壓變比Mopen.

圖13為根據(jù)公式(27)中的數(shù)學(xué)關(guān)系作出的h=5時LLC 串聯(lián)諧振變換器直流電壓增益特性圖.由圖13可知,隨著LLC串聯(lián)諧振變換器開關(guān)角頻率的變化,直流電壓比M也隨之變化;特性曲線的峰值所對應(yīng)的頻率與輸出負(fù)載品質(zhì)因數(shù)Q成正比,即隨著輸出負(fù)載品質(zhì)因數(shù)Q的增加而增加[6].

圖13 LLC串聯(lián)諧振變換器直流電壓增益特性圖

當(dāng)直流電壓比M＞1時,LLC 串聯(lián)諧振變換器表現(xiàn)出升壓特性;當(dāng)直流電壓比M＜1時,LLC 串聯(lián)諧振變換器表現(xiàn)出降壓特性.圖13中的特性曲線存在兩個諧振頻率ω1和ω0.當(dāng)開關(guān)角頻率ωs等于ω0時,直流電壓比M的值恒等于1而與負(fù)載無關(guān).

3 結(jié)語

本文對全橋LLC串聯(lián)諧振直流-直流變換器的完整周期工作過程進行了分析,利用基波分量近似法建立了全橋LLC串聯(lián)諧振直流-直流變換器的數(shù)學(xué)模型,并給出詳細(xì)的推導(dǎo)過程,分析了系統(tǒng)的控制特性、負(fù)載特性即輸出特性.據(jù)分析結(jié)果可知,處于穩(wěn)定工作狀態(tài)的變換器,當(dāng)系統(tǒng)在諧振角頻率附近工作時,利用基波分量近似法建模引起的誤差可忽略不計.該方法計算量小,基本無誤差,能有效地降低電路特性分析和參數(shù)計算的難度,為LLC串聯(lián)諧振電路在實際應(yīng)用中的參數(shù)設(shè)計與計算提供參考.