例談旋轉(zhuǎn)變換在幾何最值問題中的應(yīng)用

摘" 要：直觀想象是高中數(shù)學(xué)六大核心學(xué)科素養(yǎng)之一，較高水平的直觀想象素養(yǎng)能夠通過想象對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行直觀表達(dá)，反映數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，形成解決問題的思路.文章通過實(shí)例展示幾何圖形的旋轉(zhuǎn)變換在幾何最值問題中的應(yīng)用，旨在引導(dǎo)學(xué)生逐漸養(yǎng)成運(yùn)用圖形和想象進(jìn)行思考的習(xí)慣，綜合“形”與“數(shù)”兩個(gè)維度認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)，提升直觀想象素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：直觀想象；核心素養(yǎng)；旋轉(zhuǎn)變換；幾何最值

中圖分類號(hào)：G632""" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A""" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）16-0060-03

收稿日期：2024-03-05

作者簡介：王道金（1971—），男，本科，中學(xué)正高級(jí)教師，湖北省特級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

在解決幾何最值問題的時(shí)候經(jīng)常采用三角函數(shù)、向量或解析法等手段，然而有時(shí)候采用幾何手段，回歸幾何本質(zhì)，可以使問題的直觀性更好，運(yùn)算量大為降低.下面舉例展示應(yīng)用旋轉(zhuǎn)變換的方法解決幾何最值問題，簡潔直觀，數(shù)形結(jié)合思想展現(xiàn)得淋漓盡致，充分體現(xiàn)提升直觀想象素養(yǎng)的重要性.

1" 長度最值問題

例1" 如圖1，在平面凸四邊形ABCD中，AB=1，BC=3，AC⊥CD，AC=CD，當(dāng)∠ABC變化時(shí)，求BD的最大值.

解析"" 如圖2，△ACD為等腰直角三角形，考慮旋轉(zhuǎn)變換，將BC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到達(dá)CE，則ED=BA=1.

點(diǎn)D在以E為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則EB=6，BD≤BE+ED=1+6，

當(dāng)B，E，D三點(diǎn)共線時(shí)，BD取得最大值1+6.

點(diǎn)評(píng)" 此題用旋轉(zhuǎn)變換探求出點(diǎn)D的軌跡，幾何直觀性就顯露無遺，解法自然簡潔［1］.

變式1" 如圖3，在平面凸四邊形ABCD中，AB=1，BC=3，AD⊥CD，AD=CD，當(dāng)∠ABC變化時(shí)，求BD的最大值.

解析" 如圖4，△ACD為等腰直角三角形，考慮旋轉(zhuǎn)位似變換，將BC長度縮短為原來的12倍，繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到達(dá)CO，則△DOC，△ABC相似.

所以O(shè)D=12BA=22［2］.

點(diǎn)D在以O(shè)為圓心，22為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則

OB=62，BD≤BO+OD=2+62，

當(dāng)B，O，D三點(diǎn)共線時(shí)，BD取得最大值2+62.

2" 面積最值問題

例2" 如圖5，在平面凸四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，△ACD為正三角形，求△BCD面積的最大值.

解析" 如圖6，由△ACD為正三角形，考慮旋轉(zhuǎn)變換，將BC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到達(dá)CO，則OD=BA=1.

點(diǎn)D在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，作OT⊥BC于點(diǎn)T，DH⊥BC于點(diǎn)H，則

OT=3，DH≤DO+OT=3+1.

當(dāng)D，O，T三點(diǎn)共線時(shí)，△BCD的面積取得最大值3+1.

變式2" 如圖7，在平面凸四邊形ABCD中，AB=2，BC=1，AC⊥CD，∠CAD=π3，求△ABD面積的最大值.

解析" 如圖8，將AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)π3角度到達(dá)AE，且使得AE=2AB，可以得到△AED與△ABC相似［3］，DE=2BC=2.

點(diǎn)D在以E為圓心，2為半徑的圓上，所以當(dāng)B，E，D三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)D到AB的距離最大，△ABD面積的最大值為2+23.

例3" 如圖9，在平面凸四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=75°，對(duì)角線BD=4，求四邊形ABCD面積的最小值.

解析" 如圖10，△ABC是正三角形，考慮旋轉(zhuǎn)變換，將△ADB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，到達(dá)△BCT的位置，連接DT，則△BDT為正三角形，∠DCT=∠ADC+∠ABC=135°為定值，點(diǎn)C在以DT為弦，半徑為22的圓O上.

當(dāng)OC⊥DT時(shí)，△DCT的面積最大為2（22-2）.

四邊形ABCD等于△BDT的面積與△DCT的面積之差，四邊形ABCD面積的最小值為43+4-42.

點(diǎn)評(píng)" 此題用旋轉(zhuǎn)變換將原四邊形的面積進(jìn)行重組，在△BDT確定的條件下探尋點(diǎn)C的動(dòng)態(tài)規(guī)律，等于是減少了動(dòng)態(tài)因素，使得問題變得更加直觀.

3" 角度最值問題

例4" 如圖11，在平面凸四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，△ACD為正三角形，求∠BDC的最小值.

解析" 如圖12，由△ACD為正三角形，考慮旋轉(zhuǎn)變換，將BC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到達(dá)CE，則ED=BA=1.

點(diǎn)D在以E為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，作EH⊥BC于點(diǎn)H，設(shè)經(jīng)過B，C且與圓E相內(nèi)切的圓與圓E相切于點(diǎn)F，則當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)F處時(shí)∠BDC最小，EF=1，EH=3，∠BDC的最小值為

2arctan13+1，即為arccos3+4313.

點(diǎn)評(píng)" 如果要求∠BDC的最大值，則需要找到經(jīng)過B，C且與圓E相外切的圓，用幾何直觀求解.

4" 長度之比的最值問題

例5" 如圖13，在等邊△ABC中，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且∠BPC=2π3，求PAPC的最小值.

解析" 如圖14，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)π3到達(dá)△CAD，CP旋轉(zhuǎn)到CO，易知△CPO為正三角形，△COA≌△CPB，∠COA=2π3，∠COP=π3，∠AOP=π3，PAPC=APPO=sin（π/3）sin∠PAO≥sinπ3=32，當(dāng)PA⊥AO時(shí)取得等號(hào)，

即PAPC的最小值為32.

點(diǎn)評(píng)" 原圖△PAC中角度都是未知量，不便于求PA，PC之比，通過圖形旋轉(zhuǎn)變換轉(zhuǎn)移線段的位置，在△PAO中，可以求出∠AOP，這有利于求解PA，PC之比［4］.

試題鏈接" （2019年佛山市青年教師解題比賽第15題）在平面四邊形ABCD中，AB=1，AC=5，BD⊥BC，BD=2BC，求AD的最小值.

答案" AD的最小值為5.

5" 結(jié)束語

由上面的問題可見，有些幾何最值問題的條件涉及三角形具體形狀，我們可以利用三角形的形狀實(shí)施旋轉(zhuǎn)變換，通過探求動(dòng)點(diǎn)的軌跡或者調(diào)整圖形的位置，利用幾何直觀性來解決問題.直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).在高中幾何內(nèi)容模塊教學(xué)中，要堅(jiān)持回歸幾何本質(zhì)，用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題和解決問題，提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］

中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 王孝波.旋轉(zhuǎn)變換在幾何解題中的作用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，1999（10）：18-19.

［3］ 李鍵，李永忠.例談旋轉(zhuǎn)變換在幾何試題中的應(yīng)用［J］.中學(xué)生數(shù)學(xué)，2023（20）：11-13.

［4］ 馬加升.圖形的旋轉(zhuǎn)變換在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.課程教材教學(xué)研究，2020（Z1）：29-31.

［責(zé)任編輯：李" 璟］