臨界點(diǎn)理論在分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題中的應(yīng)用

摘要： 用臨界點(diǎn)理論和變分法研究Banach空間中帶Sturm-Liouville邊值條件的Caputo型分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性. 通過定義適當(dāng)?shù)姆謹(jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)空間， 將分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題解的存在性轉(zhuǎn)化為尋找定義在某個(gè)空間上對(duì)應(yīng)泛函的臨界點(diǎn)， 得到了該邊值問題存在一系列無界的廣義解.

關(guān)鍵詞： Sturm-Liouville邊值條件; 臨界點(diǎn)理論; 變分法; 不連續(xù)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

中圖分類號(hào)： O175.8" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A" 文章編號(hào)： 1671-5489（2024）04-0831-11

Applications of Critical Point Theory to BoundaryValue Problems of Fractional Differential Equations

QIN Ruizhen， ZHOU Wenxue， CAO Meili

（School of Mathematics and Physics， Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou 730070， China）

Abstract： The critical point theory and the variational method were used to study the existence of the solution for the Caputo type fract

ional differential equation with the Sturm-Liouville boundary condition in Banach space. By defining the appropriate fractional derivative space， the existence

of the solution to the boundary value problem of fractional differential equation was transformed into finding the critical point defined as the corresponding f

unctional in a certain space， and a series of unbounded generalized solutions to the boundary value problem were obtained.

Keywords： Sturm-Liouville boundary condition; critical point theory; variational method; discontinuous fractional derivative

0 引 言

分?jǐn)?shù)階微分方程相比于整數(shù)階微分方程， 能更準(zhǔn)確地描述并分析一些復(fù)雜的系統(tǒng)和現(xiàn)象. 因此， 分?jǐn)?shù)階微分方程在物理、 電化學(xué)、 黏彈性、 控制、 多孔介質(zhì)和電磁學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛［1-4］. 人們已利用一些經(jīng)典的工具得到了許多關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性結(jié)果， 如不動(dòng)點(diǎn)理論、 拓?fù)涠壤碚摵捅容^方法［5-8］等. 而臨界點(diǎn)理論是處理分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題的有效工具［9-14］， 但利用臨界點(diǎn)理論研究分?jǐn)?shù)階邊值問題解的存在性文獻(xiàn)報(bào)道相對(duì)較少.

文獻(xiàn)［15］研究了如下分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題：

ddt120D-βt（u′（t））+12

tD-βT（u′（t））+F（t，u（t））=0， t∈［0，T］，u（0）=u（T）=0，

通過變分方法， 建立了關(guān)于其解的存在性等準(zhǔn)則. 文獻(xiàn)［16］研究了如下分?jǐn)?shù)階邊值問題：

-ddt120D-βt（u′（t））+12tD-βT（u′（t））∈F（t，u（t））， t∈［0，T］，

u（0）=u（T）=0，

利用非光滑臨界點(diǎn)理論的變分方法， 證明了其解的存在性和多重性.

受上述研究結(jié)果的啟發(fā)， 本文研究帶Sturm-Liouville邊值條件的不連續(xù)分?jǐn)?shù)階邊值問題（BVP）：

ddt12C0Dβt（u2（t））+12C

tDβT（u2（t））+f（u（t））=0， a.e.t∈［0，T］，au（0）-b12C0D

βtu2（0）+12CtDβTu2（0）=0，

cu（T）+d12C0Dβtu2（T）+12CtDβTu2（T）=0（1）

解的存在性， 其中C0Dβt和CtDβT分別表示3≤βlt;4階左、 右Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)， a，b，c，dgt;0， f：瘙綆

→瘙綆是一個(gè)幾乎處處連續(xù)函數(shù)， u（t）為單調(diào)減函數(shù).

1 預(yù)備知識(shí)

定義1（左、 右Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)）［17］

令f是定義在［a，b］上的一個(gè)函數(shù)， 函數(shù)f的左、 右γgt;0階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)分別用aDγtf（t）和tDγbf（t）表示， 定義如下：

aDγtf（t）=dndtnaDγ-ntf（t）=1Γ（n-γ）

dndtn∫ta（t-s）n-γ-1f（s）ds，

tDγbf（t）=（-1）ndndtntDγ-nbf（t）=1Γ（

n-γ）（-1）ndndtn∫bt（s-t）n-γ-1f（s）ds，

其中t∈［a，b］， n-1≤γlt;n， n∈瘙綃. 特別地， 如果0≤γlt;1， 則

aDγtf（t）=ddtaDγ-1tf（t）=1Γ（1-γ）

ddt∫ta（t-s）-γf（s）ds，" t∈［a，b］，

tDγbf（t）=-ddttDγ-1bf（t）=-1Γ（1-γ）ddt∫bt（s-t）-γf（s）ds，" t∈［a，b］.

注1 如果f∈C（［a，b］，瘙綆N）， 則顯然f在區(qū)間［a，b］上存在

γgt;0階的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分. 另一方面， 如果f∈ACn（［a，b］，瘙綆N）， 則在［a，b］上存在γ∈［n-1，n）階Ri

emann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)， 其中Ck（［a，b］，瘙綆N）（k=0，1，…）表示在［a，b］上有k次連續(xù)可微的映射集， AC（［a，b］，瘙綆N）是在［a

，b］上f∈Ck-1（［a，b］，瘙綆N）絕對(duì)連續(xù)的函數(shù)空間， AC（k）（［a，b］，瘙綆N）（k=0，1，…）是函數(shù)f的空間， 使得f（k-1）∈A

C（［a，b］，瘙綆N）. 特別地， AC（［a，b］，瘙綆N）=AC1（［a，b］，瘙綆N）.

定義2（左、 右Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)）［17］ 令γ≥0且n∈瘙綃.

1） 如果γ∈（n-1，n）且f∈ACn（［a，b］，瘙綆N）， 則函數(shù)f的左、 右γ階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)分別用CaDγtf（t）和

CtDγbf（t）表示， 且在［a，b］上幾乎處處存在. CaDγtf（t）和CtDγbf（t）分別定義為

CaDγtf（t）=aDγ-ntf（n）（t）=1Γ（n-γ）∫ta（t-s）n-γ-1f（n）（s）ds，

CtDγbf（t）=（-1）ntDγ-nbf（n）（t）=（-1）nΓ（n-γ）∫bt（s-t）n-γ-1f（n）（s）ds，

其中t∈［a，b］. 特別地， 如果0lt;γlt;1， 則

CaDγtf（t）=aDγ-1tf′（t）=1Γ（1-γ）∫ta（t-s）-γf′（s）ds，" t∈［a，b］，

CtDγbf（t）=-tDγ-1bf′（t）=-1Γ（n-γ）∫bt（s-t）-γf′（s）ds，" t∈［a，b］.

2） 如果γ=n-1且f∈ACn-1（［a，b］，瘙綆N）， 則CaDn-1tf（t）和CtDn-1bf（t）分別表示為CaDn-1tf（t）=f（n-1）

（t）和CtDn-1bf（t）=（-1）（n-1）f（n-1）（t）， t∈［a，b］. 特別地， CaD0tf（t）=CtD0bf（t）=f（t）， t∈［a，b］.

2 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)空間

定義3［17］ 令α∈（1/2，1］， p∈［1，+∞）， 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)空間

Eα，p={u： ［0，T］→瘙綆N： u是絕對(duì)連續(xù)的且0Dαtu∈Lp（［0，T］，瘙綆N）}

的定義是C∞0（［0，T］，瘙綆N）在Eα，p0范數(shù)

‖u‖α，p=∫T0u（t）p+0Dαtu（t）pdt1/p（2）

中的閉包.

引理1［17］ 令α∈（0，1］， p∈（1，+∞）， 則空間Eα，p關(guān)于范數(shù)‖u‖α，p是一個(gè)可分自反Banach空間.

引理2 令0lt;α≤1且1≤plt;∞， 則對(duì)任意的f∈Lp（［0，T］，瘙綆N）， 有

‖ξD-αTf‖Lp（［t，T］）≤（T-t）αΓ（α+1）‖f‖Lp（［t，T］）， ξ∈［t，T］， t∈［0，T］.（3）

證明： 如果p=1， 則有

‖ξD-αTf‖L1（［t，T］）= "1Γ（α）∫Tt∫Tξ

（s-ξ）α-1f（s）dsdξ≤1Γ（α）∫Tt∫Tξ（s-ξ）α-1f（s）dsdξ=

1Γ（α）∫Tt∫st（s-ξ）α-1dξf（s）ds=

1Γ（α）∫Tt（s-t）ααf（s）ds

≤ "（T-t）αΓ（α+1）‖f‖L1（［t，T］）.（4）

如果1lt;plt;+∞， 令g∈Lq（［0，T］，瘙綆N）， 其中1p+1q=1， 則有

∫Ttg（ξ）∫Tξ（s-ξ）α-1f（s）dsdξ=∫Ttg（ξ）∫Tξ（T-τ）

α-1f（T-τ+ξ）dτdξ=∫Tt（T-τ）α-1∫τtg（ξ）f（T-τ+ξ）dξdτ≤

∫Tt（T-τ）α-1dτ∫τtg（ξ）qdξ1/q∫τtf（T-τ+ξ）pdξ1/p≤（T-t）αα‖f‖Lp（［t，T］）‖g‖Lq（［t，T］）.（5）

對(duì)任意固定的t∈［0，T］， 考慮函數(shù)Hξf： Lq（［0，T］，瘙綆N）→瘙綆， 定義為

Hξf（g）=∫Ttg（ξ）∫Tξ（s-ξ）α-1f（s）dsdξ，（6）

因此由式（5），（6）和Rieze表示定理知， 存在h∈Lp（［0，T］，瘙綆N）以及所有的g∈Lq（［0，T］，瘙綆N）， 使得

∫Ttg（ξ）h（ξ）dξ=Hξf（g）=∫Ttg（ξ）∫Tξ（s-ξ）α-1f（s）dsdξ，（7）

‖h‖Lp（［t，T］）≤（T-t）αα‖f‖Lp（［t，T］）.

由式（7）得

1Γ（α）h（ξ）=1Γ（α）∫Tξ（s-ξ）α-1f（s）ds=ξD-αTf（ξ），" ξ∈［t，T］，

即

‖ξD-αTf‖Lp（［t，T］）=‖h‖Lp（［t，T］）Γ（α）≤（T

-t）αΓ（α+1）‖f‖Lp［t，T］.（8）

結(jié)合式（4）和式（8）即得不等式（3）.

引理3［17］ 令0lt;α≤1且1≤plt;∞， 則對(duì)所有的u∈Eα，p0， 有

‖u‖Lp≤tαΓ（α+1）‖0Dαtu‖Lp.

此外， 如果αgt;1p， 1p+1q=1， 則

‖u‖∞≤Tα-1/pΓ（α）（（α-1）q+1）1/q‖0Dαtu‖Lp.

引理4 如果α∈（1/2，1］， 則對(duì)任意的u∈Eα， 有

cos（πα）∫T00Dαtu（t）2dt≤-∫T0（0Dαtu（t），tDαTu（

t））dt≤1cos（πα）∫T00Dαtu（t）2dt.（9）

證明： 設(shè)u∈Eα且u是u在瘙綆＼［0，T］上的零延拓， 則sup p（u）［0，T］. 而左、 右分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)是非局部的：

sup p（-∞D(zhuǎn)αtu（t））［0，+∞），" sup p（tDα∞u（t））（-∞，T］，

但（-∞D(zhuǎn)αtu，tDα∞u）在［0，T］上也成立.

一方面， 有

∫+∞-∞（-∞D(zhuǎn)αtu（t），tDα∞u（t））dt=cos（πα）∫+∞-∞-∞D(zhuǎn)αtu

（t）2dt=cos（πα）∫+∞-∞tDα∞u（t）2dt，（10）

其中-∞D(zhuǎn)αt和tDα∞為實(shí)線上的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù). 又因?yàn)棣痢剩?/2，1］， 所以cos（πα）∈［-1，0）， 從而有

-∫T0（0Dαtu（t），tDαTu（t））dt=-∫T0（0Dαtu（t），tDαTu

（t））dt= -∫+∞-∞（-∞D(zhuǎn)αtu（t），tDα∞u（t））dt=

-cos（πα）∫+∞-∞-∞D(zhuǎn)αtu（t）2dt≥

-cos（πα）∫T00Dαtu（t）2dt.

另一方面， 利用Young不等式， 有

∫T0（0Dαtu（t），tDαTu（t））dt≤∫T0120Dαtu（

t）2tDαTu（t）dt≤14ε∫T00Dαtu（

t）2dt+ε∫T0tDαTu（t）2dt≤14ε∫T00Dαtu（t

）2dt+ε∫+∞-∞tDα∞u（t）2dt=14ε∫T00Dαtu

（t）2dt+εcos（πα）∫T0（0Dαtu（t），tDαTu（t））dt.

通過取ε=cos（πα）/2， 得

∫T0（0Dαtu（t），tDαTu（t））dt≤1cos（πα）∫T00Dαtu（t）2dt.

證畢.

3 變分結(jié)構(gòu)

令α=-1+β/2， 則α∈（1/2，1］， 從而問題（1）轉(zhuǎn)化為以下形式：

ddt12C0Dα+1t（0Dαtu（t））-12CtDα+1T（tDαTu（t））+f（u（t））=0， a.e. t∈［0，T］，

au（0）-b12C0Dα+1t（0Dαtu（0））-12CtDα+1T（tDαTu（0））=0，

cu（T）+d12C0Dα+1t（0Dαtu（T））-12C

tDα+1T（tDαTu（T））=0，（11）

因此， 求BVP（11）的解u即對(duì)應(yīng)于求BVP（1）的解u.

記Dα（u（t））=12C0Dα+1t（0Dαtu（t））-12CtDα+1T（tDαT（u（t）））.（12）

定義Df∶={z∈瘙綆f在z處不連續(xù)}， 如果Df是（Lebesgue）可測(cè)的且m（Df）=0，

則稱f是幾乎處處連續(xù)的. 此外， 如果f在局部本質(zhì)上是有界的， 則對(duì)每個(gè)t∈瘙綆， 記

f-（z）=limδ→0-ess inft-zlt;δ f（z），

f+（z）=limδ→0+ess supt-zlt;δ f（z）.

觀察到f-，f+分別是下半連續(xù)和上半連續(xù)的.

注2 如果f是一個(gè)連續(xù)函數(shù)， 則（C0Dβtu2（t））′，（CtDβTu2（t））′∈C［0，T］

， u是問題（11）的經(jīng)典解. 對(duì)每個(gè)u∈Eα， φ： Eα→瘙綆定義為

φ（u）=-12∫T0（0Dαtu，tDαTu）dt+c2d（u（T））2+a

2b（u（0））2=12‖u‖2，（13）

Υ（u）=∫T0F（u（t））dt，

其中F（u）∶=∫u0f（s）ds， l（u）=0， Ψ（u）=Υ（u）-l（u）=Υ（u）， I（u）=φ（u）-Ψ（u）=φ（u）-Υ（u）.

對(duì)任意的u，v∈Eα， 有

〈φ′（u），v〉=-12∫T0［（0Dαtu（t），tDαTv（t））+（tDαTu（t）

，0Dαtv（t））］dt+cdu（T）·v（t）+abu（0）·v（t）.（14）

引理5 令α∈（1/2，1］且u∈Eα， 則‖u‖α，2的范數(shù)等價(jià)于

‖u‖=-∫T0（0Dαtu（t），tDαTu（t））dt+

cd（u（T））2+ab（u（0））21/2.（15）

證明： 由定義3和引理4可得

‖u‖α，2= "∫T0（u（t）2+0Dαtu（t）2）dt

1/2≤∫T0u（t）2dt1/2+∫T00Dαtu（t）

2dt1/2≤ "‖u‖+1cos（πα）∫T0（0Dαtu（t），tD

αTu（t））dt1/2≤1+1cos（πα）‖u‖.（16）

下面令{uk}Eα且2lt;μ1lt;μ， {φ（un）}有界， φ′（un）→0， 結(jié)合式（14），（15）可得

μ1φ（un）-（φ′（un），un）= "1-μ12∫T0（0Dαtun（t），tDαTun（t

））dt+cμ12d（un（T））2+aμ12b（un（0））2- "cdun（T）·un（t）-a

bun（0）·un（t）≤μ12-11cos（πα）‖un‖2α+ "cμ12d

+aμ12b‖un（0）‖2-cd+ab‖un（T）‖2.（17）

由式（13）可得

μ1φ（un）-（φ′（un），un）=μ12‖un‖2-‖un‖2.（18）

根據(jù)式（17）和式（18）得到不等式：

μ12-1‖un‖2≤μ12-1‖un‖2α+cμ12d+aμ12b‖un（0）‖2-cd+ab‖un（T）‖2.

因?yàn)?/p>

cμ12d+aμ12b‖un（0）‖2-cd+ab‖un（T）‖2gt;0，

故

‖un‖2≤‖un‖2α+c1，

其中c1為常數(shù)， c1=cμ12d+aμ12b‖un（0）‖2-cd+ab‖un（T）‖2. 從而可得

‖u‖≤‖u‖α+c2，（19）

其中c2為大于0的常數(shù).

而‖u‖α=‖u‖α，2， 再結(jié)合式（16）和式（19）得到不等式：

cos（πα）1+cos（πα）‖u‖α，2≤‖u‖≤‖u‖α，2+c2，

因此‖u‖α，2等價(jià)于‖u‖.

引理6 泛函φ： Eα→瘙綆是弱下半連續(xù)的.

證明： 顯然φ是弱下半連續(xù)的. 為證明φ在Eα上是弱下半連續(xù)的， 只需證明φ在Eα上是凸的.

令λ∈（0，1）， u，v∈Eα和u，v分別是u和v在瘙綆/［0，T］上的零擴(kuò)展. 因?yàn)?/p>

φ1（（1-λ）u+λv）=-12∫T0［0Dαt（（1-λ）u（t）+λv（t）），tDαT（（1-λ）u（t）+λv（t））］dt=

-12∫+∞-∞［-∞D(zhuǎn)αt（（1-λ）u（t）+λv（t）），

tDα∞（（1-λ）u（t）+λv（t））］dt=cos（πα）2∫+∞

-∞-∞D(zhuǎn)αt（（1-λ）u（t）+λv（t））2dt=

cos（πα）2∫+∞-∞［（1-λ）-∞D(zhuǎn)

αtu（t）2+λ-∞D(zhuǎn)αtv（t）2］dt=

∫+∞-∞-1-λ2（-∞D(zhuǎn)αtu（t），tDα∞u（t））-λ

2（-∞D(zhuǎn)αtv（t），tDα∞v（t））dt=

∫T0-1-λ2（0Dαtu（t），tDαTu（t））-λ2（0Dαtv（t），tDαTv（t））dt=（1-λ）φ1（u）+λφ1（v），

所以φ1是Eα上的凸泛函. 顯然φ2=c2du（T）2+a2bu（0）2

在Eα上也是凸的， 所以φ（u）=φ1（u）+φ2（u）是一個(gè)定義在Eα上的凸泛函.

引理7 令u，v∈L1（［0，T］，瘙綆n）， 如果對(duì)每個(gè)φ∈C∞0［0，T］， 均有

∫T0（u（t），φ′（t））dt=-∫T0（v（t），φ（t））dt，

則u是v的原函數(shù). 即對(duì)幾乎每個(gè)t∈［0，T］， 都有u（t）=∫t0v（s）ds+c， 其中c∈瘙綆n.

證明： 用w（t）=∫t0v（s）ds定義w∈C（［0，T］，瘙綆n）， 使得

∫T0（w（t），φ′（t））dt=∫T0∫t0v（s）ds，φ（t）dt.

由Fubini定理， 得

∫T0（w（t），φ′（t））dt=∫T0∫Ts（v（s），φ（t））dtds=∫T0（u（s），φ（s））ds，

所以∫T0（u（s）-w（s），φ（s））ds=0. 根據(jù)變分演算的基本引理， 有u（t）-w（t）=c， 其中c∈瘙綆， 證畢.

引理8 考慮問題

ddt12C0Dβt（u2（t））+12CtDβT（u2（t））

+h（t）=0， a.e. t∈［0，T］，au（0）-b12C0D

βtu2（0）+12CtDβTu2（0）=0，

cu（T）+d12C0Dβtu2（T）+12CtDβTu2（T）=0，（20）

其中h∈L2（［0，T］）. 問題（20）有唯一解u∈Eα使得（C0Dβt（u2））′，（CtDβT（u2））′是幾乎處處連續(xù)的， 且

u是通過minv∈Eα-∫T0（0Dαtv″，tDαTv″）d

t+cdv2（T）+abv2（0）得到的.

證明： 如果u是問題（20）的一個(gè)經(jīng)典解， 則對(duì)所有的v∈Eα， 通過分部積分有

12∫T0［C0Dβt（u2（t））+ "CtDβT（u2（t））］′v（t）dt+∫T0h（t）v（t）dt=

12∫T0［（0Dαtu（t），tDαTv″（t））+（tDαTu（t），0Dαtv″（t））］dt-

cdu（T）v（T）-abu（0）v（0）+∫T0h（t）v（t）dt.

令

a（u，v）=-12∫T0［（0Dαtu，tDαTv″）+（tDαTu，0D

αtv″）］dt+cdu（T）v（T）+abu（0）v（0）.

顯然， a（u，v）是Eα上的連續(xù)強(qiáng)制雙線性形式. 由Lax-Milgram定理與雙線性形式a（u，v）、 線性函數(shù)φ： v→∫T0h（t）v（t）d

t可知， 存在一個(gè)唯一的元素u∈Eα， 使對(duì)所有的v∈Eα， 有

a（u，v）=∫T0h（t）v（t）dt.（21）

此外u是由 minv∈Eα12a（v，v）-∫T0h（t）v（t）dt得到的， 因此對(duì)所有的v∈Eα， 都有

0=-12∫T0［（0Dαtu，tDαTv″）+（tDαTu，0Dαtv″）］dt+

cdu（T）v（T）+abu（0）v（0）-∫T0h（t）v（t）dt=

12∫T0（C0Dβtu2+CtDβTu2，v′）dt

+cdu（T）v（T）+abu（0）v（0）-∫T0h（t）v（t）dt.（22）

不失一般性， 式（22）適用于所有的v∈C∞0Eα， 其中C∞0={u∈C∞［0，T］： u（0）=u（T）=0}. 對(duì)所有的v∈C∞0， 式（22）就等于

0=12∫T0（C0Dα+1t（0Dαtu（t））-CtDα+1

T（tDαTu（t）），v′（t））dt-∫T0h（t）v（t）dt.

由引理7有

12（C0Dα+1t（0Dαtu（t）））-12（

CtDα+1T（tDαTu（t）））=-∫t0h（s）ds+c， a.e. t∈［0，T］， c∈瘙綆.

所以

12ddt（Dα（u（t）））=ddt12C

0Dα+1t（0Dαtu（t））-12CtDα+1T（tDαTu（t））+h（t）=0， t∈［0，T］.（23）

因?yàn)閔在［0，T］上幾乎處處連續(xù)， 故有ddt（Dα（u（t）））在［0，T］上幾乎處處連續(xù).

將式（23）代入式（22），" 對(duì)所有的v∈Eα， 通過分部積分得

0= "12∫T0（C0Dβtu2+CtDβTu2，v′）d

t+cdu（T）v（T）+abu（0）v（0）+ "∫T0ddt12C

0Dβtu2+12CtDβTu2，vdt= "cdu（T）v（T）

+abu（0）v（0）+12（C0Dβtu2+CtDβTu2，v）T0

= "cdu（T）v（T）+abu（0）v（0）+12C0Dβtu2（T）

v（T）+12CtDβTu2（T）v（T）-

12C0Dβtu2（0）v（0）-12CtDβTu2（0）v（0）=

cdu（T）+12C0Dβtu2（T）+1

2CtDβTu2（T）v（T）+ "abu（

0）-12C0Dβtu2（0）-12CtDβTu2（0）v（0）.

令v（0）=0， v（T）≠0， 則

cdu（T）+12C0Dβtu2（T）+12CtDβTu2（T）=0.

同理可得

abu（0）-12C0Dβtu2（0）-12CtDβTu2（0）=0.

故邊值條件成立. 由式（21）可見C0Dβtu2∈L2［0，T］， 因此CtDβTu2∈L2［0，T］. 如果h∈C［

0，T］， 則C0Dβtu2∈C［0，T］， （C0Dβtu2）′∈C［0，T］.

引理9 令u∈Eα， 如果對(duì)所有的v∈L2［0，T］有a（u，v）=0， 則對(duì)t∈［0，T］有u=0.

證明： 如果對(duì)所有的v∈L2［0，T］有a（u，v）=0， 則不失一般性， 有a（u，u）=0. 由于a（u，u）=‖u‖2， 因此對(duì)t∈［0，T］有u（t）=0.

假設(shè)：

（H1） 對(duì)幾乎每個(gè)t∈［0，T］及每個(gè)u∈Df， f-（u）≤0≤f+（u）即表明f（u）=0.

引理10 令f：瘙綆→瘙綆是局部本質(zhì)有界的幾乎處處連續(xù)函數(shù)， 假設(shè)（H1）成立且u∈Eα是I的廣義臨界點(diǎn)， 則u是BVP（11）的一個(gè)廣義解.

證明： 令u0∈Eα是I的一個(gè)廣義解， 即對(duì)所有的v∈Eα， I0（u0，v）≥0. 從而對(duì)所有的v∈Eα， 有

φ′（u0）（v）+（-Υ）0（u0;v）≥0.

即對(duì)所有的v∈Eα， 有

12∫T0（0Dαtu0，tDαTv）+（tDαTu0，0Dαtv）dt-

cdu0（T）v（T）-abu0（0）v（0）≤（-Υ）0（u0;v）.（24）

顯然， 對(duì)所有的v∈Eα， 令

Lu0（v）=12∫T0［（0Dαtu0，tDαTv）+（tDαTu0，0Dαtv）］dt-cd

u0（T）v（T）-abu0（0）v（0），

Lu0是Eα上的一個(gè)連續(xù)線性泛函， 其中式（24）表示Lu0∈（-Υ）Eα（u0）. 由于Eα在L2［0，T］密集， 由文獻(xiàn)［18］知（-Υ）

Eα（u0）（-Υ）L2［0，T］（u0）， 所以Lu0∈（-Υ）L2［0，T］（u0）， L在L2［0，T］

上是連續(xù)并且線性的. 因此對(duì)所有的v∈L2［0，T］， 存在一個(gè)h∈L2［0，T］滿足Lu0（v）=∫T0h（x）v（x）dx. 由引理7知， 有唯一的u∈Eα， 滿足

（C0Dβt（u2））′，（CtDβT（u2））′幾乎處處連續(xù)， 使得式（21）成立.

特別地， 對(duì)所有的v∈Eα， 有

∫T0h（x）v（x）dx=12∫T0［（0Dαtu，tDαTv）+（tDαTu，0D

αtv）］dt-cdu（T）v（T）-abu（0）v（0）.

因此，

12∫T0［（0Dαtu，tDαTv）+（tDαTu，0D

αtv）］dt-cdu（T）v（T）-abu（0）v（0）=Lu0（v）=∫T0h（x）v（x）dx，

即對(duì)所有的v∈L2［0，T］有a（u0-u，v）=0. 引理9表明u0=u， 所以（C0Dβt（u20））

′∈C［0，T］， （CtDβT（u20））′∈C［0，T］， 并且

12∫T0［（0Dαtu0，tDαTv）+ "（tDαTu0，0D

αtv）］dt-cdu0（T）v（T）-abu0（0）v（0）= "∫T0ddt12

C0Dβtu20+12CtDβTu20，v（t）dt

對(duì)所有的v∈Eα都成立. 從而對(duì)所有的v∈Eα， 有

∫T0ddt12C0Dβtu20+12CtDβTu20，v（t）dt≤（-Υ）0（u0;v）.

文獻(xiàn)［18］確保了對(duì)幾乎每個(gè)t∈［0，T］， 有

ddt12C0Dβtu20+12CtDβTu20

∈［（-f）-（u0（x）），（-f）+（u0（x））］.（25）

由于m（Df）=0， 因此

-ddt12C0D

βtu20+12CtDβTu20=0，" a.e. t∈u-10（Df）.

由假設(shè)（H1）， 對(duì)a.e. t∈u-10（Df）， f（u0（t））=0. 所以

-ddt12C0Dβtu20

+12CtDβTu20=f（u0（t）），" a.e. t∈u-10（Df）.

另一方面， 對(duì)a.e. t∈［0，T］＼u-10（Df）， 式（25）即為

-ddt12C0D

βtu20+12CtDβTu20=f（u0（t））.

從而證明該邊值問題存在一個(gè)解.

4 BVP（1）解的存在性

引理11［19］ 假設(shè)X是一個(gè)自反實(shí)Banach空間， φ和Ψ是局部的Lipschitz泛函， 則下列結(jié)論成立.

1） 對(duì)每個(gè)rgt;infX φ， 函數(shù)I=φ-Ψ對(duì)φ-1（（-∞，r））的限制允許有一個(gè)全局最小值， 它是I在X中的一個(gè)臨界點(diǎn)（局部最小值）.

2） 如果rlt;+∞， 則以下條件之一成立：

① I具有一個(gè)全局最小值;

② I有一個(gè)臨界點(diǎn)（局部最小值）序列{un}， 使得limn→+∞ φ（un）=+∞.

3） 如果δlt;+∞， 則下列條件之一成立：

① φ的全局最小值是I的局部最小值；

② I有一個(gè)成對(duì)不同的臨界點(diǎn)（局部最小值）的序列{un}， 其中l(wèi)imn→+∞ φ（un）=infX φ， 它弱收斂到φ的全局最小值.

下面令

A=limξ→+∞ infmaxt≤ξ F（t）ξ2，" B=li

mξ→+∞ supF（ξ）ξ2，

M1=Tα-1/pΓ（α）（（α-1）q+1）1/q，" M2=1

（Γ（1-α））2（-1）α2T+cd.

對(duì)每個(gè)ξ∈瘙綆， 令F（ξ）∶=∫ξ0f（s）ds， 并假設(shè)：

（H2） 對(duì)每個(gè)ξ≥0有∫ξ0F（t）dt≥0;

（H3）limξ→+∞ infmaxt≤ξ F（t）ξ2lt;k

limξ→+∞ supF（ξ）ξ2， 其中k=12M21M2.

定理1 令f：瘙綆→瘙綆是一個(gè)局部本質(zhì)有界的幾乎處處連續(xù)函數(shù).

如果假設(shè)條件（H1）～（H3）成立， 則問題（11）在Eα中有一系列無界的廣義解.

證明： 用引理11證明. 由假設(shè)（H3）知， 存在一個(gè)實(shí)序列{cn}， 滿足limn→+∞ cn=+∞， 且

limn→+∞maxtlt;cnc2n=Alt;+∞.（26）

對(duì)所有的n∈瘙綃， 令rn=12c2nM21.

由引理3知， 對(duì)所有的v∈Eα滿足‖v‖2≤2rn， 從而可得‖v‖∞≤M1‖v‖≤M12rn=cn. 于是，

φ（rn）=infu∈φ-1（［-∞，rn］）supu∈φ-1（［-∞，rn］）

Ψ（u）-Ψ（u）rn-φ（u）≤sup‖u‖2lt;2rn Ψ（u）-Ψ（0）rn=

sup‖v‖2lt;2rn ∫T0F（v（x））dxrn≤Tmaxtlt;cn F（t）rn=2M21Tc2nmaxt≤cn F（t），

由式（26）知， φ（rn）≤2M21TA. 所以Υ∶=limr→+∞ inf φ（r）

≤limn→+∞ inf φ（rn）≤2M1TAlt;+∞.

下面稱I是無界的. 由假設(shè)（H3）， 令（dn）是一個(gè)實(shí)序列， 滿足 limn→∞ dn=+∞， 且

limn→∞F（dn）d2n=B.（27）

對(duì)所有的n∈瘙綆， 定義

ωn（t）=2dn（t-s）αT，t∈0，T2，dn，t∈T2，T.

顯然， ωn∈X， 且

‖ωn‖2=-∫T0（0Dαtωn，tDαTωn）dt+cd（ωn（T）

）2+ab（ωn（0））2=∫T01Γ（1-α）ddt∫t0（t-s）-αωn（s）ds，1（1-α）ddt∫Tt（s-t）-αωn（s）ds

dt+cdd2n=1（Γ（1-α））2∫T/20ddt∫t0（t-s

）-α2dn（t-s）αTds，ddt∫T/2t（s-t）-α

2dn（t-s）αTdsdt+cdd2n=1（Γ（1-α））2∫

T/202dnT，（-1）α2dnTdt+cdd2n≤

1（Γ（1-α））2（-1）α2d2nT+cdd2n∶=M2d2n.

因此，

φ（ωn）-Ψ（ωn）=‖ωn‖22-∫T0F（ωn（t））dt≤M2d2n2-∫T0F（ωn（t））dt.

由假設(shè)（H2）， 有

∫T0F（ωn（t））dt≥∫TT/2F（dn）dt=F（dn）12T.

因此， 對(duì)所有的n∈瘙綃， 有

φ（ωn）-（ωn）≤M2d2n2-T2F（dn）.

如果Blt;+∞， 則由式（27）知， 對(duì)任意的ε≤B-M2＼T， 存在Nε∈瘙綃， 使得對(duì)所有的ngt;Nε， 有

F（dn）gt;（B-ε）d2n.

所以隨著n→+∞， 有

φ（ωn）-Ψ（ωn）≤M2d2n2-T2（B-ε）d2n=d2n2（M2-T（B-ε））→-∞.

如果B=+∞， 固定M3gt;M2＼T， 并且由式（27）知， 對(duì)所有的ngt;NM， 存在NM∈瘙綃， 使得

F（dn）gt;M3d2n.

因此隨著n→+∞， 有

φ（ωn）-Ψ（ωn）≤M2d2n2-T2M3d2n=d2n2（M2-TM3）→-∞.

綜上， 引理11中2）的所有假設(shè)得到了驗(yàn)證， 函數(shù)I有一個(gè)廣義臨界點(diǎn)的序列{un}， 使得limn→+∞ ‖un‖=+∞

， 即{un}在Eα上是無界的. 由引理10知， {un}是BVP（11）的一個(gè)廣義解序列， 證畢.

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（責(zé)任編輯： 趙立芹）