耦合Rulkov神經(jīng)元的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為

摘要： 基于混沌的Rulkov神經(jīng)元模型， 考慮2個(gè)相同神經(jīng)元在電耦合下的情形， 通過(guò)數(shù)值計(jì)算對(duì)耦合Rulkov神經(jīng)元模型進(jìn)行雙參數(shù)分岔分析， 并借助單參數(shù)分岔圖以及最大Lyapunov指數(shù)圖進(jìn)一步驗(yàn)證其分岔模式. 結(jié)果表明： 耦合Rulkov神經(jīng)元模型呈倍周期分岔道路、 擬周期道路以及陣發(fā)性道路3條典型的混沌路徑; 該模型具有伴有混沌的加周期分岔現(xiàn)象; 隨著耦合強(qiáng)度的增加， 耦合Rulkov模型呈更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為.

關(guān)鍵詞： Rulkov神經(jīng)元； 電耦合； 雙參數(shù)分岔分析； 最大Lyapunov指數(shù)； 混沌道路

中圖分類號(hào)： O415.5" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A" 文章編號(hào)： 1671-5489（2024）04-0971-09

Complex Dynamic Behavior of Coupled Rulkov Neurons

XUE Rui1， ZHANG Li2， AN Xinlei1

（1. School of Mathematics and Physics， Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou 730070， China；

2. Department of the Basic Courses，" Lanzhou Institute of Technology， Lanzhou 730050， China）

Abstract： Based on the chaotic Rulkov neuron model， the two-parameter bifurcation analysis of the coupled Rulkov neuron model was carried out through numerical calculati

ons" by considering the situation of two identical neurons under electrical coupling， and the bifurcation mode was further validated by using the one-paramete

r bifurcation diagrams and the maximum Lyapunov exponent diagrams. The results show that the coupled Rulkov neuron model exhibits three classic chaotic paths： p

eriod-doubling bifurcation path， quasi-periodic bifurcation path， and intermittency path. The model presents a period-adding bifurcation phenomena accompanie

d by chaos. The coupled Rulkov neurons model exhibits more complex dynamical behavior as the coupling strength increases.

Keywords： Rulkov neuron; electrical coupling; two-parameter bifurcation analysis; the maximum Lyapunov exponent; chaotic path

神經(jīng)元是神經(jīng)系統(tǒng)的基本組成部分和功能單位， 是信息產(chǎn)生、 編碼、 傳輸以及整合的主要載體， 具有許多復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象. 人們對(duì)神經(jīng)元的基本構(gòu)成和生理活動(dòng)進(jìn)行了大量研究， 根據(jù)其生理行為建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型， 其中生物神經(jīng)元模型大多為非線性微分方程組描述的連續(xù)模型， 計(jì)算要求較高［1］， 而離散模型將微分方程組轉(zhuǎn)化為映射， 與連續(xù)模型相比， 具有簡(jiǎn)單和便于計(jì)算的優(yōu)點(diǎn). 此外， 離散模型能有效模擬神經(jīng)元的生理活動(dòng)， 對(duì)研究大規(guī)模的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有重要意義. 因此， 離散神經(jīng)元模型廣泛應(yīng)用于計(jì)算神經(jīng)科學(xué)中. Rulkov等［2-4］通過(guò)二維離散模型模擬神經(jīng)元的簇放電， 分別提出了非混沌Rulkov模型、 超臨界Rulkov模型和混沌Rulkov模型； Izhikevich［5］通過(guò)Euler法將二維常微分方程構(gòu)成的神經(jīng)元模型離散化為映射形式； 文獻(xiàn)［6-7］在經(jīng)典神經(jīng)元模型的基礎(chǔ)上， 改進(jìn)并提出了新的離散神經(jīng)元模型， 基于其良好的混沌性能和迭代迅速的特點(diǎn)， 進(jìn)一步研究了離散神經(jīng)元模型在保密通信中的應(yīng)用.

研究結(jié)果表明， 混沌的Rulkov神經(jīng)元模型能有效模擬神經(jīng)元的簇放電活動(dòng)， 具有豐富的動(dòng)力學(xué)行為. Wang等［8］通過(guò)對(duì)單個(gè)混沌Rulkov神經(jīng)元模型的定性分析， 根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)的類型及穩(wěn)定性對(duì)二維參數(shù)平面進(jìn)行了劃分; 孫慧靜［9］根據(jù)中心流形理論研究了Rulkov模型存在的分岔； 吳艷果［10］通過(guò)快慢分解技術(shù)研究了單個(gè)Rulkov神經(jīng)元模型的分岔類型， 分析了神經(jīng)元產(chǎn)生簇放電和峰放電的分岔機(jī)理.

由于只有較少的神經(jīng)元能單獨(dú)完成大腦信息的處理， 因此， 多個(gè)神經(jīng)元構(gòu)成的復(fù)雜神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的集體行為已引起人們廣泛關(guān)注. 2個(gè)耦合神經(jīng)元可構(gòu)成最小的神經(jīng)元集群， 混沌的Rulkov神經(jīng)元模型形式簡(jiǎn)單， 計(jì)算便捷. 在電耦合情況下， 文獻(xiàn)［11-13］討論了相同Rulkov神經(jīng)元耦合模型中不動(dòng)點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性， 并通過(guò)主穩(wěn)定函數(shù)分析方法進(jìn)一步研究了該模型的同步問(wèn)題； Cheng等［14］分析了異質(zhì)Rulkov神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)模型的同步現(xiàn)象及同步轉(zhuǎn)遷行為， 并通過(guò)中心流形定理討論了系統(tǒng)的分岔行為. 在化學(xué)突觸耦合情況下， Rakshit等［15］考慮內(nèi)部耦合函數(shù)， 分析了不動(dòng)點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性， 并借助主穩(wěn)定函數(shù)推導(dǎo)了完全同步的必要條件； Bashkirtseva等［16-17］分別考慮了2個(gè)Rulkov神經(jīng)元耦合及3個(gè)Rulkov神經(jīng)元耦合的情形， 分析了該模型的多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象以及同步問(wèn)題. 此外， 由于憶阻器可模擬神經(jīng)元突觸并刻畫(huà)電磁感應(yīng)效應(yīng)， 因此離散憶阻器可與Rulkov神經(jīng)元模型結(jié)合， 通過(guò)數(shù)值方法研究系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)換機(jī)制、 同步問(wèn)題以及多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象［18-20］.

在此基礎(chǔ)上， 本文從混沌Rulkov神經(jīng)元模型出發(fā)， 基于電突觸具有信號(hào)傳輸速度快和不易受外界干擾等特點(diǎn)， 考慮2個(gè)相同Rulkov神經(jīng)元在電耦合情形下的動(dòng)力學(xué)行為， 通過(guò)數(shù)值計(jì)算得到該模型在不同耦合強(qiáng)度下的雙參數(shù)分岔圖， 根據(jù)雙參數(shù)分岔圖分析其分岔模式， 并通過(guò)單參數(shù)分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖驗(yàn)證其通往混沌的路徑， 為進(jìn)一步理解神經(jīng)元集群的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為提供一定的理論依據(jù).

1 模型描述

混沌Rulkov神經(jīng)元模型能模擬生物神經(jīng)元實(shí)際的放電活動(dòng)， 僅通過(guò)2個(gè)變量即可刻畫(huà)神經(jīng)元的動(dòng)力學(xué)行為， 單個(gè)混沌Rulkov神經(jīng)元模型的表達(dá)式為

x（n+1）=α1+x（n）2+y（n），y（n+1）=y（n）-η［x（n）-σ］，（1）

其中n表示離散時(shí)間尺度， x表示神經(jīng)元的跨膜電壓， y表示神經(jīng)元離子通道的門(mén)控離子濃度，" η，α，σ為神經(jīng)元的控制參數(shù)， 滿足0lt;ηlt;1， 且α和σ為O（1）.

在整個(gè)神經(jīng)系統(tǒng)中， 單個(gè)神經(jīng)元可視為一個(gè)非線性動(dòng)力系統(tǒng)， 神經(jīng)元之間耦合可形成神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)， 進(jìn)而可視為一個(gè)復(fù)雜的高維非線性動(dòng)力系統(tǒng). 其中， 2個(gè)神經(jīng)元可構(gòu)成最小的神經(jīng)集群.

研究形式簡(jiǎn)單的神經(jīng)元耦合模型可為分析大規(guī)模神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)提供一定的理論基礎(chǔ). 基于電突觸具有信號(hào)傳遞速度快和傳遞過(guò)程不易受外界影響等特點(diǎn)， 在電耦合情況下考慮2個(gè)混沌Rulkov神經(jīng)元構(gòu)成的簡(jiǎn)單神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型， 其形式為

x1（n+1）=α1+x1（n）2+y1（n）+D［x2（t）-x1（t）］，y1（n+1）=y1（n）-η［x1（t）-σ］，

x2（n+1）=α1+x2（n）2+y2（n）+D［x1（t）-x2（t）］，y2（n+1）=y2（n）-η［x2（t）-σ］，（2）

其中xi（i=1，2）為第i個(gè)神經(jīng)元的跨膜電壓， yi（i=1，2）為第i個(gè)神經(jīng)元的離子通道變化過(guò)程， α決定神經(jīng)元的放電模式， D為2個(gè)神經(jīng)元的電耦合強(qiáng)度.

對(duì)于模型（2）， 可解得其不動(dòng)點(diǎn)（x1，y1，x2，y2）=σ，σ-α1+σ2，σ，σ-α1+σ2， 并且不動(dòng)點(diǎn)位置與耦合強(qiáng)度D無(wú)關(guān). Wang等［11］討論了控制參數(shù)η，α，σ和耦合強(qiáng)度D對(duì)不動(dòng)點(diǎn)穩(wěn)定性的影響. 當(dāng)σ=-0.2， η=0.001， D=0.2時(shí)， 分別取α=1.8，2.712，2.98，4.2， 該模型呈現(xiàn)幾種典型的放電模式， 其相圖和時(shí)間響應(yīng)圖如圖1所示. 其中， 圖1（A），（B）表示耦合Rulkov神經(jīng)元模型處于靜息狀態(tài)， 圖1（C），（D）表示耦合Rulkov神經(jīng)元模型處于方波簇放電狀態(tài)， 圖1（E），（F）表示耦合Rulkov神經(jīng)元模型處于雙方波簇放電狀態(tài)， 圖1（G），（H）表示耦合Rulkov神經(jīng)元模型處于混沌放電狀態(tài).

2 雙參數(shù)分岔分析

由于在神經(jīng)元放電過(guò)程中通常是多個(gè)系統(tǒng)參數(shù)同時(shí)變化， 僅依靠單個(gè)參數(shù)的分岔分析不能反映神經(jīng)元真實(shí)的生理活動(dòng). 因此， 在電耦合情形下， 本文借助雙參數(shù)分岔圖進(jìn)一步研究在不同耦合強(qiáng)度下參數(shù)變化對(duì)耦合Rulkov神經(jīng)元模型的影響.

固定η=0.001， 分別取耦合強(qiáng)度D=0，0.1，0.3，0.5， 并同時(shí)變換參數(shù)σ和α， 通過(guò)數(shù)值計(jì)算得到不同耦合強(qiáng)度下的雙參數(shù)分岔圖， 結(jié)果如圖2所示， 其中不同顏色代表不同的周期放電行為， 黃色代表神經(jīng)元處于靜息狀態(tài)， 綠色代表神經(jīng)元呈現(xiàn)周期1放電， …， 白色代表神經(jīng)元處于大于或等于周期20的放電或混沌狀態(tài). 由圖2（A）可見(jiàn)， 當(dāng)D=0時(shí)， 雙參數(shù)分岔圖關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱. 隨著耦合強(qiáng)度D的增加， 分岔圖的對(duì)稱性逐漸被破壞， 并且綠色區(qū)域的面積逐漸增大， 表明隨著耦合強(qiáng)度的增加， 神經(jīng)元模型呈周期2放電行為的參數(shù)區(qū)域逐漸增大. 同時(shí)， 耦合強(qiáng)度的增加導(dǎo)致出現(xiàn)更高周期放電態(tài)， 使神經(jīng)元模型呈更復(fù)雜的分岔結(jié)構(gòu). 此外， 雙參數(shù)分岔圖不僅給出了神經(jīng)元呈不同放電模式的參數(shù)區(qū)間， 也包含多個(gè)單參數(shù)分岔圖. 由圖2可見(jiàn)： 在（σ，α）∈［0，2］×［0，6］和（σ，α）∈［-2，0］×［-6，0］區(qū)域中， 耦合Rulkov神經(jīng)元模型呈倍周期分岔； 在（σ，α）∈［-2，0］×［0，6］和（σ，α）∈［0，2］×［-6，0］區(qū)域中， 該模型通過(guò)擬周期道路通往混沌； 在白色混沌區(qū)域內(nèi)該模型出現(xiàn)陣發(fā)間歇混沌. 下面通過(guò)單參數(shù)分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖進(jìn)一步驗(yàn)證系統(tǒng)通往混沌的路徑， 并展示不同耦合強(qiáng)度下耦合Rulkov神經(jīng)元模型的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為.

2.1 倍周期分岔通往混沌

由雙參數(shù)分岔分析可知， 當(dāng)耦合強(qiáng)度較小時(shí)， 在（σ，α）∈［0，2］×［0，6］和（σ，α）∈［-2，0］×［-6，0］區(qū)域中， 系統(tǒng)通過(guò)倍周期分岔（逆倍周期分岔）通往混沌. 在離散動(dòng)力系統(tǒng)中， 倍周期分岔是通往混沌的典型路徑. 在分岔過(guò)程中， 不動(dòng)點(diǎn)失去穩(wěn)定性， 依次呈周期2， 周期4， 周期8， …， 周期2n， 經(jīng)周期加倍后系統(tǒng)最終陷入混沌.以σ=0.7為例， 當(dāng)α從0變到5時(shí)， 系統(tǒng)呈倍周期分岔， 圖3為系統(tǒng)在不同耦合強(qiáng)度下的單參數(shù)分岔圖以及最大Lyapunov指數(shù)圖. 當(dāng)D=0時(shí)， 系統(tǒng)經(jīng)由倍周期分岔通往混沌. 由圖3（A）可見(jiàn)， 當(dāng)α=1.588時(shí)， 系統(tǒng)由周期1分岔為周期2， 在α=2.988處周期加倍為周期4. 隨著α的增加， 系統(tǒng)最終進(jìn)入混沌， 其對(duì)應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)圖如圖3（B）所示. 最大Lyapunov指數(shù)（簡(jiǎn)寫(xiě)為L(zhǎng)E）是判別混沌的有效數(shù)值指標(biāo)： 若至少存在一個(gè)Lyapunov指數(shù)為正， 則系統(tǒng)處于混沌狀態(tài). 與圖3（A）對(duì)應(yīng)， 由圖3（B）可見(jiàn)， 系統(tǒng)處于周期時(shí)LElt;0， 處于混沌狀態(tài)時(shí)LEgt;0. 由圖3（C）可見(jiàn)， 當(dāng)D=0.1時(shí)， 系統(tǒng)在α=1.27處由周期1分岔為周期2， 并在α=2.748處直接進(jìn)入混沌狀態(tài).以σ=-0.7為例， 當(dāng)α從-5變到0時(shí)， 系統(tǒng)在不同耦合強(qiáng)度下的單參數(shù)分岔圖以及最大Lyapunov指數(shù)圖如圖4所示. 當(dāng)D=0時(shí)， 系統(tǒng)通過(guò)逆倍周期分岔通往混沌. 由圖4（A）可見(jiàn)， 當(dāng)α=-1.585時(shí)， 系統(tǒng)由周期1分岔為周期2. 隨著α逐漸減小， 系統(tǒng)依次呈周期4， 周期8， …， 周期2n， 最終系統(tǒng)進(jìn)入混沌， 其對(duì)應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)圖如圖4（B）所示. 由圖4（C）可見(jiàn)， 當(dāng)D=0.3時(shí)， 系統(tǒng)在α=-0.635處由周期1分岔為周期2， 并在α=-2.917 5處周期加倍為周期4后陷入混沌， 其對(duì)應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)圖如圖4（D）所示. 因此， 隨著耦合強(qiáng)度的增加， 系統(tǒng)呈更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為.

2.2 擬周期道路通往混沌

在（σ，α）∈［0，2］×［-6，0］和（σ，α）∈［-2，0］×［0，6］區(qū)域中， 系統(tǒng)經(jīng)由擬周期道路通往混沌. 擬周期道路也是一種典型的通往混沌的道路， 此時(shí)系統(tǒng)發(fā)生Neimark-Sacker分岔使不動(dòng)點(diǎn)失去穩(wěn)定性， 變?yōu)闇?zhǔn)周期軌道， 進(jìn)而軌道破裂產(chǎn)生混沌.

以σ=-1為例， 圖5為系統(tǒng)在不同耦合強(qiáng)度下的單參數(shù)分岔圖以及最大Lyapunov指數(shù)圖. 當(dāng)D=0時(shí)， 系統(tǒng)呈典型的擬周期道路通往混沌. 由圖5（A）可見(jiàn)， 當(dāng)αlt;1.995時(shí)， 系統(tǒng)存在唯一一個(gè)不動(dòng)點(diǎn). 由圖5（B）可見(jiàn)： 當(dāng)α∈（1.995，3.065）時(shí)， 最大Lyapunov指數(shù)值在0處附近浮動(dòng)， 對(duì)應(yīng)系統(tǒng)呈擬周期狀態(tài)； 當(dāng)αgt;3.065時(shí)， 系統(tǒng)陷入混沌. 隨著耦合強(qiáng)度的增加， 呈周期解和擬周期解交替變化的參數(shù)區(qū)間不斷減小. 由圖5（C），（D）可見(jiàn)， 當(dāng)D=0.1時(shí)， 系統(tǒng)在α=1.995處由周期1直接進(jìn)入擬周期狀態(tài)， 并在α∈（1.995，3.032）時(shí)呈周期解和擬周期解交替變化. 由圖5（E）～（H）可見(jiàn)， 當(dāng)D=0.3，0.5時(shí)， 對(duì)應(yīng)周期解和擬周期解交替變化的范圍分別減小為（1.995，2.725）和（1.995，2.48）. 因此隨著耦合強(qiáng)度的增加， 系統(tǒng)呈擬周期狀態(tài)的范圍減小， 呈混沌狀態(tài)的范圍不斷擴(kuò)大.

2.3 陣發(fā)混沌

陣發(fā)性道路也是常見(jiàn)的通往混沌的道路. 陣發(fā)混沌現(xiàn)象稱為間歇混沌， 其主要表現(xiàn)為混沌狀態(tài)和周期狀態(tài)隨機(jī)交替出現(xiàn). 間歇混沌通常有5種類型［21］： 由鞍結(jié)分岔導(dǎo)致的PM-Ⅰ型間歇混沌； 由亞臨界Neimark-Sacker分岔導(dǎo)致的PM-Ⅱ型間歇混沌； 由亞臨界Flip分岔導(dǎo)致的PM-Ⅲ型間歇混沌； 與混沌吸引子個(gè)數(shù)及穩(wěn)定性有關(guān)的On-off和In-off型間歇混沌； 與混沌吸引子擴(kuò)大、 縮小及合并有關(guān)的誘發(fā)激變間歇混沌.

在耦合Rulkov神經(jīng)元模型對(duì)應(yīng)的雙參數(shù)分岔圖中， 可多次觀察到陣發(fā)性道路通往混沌. 圖6為σ=0.5時(shí)系統(tǒng)（2）在不同耦合強(qiáng)度下的單參數(shù)分岔圖及最大Lyapunov指數(shù)圖. 由圖6（A）可見(jiàn)： 當(dāng)α=4.313 29時(shí)， 系統(tǒng)出現(xiàn)PM-Ⅰ型間歇混沌， 其對(duì)應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)值突然下降; 當(dāng)α=4.313 350gt;4.313 29時(shí)， 系統(tǒng)處于周期運(yùn)動(dòng); 當(dāng)α=4.313 281lt;4.313 29時(shí)， 系統(tǒng)由規(guī)則的周期放電狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椴灰?guī)則的混沌放電狀態(tài)， 周期3吸引子經(jīng)由陣發(fā)性道路變?yōu)榛煦? 此外， 時(shí)間響應(yīng)序列圖可更直觀展示陣發(fā)混沌現(xiàn)象， 結(jié)果如圖7所示. 由圖7（A）可見(jiàn)， 隨著時(shí)間的變化， 代表周期運(yùn)動(dòng)的層流態(tài)隨機(jī)被代表混沌運(yùn)動(dòng)的爆發(fā)態(tài)打破. 由圖7（B）可見(jiàn)， 分岔后系統(tǒng)經(jīng)歷短暫的混沌狀態(tài)， 最終呈周期3的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

在耦合Rulkov神經(jīng)元模型中也出現(xiàn)了誘發(fā)激變導(dǎo)致的間歇混沌. 由圖6（A）可見(jiàn)， 當(dāng)α=6.313時(shí)， 混沌吸引子所在范圍突然變大， 吸引子發(fā)生內(nèi)部激變導(dǎo)致混沌吸引子尺寸擴(kuò)大， 從而產(chǎn)生陣發(fā)混沌. 激變前后的吸引子如圖8所示. 由圖8（A）可見(jiàn)， 當(dāng)α=6.308lt;6.313時(shí)， 系統(tǒng)存在3個(gè)混沌吸引子. 由圖8（B）可見(jiàn)， 當(dāng)α=6.338gt;6.313時(shí)， 混沌吸引子尺寸突然變大. 類似地， 由圖4（C）可見(jiàn)， 當(dāng)D=0.3時(shí)， 在α=-3.497 5附近， 2片混沌吸引子所在范圍突然擴(kuò)大， 也可觀察到由吸引子內(nèi)部激變產(chǎn)生的陣發(fā)混沌現(xiàn)象.陣發(fā)混沌現(xiàn)象在神經(jīng)元的實(shí)際生理活動(dòng)中表明耦合神經(jīng)元系統(tǒng)具有自身調(diào)節(jié)能力， 可隨機(jī)在混沌和周期間變換. 因此， 耦合Rulkov神經(jīng)元系統(tǒng)不能維持長(zhǎng)期穩(wěn)定.

2.4 伴隨混沌的加周期現(xiàn)象

圖9為系統(tǒng)（2）在不同耦合強(qiáng)度下的雙參數(shù)分岔圖及單參數(shù)分岔圖. 由圖9（A）可見(jiàn)， 當(dāng)D=0， 參數(shù)σ和α同時(shí)變化時(shí)， 白色混沌區(qū)域?qū)⒉噬闹芷趨^(qū)域分隔. 固定參數(shù)α， 當(dāng)σ逐漸減小時(shí)， 耦合Rulkov神經(jīng)元模型依次呈周期2放電， 混沌， 周期3放電， 混沌， …， 即穩(wěn)定的k周期結(jié)束后隨即出現(xiàn)一個(gè)混沌區(qū)域， 之后出現(xiàn)（k+1）周期， 并在混沌區(qū)域中也可觀察到一些周期窗口［22］. 圖9（C）為對(duì)應(yīng)圖9（A）的單參數(shù)分岔圖." 由圖9（C）可見(jiàn)， 當(dāng)α=8.5時(shí)可觀察到明顯的加周期分岔現(xiàn)象.

由圖9（B），（D）可見(jiàn)， 當(dāng)D=0.1， α=8.5， σ逐漸減小時(shí)， 隨著耦合強(qiáng)度的增加， 系統(tǒng)呈更復(fù)雜的分岔現(xiàn)象.

綜上所述， 本文從混沌的Rulkov神經(jīng)元模型出發(fā)， 基于電突觸具有信號(hào)傳輸速度快和不易受外界干擾等特點(diǎn)， 研究了相同Rulkov神經(jīng)元在電耦合情形下的動(dòng)力學(xué)行為. 首先， 根據(jù)動(dòng)力學(xué)分析求解耦合Rulkov模型的不動(dòng)點(diǎn)， 并給出幾種典型的放電模式. 其次， 由于在正常神經(jīng)元的生理活動(dòng)中通常是多個(gè)參數(shù)同時(shí)變化， 僅分析單個(gè)參數(shù)的變化不能全面理解神經(jīng)元的放電活動(dòng). 因此， 通過(guò)數(shù)值計(jì)算給出該模型在不同耦合強(qiáng)度下的雙參數(shù)分岔圖， 并由此分析該模型的分岔模式和復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為. 研究表明， 耦合Rulkov神經(jīng)元模型通過(guò)3條路徑通往混沌： 倍周期分岔道路、 擬周期道路以及陣發(fā)混沌道路. 同時(shí)該模型具有伴隨混沌的加周期分岔現(xiàn)象. 此外， 本文借助單參數(shù)分岔圖以及最大Lyapunov指數(shù)圖驗(yàn)證了該模型通往混沌的道路. 由以上分析可知， 隨著耦合強(qiáng)度的增加， 耦合Rulkov神經(jīng)元模型在電耦合情形下呈更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為.

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