求解三項(xiàng)式的展開式系數(shù)問題的兩個(gè)“妙招”

形如（a+b+c）n的三項(xiàng)式的展開式系數(shù)問題通常較為復(fù)雜，其中涉及的項(xiàng)數(shù)較多，且運(yùn)算量較大，同學(xué)們經(jīng)常在解題時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤.下面筆者介紹兩種解答三項(xiàng)式的展開式系數(shù)問題的兩個(gè)“妙招”.

一、巧用二項(xiàng)式定理

二項(xiàng)式定理：（a + b） n = C0 nan + C1 nan - 1 b + C2 nan - 2 b 2 + …+ Cr nan - r b r +…+ Cn nb n ，其二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為 Tr + 1 = Cr nan - r b r （r = 0，1，2，…，n） .在求解三項(xiàng)式的展開式系數(shù)問題時(shí)，通常需將三項(xiàng)式中的兩項(xiàng)看作一個(gè)整體，如 （a + b + c） n =[（a + b）+ c] n ，把三項(xiàng)式視為二項(xiàng)式，以利用二項(xiàng)式定理將其展開，根據(jù)其通項(xiàng)公式來求展開式的系數(shù).

例1

解：

先將 x 2 + x 視為一個(gè)整體，利用二項(xiàng)式定理將 [（x ] 2 + x）+ y 5 展開，根據(jù)其通項(xiàng)公式求得Tr + 1 = Cr 5（x 2 + x） 5 - r yr ；然后利用二項(xiàng)式定理將 （x 2 + x） 3 展開，根據(jù)其通項(xiàng)公式求得 Tt + 1 = Ct 3 x 6 - t ；再令t = 1，即可求得 x 5 y2 的系數(shù).

例2

解：

由于 （ x 2 + 1 x + 2） 5 =[（ x 2 + 1 x ）+ 2] 5 ，所以分別將 [（ x 2 + 1 x ）+ 2] 5 、（ x 2 + 1 x ） 5 - k 視為二項(xiàng)式，利用二項(xiàng)式定理求得其通項(xiàng).然后根據(jù)各個(gè)變量的次數(shù)均為正整數(shù)，分別令 k = 1、r = 2 ，k = 3、r = 1 ，k = 5、r = 0 ，從而求得常數(shù)項(xiàng).

二、妙用乘法計(jì)數(shù)原理

利用乘法計(jì)數(shù)原理求解三項(xiàng)式的展開式系數(shù)問題，需先把 （a + b + c） n 看作 n 個(gè) （a + b + c） 之積，然后在 n 個(gè) （a + b + c） 中選出 p 個(gè)因式從中抽取 a ；再在剩下的 n - p 個(gè) （a + b + c） 中選出 q 個(gè)因式從中抽取 b ；最后在 n - p - q 個(gè)（a + b + c）中選出 r 個(gè)因式從中抽取 c ，從而得出 a p b q c r 的系數(shù)為Cp nCq n - pCr n - p - q = n！ p！q！r！ （p + q + r = n） .

以例1為例.

解：

一般地，需要幾個(gè)x，就從幾個(gè)因式中抽取幾個(gè)x，需要幾個(gè)y就從幾個(gè)因式中抽取幾個(gè)y，最后將抽取的變量和組合數(shù)相乘，即可得到對(duì)應(yīng)項(xiàng)及其系數(shù).

以例2為例.

解：

解答本題需分三種情況進(jìn)行討論，（1）從5個(gè)因式中全部取 2 相乘；（2）從 5 個(gè)因式中取 1 個(gè) x 2 、1 個(gè) 1 x 、3個(gè) 2 相乘；（3）從5個(gè)因式中取2個(gè) x 2 、2個(gè) 1 x 、1 個(gè) 2 相乘，然后運(yùn)用乘法計(jì)數(shù)原理求解.

例3

解

一般地，（a + b + c） n = Cr nCs ran - r b r - s c s 的中 Cr n 表示在 n 個(gè)因式 （a + b + c） 中選出 n - r 個(gè)因式從中抽取 a ，Cs r 表示在余下的 r 個(gè)因式 （a + b + c） 中選出 s 個(gè)因式從中抽取 c ，再?gòu)挠嘞碌?r - s 個(gè)因式 （a + b + c） 中抽取 b .

例4

解

我們也可以把（a + b + c） 3 看作（a + b + c）（a + b + c） 2 ， 然后利用多項(xiàng)式的乘法公式得到 a?2bc + b?2ac +c?2ab ，那么含 a2 c 的項(xiàng)可以由 a?2ac + c?a2 得到，所以abc的系數(shù)為 6 ，a2 c 的系數(shù)為 3 .

對(duì)于三項(xiàng)式的展開式系數(shù)問題，常規(guī)的解法是利用二項(xiàng)式定理將其展開，但是過程較為復(fù)雜，且容易出錯(cuò).而利用乘法計(jì)數(shù)原理，可使問題巧妙獲解，但同學(xué)們需轉(zhuǎn)換解題的思路，靈活運(yùn)用乘法計(jì)數(shù)原理以及組合知識(shí)來解題.

（作者單位：江蘇省如東縣掘港高級(jí)中學(xué)）