科學(xué)類比巧歸納 邏輯思考重推理——小學(xué)數(shù)學(xué)計算中的邏輯推理

福建省廈門市湖里區(qū)教師進修學(xué)校第二附屬小學(xué) 林偉路

數(shù)學(xué)計算中的邏輯推理又稱數(shù)字符號化的邏輯推演法，它是從不加證明的公理（基本運算定律）和基本對象出發(fā)，按照邏輯規(guī)則推導(dǎo)出計算結(jié)果的思維過程。推理能力是義務(wù)教育數(shù)學(xué)新課標(biāo)提出的十個核心素養(yǎng)之一，它包括合情推理和演繹推理。其中，合情推理是從已有事實出發(fā)，依據(jù)已有數(shù)學(xué)知識經(jīng)驗或數(shù)學(xué)直覺等，通過歸納或類比等推斷某些結(jié)論的過程，包括類比推理和歸納推理，歸納推理又包括完全歸納推理和不完全歸納推理。演繹推理是從已有事實和確定的公理出發(fā)，按照邏輯推理的法則進行證明和計算的過程。在小學(xué)數(shù)學(xué)計算教學(xué)中，合情推理是為了讓學(xué)生理解算理，而演繹推理則是運用算理和算法進行計算。在解決實際問題的過程中，兩種推理功能雖不同，但相輔相成，合情推理用于探索新思路、歸納新發(fā)現(xiàn)，演繹推理則用于結(jié)論的論證和應(yīng)用。下文結(jié)合人教版計算課例的教學(xué)談了幾點思考，以期拋磚引玉。

一、應(yīng)用歸納推理理解運算定律

歸納推理是指由某個事物的部分特征，推出該事物的全部具有這些特征，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理。根據(jù)所提供事物對象的范圍，歸納推理又分為完全歸納和不完全歸納，完全歸納提供了該類事物的全部對象，而不完全歸納僅僅提供某類事物的部分對象。小學(xué)數(shù)學(xué)計算教學(xué)中的大部分運算定律的推理采用的是不完全歸納推理的方法。歸納推理在小學(xué)運算定律、數(shù)量關(guān)系、計算公式與性質(zhì)等教學(xué)中都有運用，如加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律和乘法分配律等運算定律以及小數(shù)的性質(zhì)、積的變化規(guī)律、商的變化規(guī)律、分數(shù)的基本性質(zhì)等內(nèi)容都有明顯的規(guī)律性，學(xué)生已有相關(guān)的知識經(jīng)驗，都可以運用歸納推理來學(xué)習(xí)新知識。在實際教學(xué)中，教師可以創(chuàng)設(shè)有效的學(xué)習(xí)情境，讓學(xué)生在情境中體驗觀察、猜想、對比、抽象和歸納的過程，感受規(guī)律的存在，再引導(dǎo)學(xué)生通過舉例驗證等方式歸納運算定律，并注意總結(jié)用歸納法獲得知識的方法與步驟。比如，加法交換律是學(xué)生學(xué)習(xí)定律的開始，這一節(jié)課的教學(xué)應(yīng)該以探究定律和歸納推理的過程為教學(xué)的重點。在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)為學(xué)生設(shè)計交換加數(shù)位置和不變的問題情境，讓學(xué)生通過動手列式計算，觀察并猜測“和不變”的特征。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生理解單純由幾道題是不能直接概括出規(guī)律的，還要多舉例驗證，通過舉例驗證后歸納概括出的結(jié)論才具有一定的科學(xué)性。當(dāng)學(xué)生歸納出規(guī)律后，教師還要引導(dǎo)學(xué)生回顧剛才發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，為學(xué)生今后運用歸納推理探索與發(fā)現(xiàn)規(guī)律奠定基礎(chǔ)。

圖形的周長、面積和體積計算公式以及單價、數(shù)量、總價等數(shù)量關(guān)系的推導(dǎo)，在小學(xué)階段是不需要用演繹推理的論證方式進行教學(xué)的，主要采用歸納推理的教學(xué)方法。例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)長方形的面積時，教師創(chuàng)設(shè)長方形長和寬變化引起長方形大小變化的動態(tài)情境，激勵學(xué)生勇于猜想長方形的面積與什么有關(guān)、有什么聯(lián)系。接著再準(zhǔn)備幾個1 平方厘米的小正方形卡紙，讓學(xué)生經(jīng)歷動手擺拼成長方形，填寫長、寬和面積的變化表，觀察歸納長方形的面積與長、寬之間的關(guān)系，并通過直觀演示讓學(xué)生理解“長方形面積=長×寬”的算理。通過這樣的學(xué)習(xí)活動，學(xué)生在以后探索計算其他圖形面積時就會大膽猜想，而且能靈活運用歸納推理發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，概括總結(jié)計算公式規(guī)律，從而提高學(xué)生的運算能力。

二、借助類比推理探索創(chuàng)新規(guī)律

類比推理是通過對兩個研究事物進行比較，依據(jù)它們某個方面（屬性、關(guān)系、特征、形式等）的相同或相似之處，推想在其他方面它們也可能有相同或相似之處的一種推理方法。類比推理所得到的結(jié)論是通過對兩個研究事物的觀察比較和分析聯(lián)想以形成猜想來完成的，是一種由特殊到特殊的推理方法。學(xué)習(xí)和運用類比法推理可以使我們的觀察力、思考力和推理能力得到很好的鍛煉。在各種邏輯推理方法中，類比思想方法是富有創(chuàng)造性的一種方法。大數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾經(jīng)說過：在數(shù)學(xué)世界中，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和類比。由此可見，類比推理的滲透對于學(xué)生的知識遷移與系統(tǒng)建構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力有著至關(guān)重要的作用。

數(shù)學(xué)計算教學(xué)中的類比推理無所不在，萬以內(nèi)數(shù)的認識與大數(shù)的認識、分數(shù)的基本性質(zhì)與商不變的性質(zhì)、小數(shù)乘法與整數(shù)乘法、分數(shù)與百分數(shù)、整數(shù)四則運算定律推廣到小數(shù)等都有可以類比之處。在類比中讓學(xué)生體驗知識的內(nèi)在聯(lián)系，感悟發(fā)現(xiàn)知識的形成過程和方法。如“分數(shù)的基本性質(zhì)”是在學(xué)生學(xué)習(xí)了商不變性質(zhì)和分數(shù)與除法關(guān)系的基礎(chǔ)上進行學(xué)習(xí)的，這是培養(yǎng)學(xué)生類比推理能力的最好教材內(nèi)容。教師在課堂上先對除法中商不變的規(guī)律進行了復(fù)習(xí)，而后又復(fù)習(xí)了分數(shù)與除法之間的關(guān)系，這為學(xué)生建立起分數(shù)基本性質(zhì)與除法商不變規(guī)律之間的類比聯(lián)系奠定了基礎(chǔ)。接著，教師鼓勵學(xué)生根據(jù)分數(shù)與除法的密切關(guān)系進行大膽的猜想，并借助生動的“分餅故事”，為學(xué)生提供了進行操作的素材，讓學(xué)生經(jīng)歷涂色和折紙，感受2/4、3/6、4/8 三個分數(shù)的分子與分母雖不同，但分數(shù)的大小相等。緊接著，教師進一步引導(dǎo)學(xué)生觀察研究三個分數(shù)的分子和分母有什么變化規(guī)律，初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，教師又引導(dǎo)學(xué)生通過舉例驗證類比推理出分數(shù)的基本性質(zhì)。在總結(jié)環(huán)節(jié)，教師引領(lǐng)學(xué)生回顧本節(jié)課是如何探究分數(shù)基本性質(zhì)的學(xué)習(xí)過程，總結(jié)類比推理的步驟和方法，為學(xué)生今后運用類比推理探究新知打下了堅實基礎(chǔ)。這不僅有助于學(xué)生對已學(xué)知識進行縱向比較，同時也培養(yǎng)了學(xué)生類比推理的能力，在觀察、猜想、操作、驗證和歸納的過程中，學(xué)生探索能力、科學(xué)精神和創(chuàng)新意識都得到了發(fā)展。通過在教學(xué)過程中滲透類比思想，學(xué)生可以較為容易地從已知的事實出發(fā)，按照確定的規(guī)則進行邏輯推理、證明和計算，經(jīng)歷從一般到特殊的推理過程，從而發(fā)展演繹推理。同時，從已有的事實和經(jīng)驗出發(fā)，通過歸納和類比等形式進行推斷，以獲得一些可能性結(jié)論，經(jīng)歷從特殊到一般的推理過程，從而培養(yǎng)合情推理。

三、利用演繹推理導(dǎo)出一般公理

演繹推理就是從公理出發(fā)，經(jīng)過推導(dǎo)演繹得出具體的個別結(jié)論的過程。它的重要意義在于，演繹推理的邏輯形式對人的思維保持嚴謹性與一貫性有著不可替代的作用。演繹推理在小學(xué)階段絕大部分的運算定律、面積、體積和數(shù)量關(guān)系等計算公式中有著廣泛運用，如周長=（長＋寬）×2=長×2 ＋寬×2、125×88 的豎式計算和簡便運算125×88=125×80 ＋125×8 等，都是運用了乘法分配律來進行演繹推理。再如運用加法交換律、加法結(jié)合律或者乘法交換律、乘法結(jié)合律、連除的性質(zhì)等運算定律來進行簡便計算，使得等式兩邊大小仍然相等，也是利用了演繹推理的思考。解方程時，采用等式的性質(zhì)1、等式的性質(zhì)2 或者加減乘除四則運算各部分之間的關(guān)系來解題，也是這些公式或性質(zhì)在具體問題中演繹推理的應(yīng)用。

演繹推理在數(shù)學(xué)邏輯推理中還有特別的應(yīng)用，還能幫助學(xué)生感悟抽象的極限思想。在教學(xué)“循環(huán)小數(shù)”教學(xué)中，教師除了重視學(xué)生的自主探究過程，重視對循環(huán)小數(shù)相關(guān)概念的教學(xué)外，還要重視讓學(xué)生體會極限的思想。如0.999……=1，對嗎？為什么？引導(dǎo)學(xué)生分析理解1-0.9=0.1，1-0.99=0.01，1-0.999=0.001，1-0.9999=0.0001，1-0.9999……=0，仔細觀察隨著小數(shù)部分9 的個數(shù)不斷增多，與1 的差距逐漸減小，而0.999……=1 這一問題是極限思想解決問題的典型案例，學(xué)生解決問題的過程就是對極限思想的感悟過程。

歸納推理、類比推理和演繹推理三者構(gòu)成了計算教學(xué)中的小學(xué)數(shù)學(xué)邏輯推理能力。計算中的邏輯推理能力通俗地說是指人們通過敏銳的數(shù)據(jù)分析，并以此為主要依據(jù)，快速地在腦中搜索已掌握計算中的數(shù)與式、方程與不等式等內(nèi)容的概念、性質(zhì)、運算法則以及解法，并在短時間內(nèi)找到相應(yīng)的運算策略推理出正確結(jié)果。由于學(xué)生的思維尚處在具體形象思維階段，學(xué)生的年齡和心理特征決定了小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的邏輯推理以合情推理為主，通過合情推理理解算理，幫助學(xué)生了解算法的本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。計算是數(shù)與代數(shù)的主要內(nèi)容和主線，計算本身是嚴格的演繹推理，它的每一步都是根據(jù)運算律或運算法則進行的，通過計算教學(xué)中學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)，能有效提升學(xué)生的運算能力與推理能力。