融合算術(shù)與代數(shù)，理解等號的意義

楊匯

［摘 要］《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》強調(diào)了 “數(shù)與代數(shù)”的一致性。深刻理解等號的運算性和關(guān)系性，將等號的含義從單純的“結(jié)果相等”擴展為“具有等價性”，是融合算術(shù)與代數(shù)、培養(yǎng)關(guān)系性思維的關(guān)鍵。文章采用莫利納和安布羅斯提出的等式思維方式理論框架，從學生的解題結(jié)果和解題思路兩個角度，深入分析學生對等號的理解情況。研究結(jié)果表明，學生對等號的理解可分為四個階段，“算術(shù)與代數(shù)”融合的學習活動有助于學生更全面地領(lǐng)會等號的關(guān)系性。

［關(guān)鍵詞］等號；代數(shù)；數(shù)與代數(shù)

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）26-0023-04

“數(shù)與代數(shù)”是小學階段數(shù)學學習的重要內(nèi)容?！读x務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）強調(diào)了 “數(shù)與代數(shù)”的一致性，具體內(nèi)容包括理解四則運算的意義和理解等式的基本性質(zhì)。其中，“理解等式的基本性質(zhì)”的具體要求包括“了解符號‘=’的含義”和“能在具體問題中感受等式的基本性質(zhì)”，從而體會等號表示等量關(guān)系的意義。這一教育標準相較于《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》新增了“例17：等式的基本性質(zhì)”，強調(diào)等號不代表運算的遞推，也不代表運算的結(jié)果，而應(yīng)該理解為等號兩邊的量相等。

在小學階段，等號廣泛應(yīng)用于算式中，但學生常常誤認為等號只表示“計算的結(jié)果是……”。例如，“3+4=□”這類問題中，學生往往將等號視為輸出結(jié)果，容易在□中寫入“7”。而在遇到數(shù)字在前、式子在后的題目時，如“4=9-□”， 學生可能會誤以為需要從右向左計算。實際上，這里需要將等號視為表示等價關(guān)系的符號，并形成平衡的觀念。

學者倫威克指出，學生將等號看作一個操作符號的觀念往往源自早期的算術(shù)訓練，在教學實施過程中融合算術(shù)與代數(shù)可以幫助學生更好地理解“等價”的概念。然而，研究者基蘭和科利斯認為，學生認知的局限性導致他們對符號“關(guān)系性”的理解受限，但對等號性質(zhì)的理解會隨著年齡增長而提升。因此，本研究旨在《課程標準》的引領(lǐng)下，探討以下問題：

（1）分析學生在解決不同類型等式時的表現(xiàn)，以了解學生對等號意義的理解處于何種階段；

（2）研究是否可以通過改變教學方式來促進不同階段學生對等號意義的理解。

本研究的主題集中在對等號的理解上，目標是了解學生在編寫算式時，是僅將等號視為運算符號，還是能夠?qū)⒌忍栆暈榈葍r關(guān)系的符號，并能同時觀察、比較等號兩邊的表達式。

一、研究方法

1.研究工具

結(jié)合莫利納和安布羅斯編制的解決缺少項的等式思維方式理論框架，通過分析學生解決“a±b=c，c=a±b以及a±b=c±d”這些不同形式的等式的方式，把學生對等號意義的理解分為以下階段（見表1）。

2.分析框架

結(jié)合一年級學生的運算能力，在本研究的分析框架中，筆者將以學生具體的解題思路作為考查學生對等號意義的理解程度的一個重要方面，并從下面兩個方面展開：（1）解題結(jié)果（記為“R”），是指計算結(jié)果的正確率；（2）解題思路（記為“T”），指向?qū)W生對不同形式等式的思考過程。（見表2）

3.研究框架

本研究隨機選取了某學校一年級學生40名，主要采用調(diào)查法和個案研究法進行研究，先從學生的解題結(jié)果、解題思路兩個方面進行分析，劃分出學生對理解等號意義的四個階段；再根據(jù)學生“理解等號意義”的階段選出個案進行深入研究，具體而言，研究關(guān)注處于運算階段的學生和處于不穩(wěn)定階段的學生，并通過個案研究的方式探究他們對等號意義的理解是否能夠得到發(fā)展。

二、調(diào)查分析

本研究隨機選擇一年級學生40名，要求他們獨立作答。對收回40份測試結(jié)果的分析如下（見表3）。

1.質(zhì)性分析：學生對等號的理解現(xiàn)狀

正如表2所示，本研究的分析框架中的每個方面都有具體的指標。R的指標主要是考查學生計算是否正確；而在T方面，基于學生解算式時的思路，分析學生對等號意義的理解所處階段。以下是針對這兩個方面所得出的學生對等號理解的現(xiàn)狀分析。

（1）關(guān)于R（解題結(jié)果）的分析

從解題結(jié)果來看，“3+5=□”和“□=5+2”是學生常常接觸的題，所有學生都能寫出正確答案；對于“2=□-7”這道題，學生給出了9、5兩種答案，解答正確的只有14人；對于“13-6=□+5”這道題，學生給出了7、1、2三種答案，解答正確的只有5人，其中27人填寫7；對于“5+□=9+4”這道題，學生給出的答案有4、13、8，解答正確的只有9人。5道題都答對的只有5人。

（2）關(guān)于T（解題思路）的分析

為更好地了解學生的解題思路，筆者對學生進行了單獨訪談。

①對“3+5=□”和“□=5+2”解題思路的分析

“3+5=□”和“□=5+2”這兩道題的正確率是100%，所有學生都認為“3+5=□”就是把3與5合在一起，所以□里填8。對于“□=5+2”， 學生的理解是把2和5合在一起，從右往左計算。學生非常熟悉這兩種類型的題，根據(jù)他們的解題思路，可以判斷出所有學生都已經(jīng)達到T（解題思路）中的第2層次指標“認為等號就是從左到右或者從右到左計算的符號”，對等號意義的理解已經(jīng)達到運算階段。

②對“2=□-7”和“13-6=□+5”解題思路的分析

對于“2=□-7”，結(jié)果填5的學生，他們認為7減5等于2，這種類型的算式就是從右往左計算。有14名學生認為等號就是表示兩邊同樣多，顯然，他們知道等號的等價性質(zhì)。

③對于“13-6=□+5”解題思路的分析

對于“13-6=□+5”，認為答案是7的學生覺得13減6等于7，當筆者追問“+5”是什么意思時，他們認為“+5”是之后需要再添加的。認為答案是1的學生將等式右邊的表達式理解為6可以分成幾和5。由此可見，大部分學生還沒有理解等號的等價性質(zhì)，對等號的理解僅僅停留在運算階段。他們覺得等式就是一堆數(shù)字和符號，只要在等號的另一邊寫出結(jié)果就可以了。

④對“5+□=9+4”解題思路的分析

“5+□=9+4”這道題的正確率非常低，15%的學生都認為□里應(yīng)該填4，他們認為5加4等于9，但是不清楚后面的“+4”是什么意思；62.5%的學生認為答案是13，是從右往左計算，但不清楚“5+”是什么意思。

5道題目都答對的5名學生在計算時會先算出等號一邊的結(jié)果，再寫出另一邊方框中的數(shù)字，將等號兩邊的表達式看作一個整體，能理解等號是表示等價的符號，對等號的理解處于關(guān)系階段。其中一名學生發(fā)現(xiàn)在算式“5+□=9+4”中，等號左邊的5比右邊的4多1，要想讓等號兩邊同樣多，□里的數(shù)要比9少1。另一名學生一邊說一邊用箭頭將算式兩邊的5和4連接起來，并在箭頭上方寫上“-1”，同時將9和“□”連起來，于是得到□里的數(shù)應(yīng)該比9少1，填8。這兩名學生不僅清楚等號是表示等價的符號，還能同時觀察、比較等號兩邊的表達式，運用等價與抵消的方法，他們對等號的理解處于完全關(guān)系階段。

2.量化分析：學生理解等號的四個階段

在對測試情況進行量化分析時，也可以表2中兩個方面的每個指標為依據(jù)。學生在解題結(jié)果方面答對幾題，就得幾分；學生在解題思路方面提到了與第幾個指標類似的內(nèi)容，就可得到幾分。因此，學生在每一個方面分別都可得到0～5分，兩個方面加起來，就可能得到0～10分。

經(jīng)過量化處理后，在40份樣本中，得分最高為10分，最低為4分，中位數(shù)是4分。表4是一年級學生在兩個方面的得分及總分的平均值。

結(jié)合表1與表2，根據(jù)學生的得分情況，可對學生理解等號的階段進行劃分?？偡质?0分的處于完全關(guān)系階段；總分在8～9分的處于關(guān)系階段；總分在5～7分的處于不穩(wěn)定階段；總分為4分的處于運算階段。（見表5）

同時，借助SPSS軟件對學生關(guān)于解題結(jié)果、解題思路這兩個方面的得分做相關(guān)性分析，可以得到：R與T之間在0.01水平上顯著相關(guān)。

3.個案分析：理解等號的關(guān)系性

本個案研究分兩次進行，第一次借助數(shù)學實驗課“數(shù)字天平”，幫助學生構(gòu)建初步的平衡表象，建立平衡和等號的關(guān)系，擴大對等號意義的理解；第二次檢驗教學結(jié)果，通過解答“a±b=c±d”類型的算式，檢驗學生能否通過合適的教學方式理解等號的關(guān)系性。個案選取處于運算階段的學生a和處于不穩(wěn)定階段的學生b。

（1）從運算階段發(fā)展到關(guān)系階段的個案

學生a對等號的理解處于運算階段，對“a±b=c±d”類型的算式仍然會用從左往右或者從右往左計算的方式來解題，認為等號就是表示結(jié)果的符號。

為檢驗學生a是否真正理解等號的關(guān)系性，筆者選擇用題目“9+△=□+4，△、□分別有哪些可能？”檢驗學生的學習成果。學生a在思考片刻后得出答案（如圖1）。

學生解釋：先確定左邊可以等于幾，想9加3等于12，右邊也要等于12，也就是想幾加4等于12，再繼續(xù)這樣想，只要等號兩邊同樣多就可以了。

可見，學生a在思考“9+△=□+4”時沒有借助數(shù)字天平，還是能很清晰地表述思考過程，說明他能理解等號是一種等價符號，并且能運用“等號兩邊同樣多”去解答。

（2）從不穩(wěn)定階段發(fā)展到完全關(guān)系階段的個案

學生b在教學前處于理解等號的不穩(wěn)定階段，在計算“2=□-7”時會正確讀2等于幾減7，但是對等號關(guān)系性的理解還不透徹。在教學“數(shù)字天平”之后，筆者認為該學生對等號的理解應(yīng)該能達到關(guān)系階段，于是同樣用“9+△=□+4，△、□分別有哪些可能？”檢驗學生b的學習成果。學生b給出如下答案（如圖2）。

學生b：可以想9加0等于9，右邊也要和這個9相等，要想幾加4等于9；接著讓左邊的數(shù)一個一個多起來，右邊的數(shù)也跟著一個一個多起來。

學生b：我發(fā)現(xiàn)，□里的數(shù)總是比△里的數(shù)多5。

師：為什么總會多5呢？

學生b：因為左邊的9比右邊的4多5，要保持平衡，右邊□里的數(shù)就要比左邊△里的數(shù)多5。

從學生b的表述可以發(fā)現(xiàn)，他不僅能理解“式=式”，還能使用等價與抵消的思想，對等號的理解已經(jīng)處于完全關(guān)系階段。

三、研究結(jié)論與建議

1.研究結(jié)論

（1）學生理解等號的關(guān)系性存在困難

根據(jù)測試結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，在解決“c=a±b、a±b=c±d”這種部分數(shù)未知的非典型算式時，學生會將等號僅僅理解為輸出結(jié)果的符號，很難理解“等號兩邊同樣多”的道理?？梢姡蟛糠謱W生認為等號只是“輸出結(jié)果的符號”，對等號意義的理解停留在運算階段，認知存在局限性。

（2）學生對等號的理解存在四個階段

前文提到，學生對等號的理解可劃分為運算階段、不穩(wěn)定階段、關(guān)系階段和完全關(guān)系階段四個階段。在運算階段，學生將等號視為操作符號，用于執(zhí)行數(shù)學運算。在不穩(wěn)定階段，學生明白等號兩邊應(yīng)該擁有同樣多的內(nèi)容，但對等號的等價性理解尚不深刻。在關(guān)系階段，學生能夠正確理解等號表示的是數(shù)學關(guān)系，將等式兩邊的量視為相等或等價的。在完全關(guān)系階段，學對等號的理解更進一步，不僅理解等號的等價意義，還能夠同時觀察、比較等號兩邊的表達式。

（3）可以通過合適的教學方式發(fā)展學生對等號意義的理解

學生a和學生b在教學后都能夠達到預期目標，甚至學生b能夠超出預期，達到完全關(guān)系階段。這表明不同階段的學生在適當?shù)慕虒W方式下都能夠理解相等關(guān)系。因此，教師應(yīng)該致力于幫助學生理解等號的傳遞性和對稱性，將等號的意義從僅僅是“操作—結(jié)果”的理解延伸為“關(guān)系—等價”的理解。在數(shù)學教學中，特別是在“數(shù)與代數(shù)”這一內(nèi)容的教學中，教師應(yīng)該密切融合知識，使學生更好地理解數(shù)學符號的含義，并在算術(shù)規(guī)則中培養(yǎng)他們的符號意識。

2.研究建議

（1）在日常教學中，發(fā)展等號的傳遞性

在不斷的訓練中，學生會把“運算”定位為“得到結(jié)果”。而在學生后續(xù)接觸代數(shù)時，怎樣更好地聯(lián)結(jié)代數(shù)與算術(shù)？在日常教學中，教師可以拓展學生對符號意義的認識。例如在教學加、減法之后，可以借助天平和具體物品幫助學生理解等號的傳遞性。

（2）借助數(shù)字天平，滲透平衡與等價觀念

借助數(shù)字天平，學生能清晰地體會到等號的另一種意義——表示兩邊同樣多。在使天平平衡的過程中，學生也能直觀地理解等號的等價意義，并學會構(gòu)建四種類型的等式：左右兩邊都掛同一個數(shù)字，如“10+10=10+10”；交換加數(shù)的位置，仍然相等，如“8+5=5+8”；“數(shù)=式”，如“10=4+6”；左右兩邊不相等，甚至個數(shù)也不同，但和相等，即“式=式”，如“3+1=1+1+2”“5+2+1=2+3+3”。

將等號的意義從“結(jié)果”延伸為“等價”具有重要意義。在教學乘法之后，教師還可以繼續(xù)拓展，給出等號兩邊包含不同運算類型的等式，如“4+5+6=5×□”，為學生初中學習等式的性質(zhì)打下基礎(chǔ)。

（3）借助圖形等式，探尋等號的對稱性

讓學生接觸圖形等式主要有兩個目的：一是形成未知數(shù)參與運算的觀念；二是感受等號的對稱性。對于方程，字母參與運算、等號的兩種意義都是學生學習的一大難點，在小學低學段，可以通過圖形算式理解“未知數(shù)也能參與運算”。

例如，結(jié)合同數(shù)連加表示乘法，根據(jù)除法的意義（平均分和包含除），可以深化圖形等式。通過圖形等式，學生既可以知道圖形代表的數(shù)，還可以借助數(shù)量關(guān)系推理出圖形與圖形之間的關(guān)系。例如，學生借助圖示能夠感知到圓柱和長方體之間的體積關(guān)系“7×圓柱=圓柱+2×長方體”，從而發(fā)現(xiàn)“6個圓柱=2個長方體”。運用數(shù)量關(guān)系重構(gòu)新的條件，是解決問題的關(guān)鍵。

在代數(shù)結(jié)構(gòu)中，學生常常感到困惑的是如何尋找式子之間的聯(lián)系，而理解等號的意義有助于他們更有條理地思考和分析數(shù)量關(guān)系。

綜上，融合了“算術(shù)與代數(shù)”的學習活動對學生關(guān)系性思維的發(fā)展起到了積極的作用。本次研究的樣本為一年級學生，但學生對等號的學習將會持續(xù)下去。因此，今后的研究將關(guān)注第二學段、第三學段的學生對等號的理解，特別是涉及“數(shù)的結(jié)構(gòu)”和“數(shù)量關(guān)系”兩個方面的研究，以進一步探討這一重要數(shù)學概念的發(fā)展和教學方法。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 道格拉斯·H.克萊門茨.兒童早期的數(shù)學學習與教育[M].北京：教育科學出版社，2021.

[2] 張?zhí)煨?張?zhí)煨⑴c新數(shù)學思維[M].北京：北京師范大學出版社，2016.

（責編 金 鈴）