雙參數(shù)Weibull分布尺度參數(shù)的Bayes估計和經(jīng)驗Bayes估計

董秋燦, 徐 寶

(吉林師范大學 數(shù)學與計算機學院, 吉林 四平 136000)

0 引言

1951年,瑞典物理學家Waloddi Weibull提出了Weibull分布,該分布一經(jīng)提出就吸引了眾多學者的關注.文獻[1]研究了Weibull分布在可靠性與生存分析等方面的應用;文獻[2]在隨機截尾采樣下,對Weibull分布失效數(shù)據(jù)的可靠性進行了分析;文獻[3-4]討論了Weibull分布的矩估計、極大似然估計和區(qū)間估計;文獻[5]研究了Weibull分布尺度參數(shù)變點模型的參數(shù)估計問題;文獻[6-7]在復合Linex對稱損失下,研究了逆Weibull分布尺度參數(shù)的E-Bayes估計;文獻[8]在平方損失函數(shù)下研究了NA樣本W(wǎng)eibull分布刻度參數(shù)的經(jīng)驗Bayes估計;文獻[9]討論了在刪失截斷情形下Weibull分布多變點模型的參數(shù)估計,并利用MCMC算法驗證了估計的精確性,這些成果都豐富了Weibull分布參數(shù)估計的研究. 但在加權p,q對稱熵損失函數(shù)下對Weibull分布參數(shù)的Bayes估計和經(jīng)驗Bayes估計的研究較少,因此本文在已有研究的基礎上,使用加權p,q對稱熵損失函數(shù)

(1)

研究雙參數(shù)Weibull分布尺度參數(shù)的Bayes估計和經(jīng)驗Bayes估計. 首先給出了逆Gamma先驗分布下尺度參數(shù)的Bayes估計的精確形式,然后利用所得Bayes估計得到了Weibull分布尺度參數(shù)的經(jīng)驗Bayes估計,最后利用R語言編程進行數(shù)值模擬,驗證參數(shù)估計的精確性.

雙參數(shù)Weibull分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為

(2)

其中η=θm,m為形狀參數(shù),η為尺度參數(shù),記為W(m,η).

1 Weibull分布尺度參數(shù)的Bayes估計

首先給出Weibull分布的尺度參數(shù)在任意先驗下Bayes估計的一般形式.

定理1設X=(X1,X2,…,Xn)為取自Weibull總體(2)的一組簡單隨機樣本,在加權p,q對稱熵損失函數(shù)(1)下,對于任意的先驗分布,尺度參數(shù)η的Bayes估計為

證明在加權p,q對稱熵損失函數(shù)L(η,δ)下,δ對應的Bayes風險函數(shù)為

R(δ)=E(L(η,δ))=E(E(L(η,δ)|X)).

由于

如果使R(δ)達到最小,那么只需讓E(L(η,δ)|X)達到最小值,令

針對φ(X)使得對δ求導并令其為0,得到

解得

其次研究Weibull分布在逆Gamma分布下尺度參數(shù)Bayes估計的表達式.

定理2在加權p,q對稱熵損失函數(shù)(1)下,若Weibull分布(2)的尺度參數(shù)η的先驗分布為逆Gamma分布Γ-1(α,λ),則尺度參數(shù)η的Bayes估計為

(3)

所以參數(shù)η的后驗分布為

同理得到

因此可以得到在加權p,q對稱熵損失函數(shù)(1)下,當先驗分布為逆Gamma分布Γ-1(α,λ)時,尺度參數(shù)η的Bayes估計為

2 尺度參數(shù)的經(jīng)驗Bayes估計

經(jīng)驗 Bayes估計[10]是Bayes估計的改進與推廣,主要利用歷史信息對先驗分布或者先驗分布的某些數(shù)字特征作出直接或間接的估計.

定理3在加權p,q對稱熵損失函數(shù)(1)下,若Weibull分布(2)的尺度參數(shù)η的先驗分布為逆Gamma分布Γ-1(α,λ),η的Bayes估計的結果中存在超參數(shù)α和λ,當超參數(shù)α已知,λ未知時,則η的經(jīng)驗Bayes估計為

證明樣本X=(X1,X2,…,Xn)的邊緣概率密度函數(shù)為

對t(λ|x)取對數(shù),得

然后關于λ求導令其為0,得

3 數(shù)據(jù)模擬

為了驗證估計的穩(wěn)健性和精確性,根據(jù)上面所得結論,選擇真值η=3,m=1,利用R語言編程生成Weibull分布的隨機樣本.首先選定p=4,q=3,α=3,λ=2,樣本容量n為40,60,80,100,120,計算在損失函數(shù)(1)下Weibull分布(2)的尺度參數(shù)的Bayes估計和經(jīng)驗Bayes估計,運行100次,取平均值,模擬結果如表1和表2所示,其中MSE[11]表示均方誤差,Abs[12]表示偏差.

表1 不同樣本容量下尺度參數(shù)的Bayes估計的模擬結果

表2 不同樣本容量下尺度參數(shù)的經(jīng)驗Bayes估計的模擬結果

由表1和表2可知隨著樣本容量n值的不斷增大,在損失函數(shù)(1)下Weibull分布(2)尺度參數(shù)的Bayes估計值和經(jīng)驗Bayes估計值與真值相差不大,均方誤差MSE和偏差Abs較小,模擬效果較好.

下面驗證α和λ對Bayes估計和經(jīng)驗Bayes估計的影響,選定α為0.5,1,1.5,2,2.5,λ為0.5,1,1.5,2,2.5,n=100,p=4,q=3,計算尺度參數(shù)的Bayes估計和經(jīng)驗Bayes估計,模擬結果如表3和表4所示.

表3 不同α和λ時尺度參數(shù)的Bayes估計的模擬結果

表4 不同α時尺度參數(shù)的經(jīng)驗Bayes估計的模擬結果

由表3知,尺度參數(shù)的Bayes估計值與真值相差不大,模擬效果較好,并且隨著參數(shù)α和λ的改變,參數(shù)的估計值沒有太大改變,橫向極差和縱向極差不超過0.2,穩(wěn)健性較好.由表4知,隨著參數(shù)α的改變,參數(shù)的經(jīng)驗Bayes估計與真值相差不大,穩(wěn)健性較好,精確度較高.

其次,驗證p和q對Bayes估計和經(jīng)驗Bayes估計的影響,選擇p為1,2,3,4,5,q為1,2,3,4,5,n=100,α=3,λ=2,計算在損失函數(shù)(1)下Weibull分布(2)尺度參數(shù)的Bayes估計和經(jīng)驗Bayes估計,模擬結果如表5和表6所示.

表5 不同p和q時尺度參數(shù)的Bayes估計的模擬結果

表6 不同p和q時尺度參數(shù)的經(jīng)驗Bayes估計的模擬結果

由表5和表6知,隨著參數(shù)p和q的改變,尺度參數(shù)的Bayes估計值和經(jīng)驗Bayes估計值沒有太大變化,橫向極差和縱向極差不超過0.2,穩(wěn)健性較好,精確度較高.

為了更好地比較Bayes估計和經(jīng)驗Bayes估計的精確性,選擇α=2,λ=1.5,容量n為100,計算尺度參數(shù)的Bayes估計和經(jīng)驗Bayes估計,模擬結果如表7所示.

表7 尺度參數(shù)估計的模擬結果

由表7可知,無論從MSE層面還是Abs層面,尺度參數(shù)的經(jīng)驗Bayes估計的返真性高于Bayes估計,因此經(jīng)驗Bayes的精確度更高,它可以降低逆Gamma先驗分布中的參數(shù)對結果造成的影響.

4 結束語

本文在Bayes框架下,使用加權p,q對稱熵損失函數(shù),研究了Weibull分布尺度參數(shù)的Bayes估計和經(jīng)驗Bayes估計. 首先通過Bayes參數(shù)估計方法計算了Weibull分布尺度參數(shù)的Bayes估計,其次在所得估計的基礎上,給出該分布參數(shù)的經(jīng)驗Bayes估計,最后通過數(shù)據(jù)模擬驗證了經(jīng)驗Bayes估計的精確性較高,在一定程度上豐富了Weibull分布在理論上的研究內(nèi)容.