從數(shù)學(xué)語(yǔ)言到數(shù)學(xué)模型構(gòu)建:初中數(shù)學(xué)思維進(jìn)階研究

董建兵

(定西市通渭縣平襄鎮(zhèn)安川學(xué)校,甘肅定西,743300)

初中是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要階段。在此階段,學(xué)生需要從基礎(chǔ)概念開始,逐漸學(xué)習(xí)計(jì)算技能,并向更高層次的數(shù)學(xué)思維發(fā)展。2022年《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》)提出,學(xué)生要能夠用數(shù)學(xué)的眼光感知現(xiàn)實(shí)世界,用數(shù)學(xué)思維思考世界,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界。[1]隨著對(duì)數(shù)學(xué)要素的學(xué)習(xí)和理解,學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力需要不斷進(jìn)階。數(shù)學(xué)課堂是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)感知、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)審美的主要陣地。課堂中灌輸式的教學(xué)方法往往注重的是知識(shí)點(diǎn)等理論的學(xué)習(xí)和運(yùn)算的機(jī)械訓(xùn)練,缺乏對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維進(jìn)階的引導(dǎo)和培養(yǎng)。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生從解決具體問(wèn)題到學(xué)習(xí)抽象模型,可以培養(yǎng)其邏輯推理能力和問(wèn)題解決能力,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維進(jìn)階。探究從數(shù)學(xué)語(yǔ)言到數(shù)學(xué)模型以培養(yǎng)初中生思維能力的具體途徑,能夠?yàn)榻處熖峁?shí)用的教學(xué)策略和評(píng)價(jià)方法。

一、概念

數(shù)學(xué)語(yǔ)言是指用來(lái)表達(dá)數(shù)學(xué)概念、關(guān)系和推理過(guò)程的符號(hào)系統(tǒng),可以用來(lái)描述和表達(dá)數(shù)學(xué)概念、關(guān)系和運(yùn)算的符號(hào)系統(tǒng)和規(guī)則,包括數(shù)學(xué)符號(hào)、術(shù)語(yǔ)、定義、定理等。[2]因此可以通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)規(guī)則進(jìn)行邏輯推理。

數(shù)學(xué)模型是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題或抽象概念進(jìn)行形式化描述的工具,用于描述現(xiàn)實(shí)世界中的問(wèn)題或情境。[3]數(shù)學(xué)模型由符號(hào)、變量和關(guān)系構(gòu)成,可以用來(lái)分析問(wèn)題、預(yù)測(cè)結(jié)果和作出決策。數(shù)學(xué)模型可以是方程組、函數(shù)關(guān)系、圖形。通過(guò)對(duì)模型的分析和求解,可以預(yù)測(cè)、解釋或優(yōu)化現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。數(shù)學(xué)模型在科學(xué)研究、工程設(shè)計(jì)、經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用。

數(shù)學(xué)語(yǔ)言是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)。運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和表達(dá)方式等數(shù)學(xué)語(yǔ)言,將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)形式,從而建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。[4]通過(guò)分析和解釋數(shù)學(xué)模型,可以進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言及其背后思維方式的理解。在初中數(shù)學(xué)教育中,培養(yǎng)學(xué)生從具體問(wèn)題到抽象模型的轉(zhuǎn)化能力對(duì)發(fā)展數(shù)學(xué)思維至關(guān)重要。這種轉(zhuǎn)化過(guò)程涉及對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解和運(yùn)用以及對(duì)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建和分析。引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)模型,可以培養(yǎng)其邏輯思維、抽象思維和創(chuàng)新思維能力。

數(shù)學(xué)語(yǔ)言在分析和求解數(shù)學(xué)模型時(shí)有著重要作用。通過(guò)邏輯推理和數(shù)學(xué)方法,可以對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行推導(dǎo)、求解和優(yōu)化,并得出問(wèn)題的結(jié)論或決策。數(shù)學(xué)語(yǔ)言可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)模型的思想和結(jié)果。通過(guò)準(zhǔn)確地使用數(shù)學(xué)符號(hào)和術(shù)語(yǔ),可以清晰地表達(dá)問(wèn)題的假設(shè)、條件及結(jié)論,使其他人能夠理解并驗(yàn)證這些結(jié)果?？傊?數(shù)學(xué)語(yǔ)言是構(gòu)建和表達(dá)數(shù)學(xué)模型的工具,數(shù)學(xué)模型是通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行描述的結(jié)果。二者相輔相成,在數(shù)學(xué)教學(xué)中起到了非常重要的作用。

二、數(shù)學(xué)思維發(fā)展階段

數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)知識(shí)和科學(xué)知識(shí)的抽象結(jié)合。數(shù)學(xué)思維的形成是一個(gè)由淺到深、由低到高的語(yǔ)境體系形成過(guò)程。數(shù)學(xué)思維的系統(tǒng)性是實(shí)際應(yīng)用的基礎(chǔ),隨著學(xué)習(xí)的不斷深入,進(jìn)而形成有序的思維邏輯。數(shù)學(xué)思維發(fā)展的基本過(guò)程大致可分為三個(gè)階段。

(一)初步認(rèn)知與理解階段

初中數(shù)學(xué)知識(shí)包括顯性知識(shí)和隱性知識(shí)。前者側(cè)重于數(shù)學(xué)符號(hào)和基本概念的掌握,后者逐漸轉(zhuǎn)向知識(shí)的應(yīng)用與創(chuàng)新過(guò)程。初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基本上是從外在認(rèn)知到內(nèi)在理解再到實(shí)際應(yīng)用的循環(huán)過(guò)程,這個(gè)思維過(guò)程的進(jìn)展也是從顯性認(rèn)知到隱性邏輯推理的發(fā)展過(guò)程?？梢詮膬蓚€(gè)方面理解初中數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)。一方面,在數(shù)學(xué)知識(shí)的感知中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。初中階段的學(xué)生往往以形象化的形式獲取數(shù)學(xué)信息。這些數(shù)學(xué)信息包括獨(dú)立的數(shù)學(xué)符號(hào)和相關(guān)的概念屬性,學(xué)生通過(guò)感知數(shù)學(xué)符號(hào)和概念屬性理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。在此基礎(chǔ)上,學(xué)生不斷地學(xué)習(xí)邏輯規(guī)律,在認(rèn)知系統(tǒng)中逐步整合大量的數(shù)學(xué)符號(hào)和客觀要素,并結(jié)合自身的思維能力和邏輯特點(diǎn),形成系統(tǒng)的認(rèn)知。例如,在學(xué)習(xí)軸對(duì)稱圖形及其性質(zhì)后,將軸對(duì)稱知識(shí)遷移到等腰三角形中,通過(guò)推理論證,構(gòu)建等腰三角形及等邊三角形的性質(zhì)和判定方法。另一方面,數(shù)學(xué)思維的層次性由知識(shí)基礎(chǔ)決定。不同年級(jí)的知識(shí)往往遵循由淺入深、由單一向綜合性發(fā)展的規(guī)律。數(shù)學(xué)思維的形成需要注重?cái)?shù)學(xué)語(yǔ)言的學(xué)與練,加強(qiáng)豐富多樣的數(shù)學(xué)信息的獲取能力。在此過(guò)程中,教師需要通過(guò)客觀描述和系統(tǒng)解釋,使學(xué)生形成正確的、清晰的框架與模型,使學(xué)生在語(yǔ)言描述、圖片識(shí)別和邏輯推理過(guò)程中理解數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)定理,引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的內(nèi)在邏輯和外在規(guī)律。

(二)試錯(cuò)與改進(jìn)階段

以假設(shè)試錯(cuò)和用結(jié)論改進(jìn)是初中數(shù)學(xué)內(nèi)部框架中特定的學(xué)習(xí)與思考過(guò)程,進(jìn)入識(shí)別和試錯(cuò)是促進(jìn)學(xué)生從符號(hào)學(xué)習(xí)向抽象思維的轉(zhuǎn)向。在這個(gè)階段,學(xué)生不斷地試錯(cuò)與改進(jìn),加深對(duì)現(xiàn)有數(shù)學(xué)概念的理解,對(duì)知識(shí)的認(rèn)知逐漸全面、系統(tǒng)。學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)定理、公式和概念,隨后通過(guò)不斷理解知識(shí)體系而觸碰到未知領(lǐng)域,進(jìn)而產(chǎn)生更進(jìn)一步的學(xué)習(xí)。但存在的問(wèn)題是,雖然學(xué)生在學(xué)習(xí)中解決難題時(shí)會(huì)加深理解,但有部分學(xué)生沒有進(jìn)行下一步的思考和分析,當(dāng)遇到更深層次的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),還是用舊方法解決,仍然不能突破創(chuàng)新。在這個(gè)過(guò)程中,教師需要引導(dǎo)學(xué)生,使學(xué)生明白在未知領(lǐng)域領(lǐng)悟知識(shí)需要一套自己的方法體系。一方面,學(xué)生需要在不斷提煉、整合、總結(jié)中形成獨(dú)特的數(shù)學(xué)表達(dá)和思維意識(shí)。通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言符號(hào)的淺層認(rèn)知到深層理解,學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能夠從感性認(rèn)知提升到抽象、規(guī)律的深層分析,并結(jié)合自己對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的思考,不斷試錯(cuò),產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)理解。另一方面,通過(guò)運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言,學(xué)生能夠使用邏輯思維表達(dá)數(shù)學(xué)的基本觀點(diǎn)、概念和規(guī)律,進(jìn)而對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決表達(dá)出自己的觀點(diǎn),并作出客觀的分析和判斷。

(三)應(yīng)用與創(chuàng)造階段

隨著理解的加深,學(xué)生逐步進(jìn)入實(shí)踐應(yīng)用階段。在此階段,教師要先展示實(shí)踐活動(dòng),之后要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析與總結(jié)。展示實(shí)踐的過(guò)程多是由外向內(nèi)的練習(xí)過(guò)程,需要學(xué)生對(duì)邏輯結(jié)構(gòu)進(jìn)行重構(gòu);分析與總結(jié)過(guò)程多是由內(nèi)向外的理解過(guò)程,需要以具體數(shù)學(xué)知識(shí)為支撐的創(chuàng)造性應(yīng)用與實(shí)踐。這一階段,學(xué)生需要具有較強(qiáng)的操作思維和動(dòng)手能力。在實(shí)踐過(guò)程如探索圖形面積中,教師可以運(yùn)用割補(bǔ)等方法引導(dǎo)學(xué)生注重基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累,在教學(xué)全程滲透轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想。解決這些問(wèn)題不僅需要數(shù)學(xué)語(yǔ)言的邏輯表達(dá),還需要?jiǎng)?chuàng)新應(yīng)用、靈活使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言。一方面,教師要將數(shù)學(xué)語(yǔ)言的傳授作為課堂的重要環(huán)節(jié),在講授與推導(dǎo)過(guò)程中加強(qiáng)學(xué)生對(duì)過(guò)程的數(shù)學(xué)語(yǔ)言應(yīng)用,讓學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)邏輯。另一方面,教師要引導(dǎo)學(xué)生廣泛應(yīng)用數(shù)學(xué)概念和定理,使學(xué)生不但能夠在應(yīng)用中思考數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)邏輯,而且能夠在頭腦中形成清晰的模型框架。

三、數(shù)學(xué)模型建構(gòu)策略

(一)練習(xí)數(shù)學(xué)語(yǔ)言

教師應(yīng)在課堂教學(xué)過(guò)程中深入分析數(shù)學(xué)定理、符號(hào)、公式、圖形與運(yùn)算的不同形式,加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的認(rèn)知。首先,教師要注重培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算過(guò)程的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)邏輯,讓學(xué)生能夠標(biāo)記出問(wèn)題描述中的數(shù)學(xué)語(yǔ)言關(guān)鍵詞。這種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力主要表現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的延伸上,比如對(duì)數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)和數(shù)學(xué)概念的表達(dá)需要清晰、簡(jiǎn)潔。其次,教師需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的再認(rèn)知與創(chuàng)新運(yùn)用,培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)問(wèn)題符號(hào)化、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述數(shù)學(xué)模型的能力。在數(shù)學(xué)符號(hào)、公式和運(yùn)算的過(guò)程中,教師需要注重提供學(xué)生訓(xùn)練應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的機(jī)會(huì),引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。最后,教師可以適當(dāng)提高直觀圖形語(yǔ)言的應(yīng)用頻率。直觀圖形教學(xué)能夠提供學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)機(jī)會(huì),使用圖形、圖表有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

(二)基于實(shí)際情境

從具體問(wèn)題到抽象模型的轉(zhuǎn)化是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的關(guān)鍵。教師可以選擇具有現(xiàn)實(shí)意義的問(wèn)題,讓學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)模型在解決實(shí)際問(wèn)題中的價(jià)值。教師可以引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)際情境中觀察、收集數(shù)據(jù),鼓勵(lì)學(xué)生使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行描述和匯總。培養(yǎng)學(xué)生觀察的眼光,指導(dǎo)學(xué)生將問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型、建立數(shù)學(xué)方程或圖形,培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行計(jì)算和分析的能力。例如,教師可以設(shè)問(wèn)“在生活中,如何使凳子在不平整的地面更加平穩(wěn)?”引導(dǎo)學(xué)生思考,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)可以假設(shè)a、b、c、d為凳子的四條腿,想讓凳子平穩(wěn),就要使a、b、c、d離地面的距離均為零。根據(jù)本題的結(jié)論,教師可以引導(dǎo)學(xué)生將凳子的四條腿看作長(zhǎng)方形,使學(xué)生理解用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)實(shí)際情境的思路。在真實(shí)的情況中分析問(wèn)題,學(xué)生會(huì)逐漸理解數(shù)學(xué)模型與生活實(shí)踐密切相關(guān),從而提高學(xué)習(xí)主動(dòng)性。通過(guò)將具體情境與數(shù)學(xué)語(yǔ)言結(jié)合起來(lái),學(xué)生能夠理解并運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行推理和解決問(wèn)題。教師可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)建立的抽象模型進(jìn)行驗(yàn)證和應(yīng)用,通過(guò)實(shí)際計(jì)算或數(shù)據(jù)分析,檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠窨尚?從而提供最終的有效解決方案。

(三)設(shè)計(jì)實(shí)踐活動(dòng)

數(shù)學(xué)模型的建立在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中發(fā)揮著重要作用。教師不僅要從思想上認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)模型的建立對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的重要性,而且要設(shè)計(jì)實(shí)踐活動(dòng)推動(dòng)學(xué)生從數(shù)學(xué)語(yǔ)言到數(shù)學(xué)模型建立的思維轉(zhuǎn)換。教師可以結(jié)合學(xué)生的思維特征、認(rèn)知結(jié)構(gòu)和知識(shí)水平,從數(shù)學(xué)語(yǔ)言開始,引導(dǎo)學(xué)生設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型。將生活情境作為關(guān)鍵素材,結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活中的材料,將其轉(zhuǎn)化為一系列的數(shù)學(xué)問(wèn)題,在實(shí)踐中建立模型,進(jìn)行檢驗(yàn)和修正,最后得出結(jié)果。讓學(xué)生在實(shí)踐中面對(duì)困難、解決問(wèn)題,最終達(dá)到應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的真正目的?；趯?shí)踐解決問(wèn)題的教學(xué)設(shè)計(jì)能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。在實(shí)踐中學(xué)習(xí),教師要設(shè)計(jì)有趣的學(xué)習(xí)活動(dòng),選擇的活動(dòng)內(nèi)容要有層次感,要能激發(fā)學(xué)生的思考及討論,要讓學(xué)生有窮盡思維的可能性。通過(guò)引入有趣且具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題情境,鼓勵(lì)學(xué)生在探究中解決問(wèn)題,激發(fā)學(xué)生的思維活力。

四、數(shù)學(xué)思維進(jìn)階策略

(一)抓重點(diǎn)

第一,注重教學(xué)設(shè)計(jì)。課本是學(xué)生的學(xué)習(xí)依據(jù)之一。[5]學(xué)習(xí)能力是在信息收集的同時(shí)逐步形成的。教師只有幫助學(xué)生整合已有知識(shí)、精心策劃教學(xué)活動(dòng),才能更有效地培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。第二,抓住問(wèn)題的關(guān)鍵表達(dá)。對(duì)于典型的數(shù)學(xué)問(wèn)題,教師需要引導(dǎo)學(xué)生使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行歸納和表達(dá),提高學(xué)生對(duì)典型問(wèn)題的理解程度。第三,選擇模型結(jié)構(gòu)。教師要根據(jù)不同的問(wèn)題選擇合適的數(shù)學(xué)模型?？傊?要抓住問(wèn)題的重點(diǎn)和關(guān)鍵,訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

(二)抓過(guò)程

過(guò)程是思維進(jìn)階的關(guān)鍵,審題過(guò)程包括文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言的理解過(guò)程。教師要教導(dǎo)學(xué)生審題過(guò)程要仔細(xì),要讓學(xué)生在已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上,逐字逐句地分析數(shù)學(xué)語(yǔ)言,細(xì)心推敲,弄清題意,逐句進(jìn)行數(shù)學(xué)語(yǔ)言翻譯,將隱含的內(nèi)容轉(zhuǎn)換為顯性內(nèi)容。在解題的過(guò)程中,更要引導(dǎo)學(xué)生緊密聯(lián)系題設(shè)與結(jié)論,前后呼應(yīng)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,找到解題的突破點(diǎn),思考不同的解題思路。

(三)抓總結(jié)

完成一個(gè)單元的學(xué)習(xí)后,教師可抽出10分鐘左右的時(shí)間讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言復(fù)述所學(xué)內(nèi)容,并將學(xué)到的內(nèi)容詳細(xì)分類、勾畫思維導(dǎo)圖,以串聯(lián)起新舊知識(shí),形成完整的知識(shí)圖譜。[6]學(xué)完某個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)后,學(xué)生需要按照知識(shí)點(diǎn)的連續(xù)性,將所學(xué)知識(shí)語(yǔ)言化、條理化、邏輯化、系統(tǒng)化。這也是思維進(jìn)階的過(guò)程,教師要促使學(xué)生不斷地從數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化到數(shù)學(xué)模型,使用活化的知識(shí)點(diǎn)和概括化的模型提高數(shù)學(xué)整體建構(gòu)。

五、評(píng)價(jià)方法

評(píng)價(jià)是對(duì)數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)效果的衡量和反饋手段。通過(guò)合適的評(píng)估方法,可以了解學(xué)生在數(shù)學(xué)思維方面的發(fā)展情況,教師可以根據(jù)評(píng)估結(jié)果進(jìn)行教學(xué)調(diào)整和個(gè)別指導(dǎo)。常用的評(píng)估方法如下。

(一)考試與辯論

作業(yè)和考試是常見的評(píng)估手段。教師可以通過(guò)給學(xué)生設(shè)置問(wèn)題、讓學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題或應(yīng)用數(shù)學(xué)模型等方式測(cè)試學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力水平。[7]教師可以設(shè)置選擇題、填空題、計(jì)算題及開放性問(wèn)題等,在作業(yè)與考試中對(duì)學(xué)生的知識(shí)理解、應(yīng)用分析、綜合思維等方面進(jìn)行評(píng)價(jià)。教師還可以組織小組討論或開展課堂辯論,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析、推理和解決。通過(guò)觀察和記錄學(xué)生的參與程度、思維邏輯和表達(dá)能力等方面,評(píng)估學(xué)生在數(shù)學(xué)思維方面的進(jìn)展。

(二)建模與競(jìng)賽

建模是指將生活中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型,通過(guò)分析和解決模型能夠更清晰地理解和解決問(wèn)題。教師需要選擇合適的數(shù)學(xué)工具和評(píng)價(jià)方法,客觀地評(píng)價(jià)學(xué)生建立的模型,在推理和驗(yàn)證模型中考查學(xué)生的理解深度。[8]例如,圖形的識(shí)別、口頭的表達(dá)和提出的問(wèn)題等,都可作為模型評(píng)價(jià)的主要指標(biāo)。教師要注意是選用的每一個(gè)指標(biāo)都要能反映建模的真實(shí)過(guò)程。

數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽是一種提高初中生數(shù)學(xué)思維能力的有效途徑。競(jìng)賽需要讓學(xué)生在限定時(shí)間內(nèi)解決實(shí)際問(wèn)題,運(yùn)用數(shù)學(xué)工具和數(shù)學(xué)方法進(jìn)行建模和分析,最后通過(guò)比賽成績(jī)和評(píng)委反饋,全面評(píng)估初中生的數(shù)學(xué)思維能力,為學(xué)生提供進(jìn)步機(jī)會(huì)。

(三)反思與元認(rèn)知

反思與元認(rèn)知是指讓學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行深入的思考和分析。元認(rèn)知將個(gè)體看作一個(gè)主動(dòng)的有機(jī)體,個(gè)體的主觀態(tài)度和情感被看作為元認(rèn)知。元認(rèn)知在自我調(diào)節(jié)中起重要作用。反思和元認(rèn)知是一個(gè)循環(huán)過(guò)程,每次的知識(shí)循環(huán)都有其內(nèi)在的連貫性。教師可以鼓勵(lì)學(xué)生反思自己在解決問(wèn)題中遇到的困難、采取的策略及取得的成就,使學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)自己的不足,激發(fā)自己改進(jìn)的動(dòng)力。

數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)是教育領(lǐng)域持續(xù)關(guān)注和研究的重要話題。數(shù)學(xué)思維進(jìn)階在未來(lái)發(fā)展中也面臨新的挑戰(zhàn)。在新課標(biāo)引領(lǐng)下,教師要促進(jìn)學(xué)生實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)觀察—數(shù)學(xué)信息獲取—數(shù)學(xué)思維能力的轉(zhuǎn)變,立足數(shù)學(xué)語(yǔ)言本身,深入探索數(shù)學(xué)文字、符號(hào)和圖形的分類和概括,使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言深入理解。數(shù)學(xué)語(yǔ)言的深入是從具體問(wèn)題到抽象模型的建立過(guò)程,也是更高階的數(shù)學(xué)思維體現(xiàn)。將數(shù)學(xué)語(yǔ)言放在首要位置,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用,促進(jìn)學(xué)生更高層面的思維發(fā)展,將認(rèn)知與應(yīng)用相互融合,輔助促進(jìn)數(shù)學(xué)思維提高的評(píng)價(jià)方法,才能推動(dòng)初中學(xué)生數(shù)學(xué)思維的不斷進(jìn)階。