從數(shù)學(xué)語言到數(shù)學(xué)模型構(gòu)建:初中數(shù)學(xué)思維進階研究

董建兵

(定西市通渭縣平襄鎮(zhèn)安川學(xué)校,甘肅定西,743300)

初中是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要階段。在此階段,學(xué)生需要從基礎(chǔ)概念開始,逐漸學(xué)習(xí)計算技能,并向更高層次的數(shù)學(xué)思維發(fā)展。2022年《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2022年版)》(以下簡稱《課程標準》)提出,學(xué)生要能夠用數(shù)學(xué)的眼光感知現(xiàn)實世界,用數(shù)學(xué)思維思考世界,用數(shù)學(xué)語言表達世界。[1]隨著對數(shù)學(xué)要素的學(xué)習(xí)和理解,學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力需要不斷進階。數(shù)學(xué)課堂是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)感知、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)審美的主要陣地。課堂中灌輸式的教學(xué)方法往往注重的是知識點等理論的學(xué)習(xí)和運算的機械訓(xùn)練,缺乏對學(xué)生數(shù)學(xué)思維進階的引導(dǎo)和培養(yǎng)。通過引導(dǎo)學(xué)生從解決具體問題到學(xué)習(xí)抽象模型,可以培養(yǎng)其邏輯推理能力和問題解決能力,促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維進階。探究從數(shù)學(xué)語言到數(shù)學(xué)模型以培養(yǎng)初中生思維能力的具體途徑,能夠為教師提供實用的教學(xué)策略和評價方法。

一、概念

數(shù)學(xué)語言是指用來表達數(shù)學(xué)概念、關(guān)系和推理過程的符號系統(tǒng),可以用來描述和表達數(shù)學(xué)概念、關(guān)系和運算的符號系統(tǒng)和規(guī)則,包括數(shù)學(xué)符號、術(shù)語、定義、定理等。[2]因此可以通過數(shù)學(xué)語言和符號規(guī)則進行邏輯推理。

數(shù)學(xué)模型是對現(xiàn)實問題或抽象概念進行形式化描述的工具,用于描述現(xiàn)實世界中的問題或情境。[3]數(shù)學(xué)模型由符號、變量和關(guān)系構(gòu)成,可以用來分析問題、預(yù)測結(jié)果和作出決策。數(shù)學(xué)模型可以是方程組、函數(shù)關(guān)系、圖形。通過對模型的分析和求解,可以預(yù)測、解釋或優(yōu)化現(xiàn)實問題。數(shù)學(xué)模型在科學(xué)研究、工程設(shè)計、經(jīng)濟管理等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用。

數(shù)學(xué)語言是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)。運用數(shù)學(xué)符號和表達方式等數(shù)學(xué)語言,將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)形式,從而建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。[4]通過分析和解釋數(shù)學(xué)模型,可以進一步深化學(xué)生對數(shù)學(xué)語言及其背后思維方式的理解。在初中數(shù)學(xué)教育中,培養(yǎng)學(xué)生從具體問題到抽象模型的轉(zhuǎn)化能力對發(fā)展數(shù)學(xué)思維至關(guān)重要。這種轉(zhuǎn)化過程涉及對數(shù)學(xué)語言的理解和運用以及對數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建和分析。引導(dǎo)學(xué)生在解決問題時靈活運用數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)模型,可以培養(yǎng)其邏輯思維、抽象思維和創(chuàng)新思維能力。

數(shù)學(xué)語言在分析和求解數(shù)學(xué)模型時有著重要作用。通過邏輯推理和數(shù)學(xué)方法,可以對數(shù)學(xué)模型進行推導(dǎo)、求解和優(yōu)化,并得出問題的結(jié)論或決策。數(shù)學(xué)語言可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)模型的思想和結(jié)果。通過準確地使用數(shù)學(xué)符號和術(shù)語,可以清晰地表達問題的假設(shè)、條件及結(jié)論,使其他人能夠理解并驗證這些結(jié)果?？傊?數(shù)學(xué)語言是構(gòu)建和表達數(shù)學(xué)模型的工具,數(shù)學(xué)模型是通過數(shù)學(xué)語言對現(xiàn)實問題進行描述的結(jié)果。二者相輔相成,在數(shù)學(xué)教學(xué)中起到了非常重要的作用。

二、數(shù)學(xué)思維發(fā)展階段

數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)知識和科學(xué)知識的抽象結(jié)合。數(shù)學(xué)思維的形成是一個由淺到深、由低到高的語境體系形成過程。數(shù)學(xué)思維的系統(tǒng)性是實際應(yīng)用的基礎(chǔ),隨著學(xué)習(xí)的不斷深入,進而形成有序的思維邏輯。數(shù)學(xué)思維發(fā)展的基本過程大致可分為三個階段。

(一)初步認知與理解階段

初中數(shù)學(xué)知識包括顯性知識和隱性知識。前者側(cè)重于數(shù)學(xué)符號和基本概念的掌握,后者逐漸轉(zhuǎn)向知識的應(yīng)用與創(chuàng)新過程。初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基本上是從外在認知到內(nèi)在理解再到實際應(yīng)用的循環(huán)過程,這個思維過程的進展也是從顯性認知到隱性邏輯推理的發(fā)展過程?？梢詮膬蓚€方面理解初中數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)。一方面,在數(shù)學(xué)知識的感知中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。初中階段的學(xué)生往往以形象化的形式獲取數(shù)學(xué)信息。這些數(shù)學(xué)信息包括獨立的數(shù)學(xué)符號和相關(guān)的概念屬性,學(xué)生通過感知數(shù)學(xué)符號和概念屬性理解和掌握數(shù)學(xué)知識。在此基礎(chǔ)上,學(xué)生不斷地學(xué)習(xí)邏輯規(guī)律,在認知系統(tǒng)中逐步整合大量的數(shù)學(xué)符號和客觀要素,并結(jié)合自身的思維能力和邏輯特點,形成系統(tǒng)的認知。例如,在學(xué)習(xí)軸對稱圖形及其性質(zhì)后,將軸對稱知識遷移到等腰三角形中,通過推理論證,構(gòu)建等腰三角形及等邊三角形的性質(zhì)和判定方法。另一方面,數(shù)學(xué)思維的層次性由知識基礎(chǔ)決定。不同年級的知識往往遵循由淺入深、由單一向綜合性發(fā)展的規(guī)律。數(shù)學(xué)思維的形成需要注重數(shù)學(xué)語言的學(xué)與練,加強豐富多樣的數(shù)學(xué)信息的獲取能力。在此過程中,教師需要通過客觀描述和系統(tǒng)解釋,使學(xué)生形成正確的、清晰的框架與模型,使學(xué)生在語言描述、圖片識別和邏輯推理過程中理解數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)定理,引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)學(xué)語言的內(nèi)在邏輯和外在規(guī)律。

(二)試錯與改進階段

以假設(shè)試錯和用結(jié)論改進是初中數(shù)學(xué)內(nèi)部框架中特定的學(xué)習(xí)與思考過程,進入識別和試錯是促進學(xué)生從符號學(xué)習(xí)向抽象思維的轉(zhuǎn)向。在這個階段,學(xué)生不斷地試錯與改進,加深對現(xiàn)有數(shù)學(xué)概念的理解,對知識的認知逐漸全面、系統(tǒng)。學(xué)生通過數(shù)學(xué)語言表達定理、公式和概念,隨后通過不斷理解知識體系而觸碰到未知領(lǐng)域,進而產(chǎn)生更進一步的學(xué)習(xí)。但存在的問題是,雖然學(xué)生在學(xué)習(xí)中解決難題時會加深理解,但有部分學(xué)生沒有進行下一步的思考和分析,當遇到更深層次的數(shù)學(xué)問題時,還是用舊方法解決,仍然不能突破創(chuàng)新。在這個過程中,教師需要引導(dǎo)學(xué)生,使學(xué)生明白在未知領(lǐng)域領(lǐng)悟知識需要一套自己的方法體系。一方面,學(xué)生需要在不斷提煉、整合、總結(jié)中形成獨特的數(shù)學(xué)表達和思維意識。通過對數(shù)學(xué)語言符號的淺層認知到深層理解,學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能夠從感性認知提升到抽象、規(guī)律的深層分析,并結(jié)合自己對數(shù)學(xué)問題的思考,不斷試錯,產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)理解。另一方面,通過運用數(shù)學(xué)語言,學(xué)生能夠使用邏輯思維表達數(shù)學(xué)的基本觀點、概念和規(guī)律,進而對數(shù)學(xué)問題的解決表達出自己的觀點,并作出客觀的分析和判斷。

(三)應(yīng)用與創(chuàng)造階段

隨著理解的加深,學(xué)生逐步進入實踐應(yīng)用階段。在此階段,教師要先展示實踐活動,之后要引導(dǎo)學(xué)生進行分析與總結(jié)。展示實踐的過程多是由外向內(nèi)的練習(xí)過程,需要學(xué)生對邏輯結(jié)構(gòu)進行重構(gòu);分析與總結(jié)過程多是由內(nèi)向外的理解過程,需要以具體數(shù)學(xué)知識為支撐的創(chuàng)造性應(yīng)用與實踐。這一階段,學(xué)生需要具有較強的操作思維和動手能力。在實踐過程如探索圖形面積中,教師可以運用割補等方法引導(dǎo)學(xué)生注重基本活動經(jīng)驗的積累,在教學(xué)全程滲透轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想。解決這些問題不僅需要數(shù)學(xué)語言的邏輯表達,還需要創(chuàng)新應(yīng)用、靈活使用數(shù)學(xué)語言。一方面,教師要將數(shù)學(xué)語言的傳授作為課堂的重要環(huán)節(jié),在講授與推導(dǎo)過程中加強學(xué)生對過程的數(shù)學(xué)語言應(yīng)用,讓學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)語言表達邏輯。另一方面,教師要引導(dǎo)學(xué)生廣泛應(yīng)用數(shù)學(xué)概念和定理,使學(xué)生不但能夠在應(yīng)用中思考數(shù)學(xué)語言的表達邏輯,而且能夠在頭腦中形成清晰的模型框架。

三、數(shù)學(xué)模型建構(gòu)策略

(一)練習(xí)數(shù)學(xué)語言

教師應(yīng)在課堂教學(xué)過程中深入分析數(shù)學(xué)定理、符號、公式、圖形與運算的不同形式,加強學(xué)生對數(shù)學(xué)語言的認知。首先,教師要注重培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)運算過程的數(shù)學(xué)語言表達邏輯,讓學(xué)生能夠標記出問題描述中的數(shù)學(xué)語言關(guān)鍵詞。這種數(shù)學(xué)語言的能力主要表現(xiàn)在對數(shù)學(xué)問題的延伸上,比如對數(shù)學(xué)術(shù)語和數(shù)學(xué)概念的表達需要清晰、簡潔。其次,教師需要引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)符號的再認知與創(chuàng)新運用,培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)問題符號化、用數(shù)學(xué)語言表述數(shù)學(xué)模型的能力。在數(shù)學(xué)符號、公式和運算的過程中,教師需要注重提供學(xué)生訓(xùn)練應(yīng)用數(shù)學(xué)語言表達的機會,引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)語言解決數(shù)學(xué)問題。最后,教師可以適當提高直觀圖形語言的應(yīng)用頻率。直觀圖形教學(xué)能夠提供學(xué)生數(shù)學(xué)語言的表達機會,使用圖形、圖表有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

(二)基于實際情境

從具體問題到抽象模型的轉(zhuǎn)化是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的關(guān)鍵。教師可以選擇具有現(xiàn)實意義的問題,讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)模型在解決實際問題中的價值。教師可以引導(dǎo)學(xué)生在實際情境中觀察、收集數(shù)據(jù),鼓勵學(xué)生使用數(shù)學(xué)語言進行描述和匯總。培養(yǎng)學(xué)生觀察的眼光,指導(dǎo)學(xué)生將問題抽象為數(shù)學(xué)模型、建立數(shù)學(xué)方程或圖形,培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)工具進行計算和分析的能力。例如,教師可以設(shè)問“在生活中,如何使凳子在不平整的地面更加平穩(wěn)?”引導(dǎo)學(xué)生思考,用數(shù)學(xué)語言表達可以假設(shè)a、b、c、d為凳子的四條腿,想讓凳子平穩(wěn),就要使a、b、c、d離地面的距離均為零。根據(jù)本題的結(jié)論,教師可以引導(dǎo)學(xué)生將凳子的四條腿看作長方形,使學(xué)生理解用數(shù)學(xué)語言表達實際情境的思路。在真實的情況中分析問題,學(xué)生會逐漸理解數(shù)學(xué)模型與生活實踐密切相關(guān),從而提高學(xué)習(xí)主動性。通過將具體情境與數(shù)學(xué)語言結(jié)合起來,學(xué)生能夠理解并運用數(shù)學(xué)語言進行推理和解決問題。教師可以引導(dǎo)學(xué)生對建立的抽象模型進行驗證和應(yīng)用,通過實際計算或數(shù)據(jù)分析,檢驗?zāi)Ｐ褪欠窨尚?從而提供最終的有效解決方案。

(三)設(shè)計實踐活動

數(shù)學(xué)模型的建立在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中發(fā)揮著重要作用。教師不僅要從思想上認識到數(shù)學(xué)模型的建立對學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的重要性,而且要設(shè)計實踐活動推動學(xué)生從數(shù)學(xué)語言到數(shù)學(xué)模型建立的思維轉(zhuǎn)換。教師可以結(jié)合學(xué)生的思維特征、認知結(jié)構(gòu)和知識水平,從數(shù)學(xué)語言開始,引導(dǎo)學(xué)生設(shè)計數(shù)學(xué)模型。將生活情境作為關(guān)鍵素材,結(jié)合現(xiàn)實生活中的材料,將其轉(zhuǎn)化為一系列的數(shù)學(xué)問題,在實踐中建立模型,進行檢驗和修正,最后得出結(jié)果。讓學(xué)生在實踐中面對困難、解決問題,最終達到應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實際問題的真正目的?；趯嵺`解決問題的教學(xué)設(shè)計能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。在實踐中學(xué)習(xí),教師要設(shè)計有趣的學(xué)習(xí)活動,選擇的活動內(nèi)容要有層次感,要能激發(fā)學(xué)生的思考及討論,要讓學(xué)生有窮盡思維的可能性。通過引入有趣且具有挑戰(zhàn)性的問題情境,鼓勵學(xué)生在探究中解決問題,激發(fā)學(xué)生的思維活力。

四、數(shù)學(xué)思維進階策略

(一)抓重點

第一,注重教學(xué)設(shè)計。課本是學(xué)生的學(xué)習(xí)依據(jù)之一。[5]學(xué)習(xí)能力是在信息收集的同時逐步形成的。教師只有幫助學(xué)生整合已有知識、精心策劃教學(xué)活動,才能更有效地培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。第二,抓住問題的關(guān)鍵表達。對于典型的數(shù)學(xué)問題,教師需要引導(dǎo)學(xué)生使用數(shù)學(xué)語言進行歸納和表達,提高學(xué)生對典型問題的理解程度。第三,選擇模型結(jié)構(gòu)。教師要根據(jù)不同的問題選擇合適的數(shù)學(xué)模型?？傊?要抓住問題的重點和關(guān)鍵,訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維過程,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

(二)抓過程

過程是思維進階的關(guān)鍵,審題過程包括文字語言、符號語言和圖形語言的理解過程。教師要教導(dǎo)學(xué)生審題過程要仔細,要讓學(xué)生在已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)上,逐字逐句地分析數(shù)學(xué)語言,細心推敲,弄清題意,逐句進行數(shù)學(xué)語言翻譯,將隱含的內(nèi)容轉(zhuǎn)換為顯性內(nèi)容。在解題的過程中,更要引導(dǎo)學(xué)生緊密聯(lián)系題設(shè)與結(jié)論,前后呼應(yīng)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,找到解題的突破點,思考不同的解題思路。

(三)抓總結(jié)

完成一個單元的學(xué)習(xí)后,教師可抽出10分鐘左右的時間讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言復(fù)述所學(xué)內(nèi)容,并將學(xué)到的內(nèi)容詳細分類、勾畫思維導(dǎo)圖,以串聯(lián)起新舊知識,形成完整的知識圖譜。[6]學(xué)完某個數(shù)學(xué)知識后,學(xué)生需要按照知識點的連續(xù)性,將所學(xué)知識語言化、條理化、邏輯化、系統(tǒng)化。這也是思維進階的過程,教師要促使學(xué)生不斷地從數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化到數(shù)學(xué)模型,使用活化的知識點和概括化的模型提高數(shù)學(xué)整體建構(gòu)。

五、評價方法

評價是對數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)效果的衡量和反饋手段。通過合適的評估方法,可以了解學(xué)生在數(shù)學(xué)思維方面的發(fā)展情況,教師可以根據(jù)評估結(jié)果進行教學(xué)調(diào)整和個別指導(dǎo)。常用的評估方法如下。

(一)考試與辯論

作業(yè)和考試是常見的評估手段。教師可以通過給學(xué)生設(shè)置問題、讓學(xué)生解決實際問題或應(yīng)用數(shù)學(xué)模型等方式測試學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力水平。[7]教師可以設(shè)置選擇題、填空題、計算題及開放性問題等,在作業(yè)與考試中對學(xué)生的知識理解、應(yīng)用分析、綜合思維等方面進行評價。教師還可以組織小組討論或開展課堂辯論,引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)問題的分析、推理和解決。通過觀察和記錄學(xué)生的參與程度、思維邏輯和表達能力等方面,評估學(xué)生在數(shù)學(xué)思維方面的進展。

(二)建模與競賽

建模是指將生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型,通過分析和解決模型能夠更清晰地理解和解決問題。教師需要選擇合適的數(shù)學(xué)工具和評價方法,客觀地評價學(xué)生建立的模型,在推理和驗證模型中考查學(xué)生的理解深度。[8]例如,圖形的識別、口頭的表達和提出的問題等,都可作為模型評價的主要指標。教師要注意是選用的每一個指標都要能反映建模的真實過程。

數(shù)學(xué)建模競賽是一種提高初中生數(shù)學(xué)思維能力的有效途徑。競賽需要讓學(xué)生在限定時間內(nèi)解決實際問題,運用數(shù)學(xué)工具和數(shù)學(xué)方法進行建模和分析,最后通過比賽成績和評委反饋,全面評估初中生的數(shù)學(xué)思維能力,為學(xué)生提供進步機會。

(三)反思與元認知

反思與元認知是指讓學(xué)生對自己的學(xué)習(xí)過程進行深入的思考和分析。元認知將個體看作一個主動的有機體,個體的主觀態(tài)度和情感被看作為元認知。元認知在自我調(diào)節(jié)中起重要作用。反思和元認知是一個循環(huán)過程,每次的知識循環(huán)都有其內(nèi)在的連貫性。教師可以鼓勵學(xué)生反思自己在解決問題中遇到的困難、采取的策略及取得的成就,使學(xué)生更好地認識自己的不足,激發(fā)自己改進的動力。

數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)是教育領(lǐng)域持續(xù)關(guān)注和研究的重要話題。數(shù)學(xué)思維進階在未來發(fā)展中也面臨新的挑戰(zhàn)。在新課標引領(lǐng)下,教師要促進學(xué)生實現(xiàn)數(shù)學(xué)觀察—數(shù)學(xué)信息獲取—數(shù)學(xué)思維能力的轉(zhuǎn)變,立足數(shù)學(xué)語言本身,深入探索數(shù)學(xué)文字、符號和圖形的分類和概括,使學(xué)生對數(shù)學(xué)語言深入理解。數(shù)學(xué)語言的深入是從具體問題到抽象模型的建立過程,也是更高階的數(shù)學(xué)思維體現(xiàn)。將數(shù)學(xué)語言放在首要位置,引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)知識的綜合應(yīng)用,促進學(xué)生更高層面的思維發(fā)展,將認知與應(yīng)用相互融合,輔助促進數(shù)學(xué)思維提高的評價方法,才能推動初中學(xué)生數(shù)學(xué)思維的不斷進階。