逆向思維、出其不意:反證法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

翟悅涵

? 哈爾濱師范大學(xué)教師教育學(xué)院

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是認(rèn)識、理解、掌握和運(yùn)用知識的過程,旨在為實(shí)際生活提供服務(wù).然而,解決問題的創(chuàng)造性活動要求學(xué)生的數(shù)學(xué)思維更加發(fā)散和深刻.但是,在教學(xué)實(shí)踐中,許多學(xué)生常常由于思維不夠靈活而在分析、思考和解決問題時遇到困難,例如:不懂得如何分析數(shù)學(xué)問題,無法建立明確的數(shù)量關(guān)系,無法形成清晰的解題思路,等等.因此,在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師應(yīng)該基于學(xué)生在解題過程中遇到的思維障礙,通過必要的思維訓(xùn)練,幫助學(xué)生疏通解題思路,循序漸進(jìn)地提高他們的數(shù)學(xué)解題能力.

1 初中生數(shù)學(xué)解題思維障礙分析

相比其他學(xué)科,數(shù)學(xué)具有更強(qiáng)的邏輯性和抽象性,這對學(xué)生的綜合能力和思維能力提出了更高的要求.然而,在傳統(tǒng)的機(jī)械化和重復(fù)性訓(xùn)練中,學(xué)生的解題思維往往難以拓展,導(dǎo)致他們在解題時頻繁遇到困難.第一,逆向思維能力薄弱.學(xué)生習(xí)慣于正向思維,很少運(yùn)用逆向思維來分析和解決問題.一旦遇到困難,就無從下手.第二,存在思維盲點(diǎn).由于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn),數(shù)學(xué)問題對學(xué)生的思維廣度和深度提出了較高要求.然而,初中生在實(shí)際解題中存在很多思維盲點(diǎn),導(dǎo)致他們在思考和分析問題時會遇到許多障礙.第三,存在思維惰性障礙.數(shù)學(xué)解題實(shí)際上是一種思維活動.但在實(shí)際解題中,一些學(xué)生常常受到惰性思維的影響,遇到一點(diǎn)困難就停滯不前.在這種思維障礙下,即使遇到關(guān)鍵信息,他們也無法深入思考,難以形成明確的解題思路.第四,存在定勢思維障礙.數(shù)學(xué)學(xué)科對學(xué)生的思維靈活性和廣度提出了更高要求.然而,在實(shí)際解題訓(xùn)練中,受到“只解此題”教學(xué)模式的限制,學(xué)生常常表現(xiàn)出定勢思維,難以找到解題的新視角和突破口.同時,在這種定勢思維的影響下,學(xué)生還經(jīng)常陷入解題的誤區(qū),導(dǎo)致出現(xiàn)各種錯誤[1].

2 初中數(shù)學(xué)解題的基本思維模式

對于數(shù)學(xué)學(xué)科而言,解題思維具有一定的規(guī)律.常見的初中數(shù)學(xué)解題思維主要包括轉(zhuǎn)化思維、聯(lián)想思維、整體思維和逆向思維.其中,轉(zhuǎn)化思維是指通過改變問題的方向,將未知問題轉(zhuǎn)化成為熟悉的數(shù)學(xué)知識或具體、形象的問題.這種思維在數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常出現(xiàn),學(xué)生需要掌握這種思維才能靈活解決問題.聯(lián)想思維是從已知條件、圖形或所求題目等方面聯(lián)想到相關(guān)的定義、定理或法則,并由此形成解題思路.在解決難題時,聯(lián)想思維可以引發(fā)靈感,使問題更加清晰.整體思維是指從整體入手,將彼此孤立的問題視為一個整體,通過設(shè)元、變形和代入等方式解題.整體思維可以擺脫“單一未知量”的限制,簡化復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題,提高解題效率.逆向思維是指改變思考角度,以所求結(jié)論作為起點(diǎn),通過逆向考慮的模式回到已知條件中.這種“倒著干、反向考慮”的模式,即為逆向解題思維.

針對此題,根據(jù)增根的定義可知,只有當(dāng)分式方程的最簡公分母不等于零的時候,分式方程才不會產(chǎn)生增根.但在該分式方程中,最簡公分母(x+2)·(x-2)≠0的x值有很多,無法逐個代入進(jìn)行求解.針對這一現(xiàn)象,在優(yōu)化解題時,可引領(lǐng)學(xué)生改變思維的角度,從結(jié)論出發(fā),以題目所求結(jié)論的對立面為出發(fā)點(diǎn),圍繞“會產(chǎn)生增根”展開反向思考,逐漸找出產(chǎn)生增根的k值,即可得到不會產(chǎn)生增根的k值.

將方程兩邊同時乘最簡公分母(x+2)(x-2),得(x-2)2-k=(x+2)2.

只有當(dāng)(x+2)(x-2)=0時,方程會產(chǎn)生增根.

此時x=2或x=-2.

將x=2,x=-2分別代入(x-2)2-k=(x+2)2中,得k=±16.

即當(dāng)k=±16時,方程會產(chǎn)生增根.

所以,當(dāng)k≠±16時,原分式方程不會產(chǎn)生增根.

可見,在解決例1時,轉(zhuǎn)變了傳統(tǒng)從條件到結(jié)論的順序,堅持逆向思維,從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行思考,最終實(shí)現(xiàn)了化繁為簡、化難為易,真正提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力[2].

3 初中數(shù)學(xué)解題中思維品質(zhì)培養(yǎng)路徑研究

3.1 合理滲透數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)概念、公式和定理的產(chǎn)生過程中都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)思想方法.這些思維和方法通常零散地分布在教材的各個章節(jié)中.因此,教師在課堂教學(xué)中不能只講授知識點(diǎn),還要深入挖掘其背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法.通過精講和細(xì)講,借助數(shù)學(xué)概念和定理的形成過程以及一些例題,將這些思維和方法傳授給學(xué)生.例如,在“有理數(shù)加法法則”教學(xué)中,可以利用問題串,有意識地滲透分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想;在“相似三角形性質(zhì)”教學(xué)中,可利用“相似多邊形面積比和相似比的關(guān)系”,滲透轉(zhuǎn)化思想[3].如此,在教師有目的、有意識的引導(dǎo)下,學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中就能逐漸掌握常見的數(shù)學(xué)思想.

3.2 小組合作研討,強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維

為促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展,幫助其克服解題思維障礙,在日常解題訓(xùn)練中,還應(yīng)給學(xué)生提供思考的時間和空間,引領(lǐng)學(xué)生以小組合作的方式,圍繞數(shù)學(xué)問題進(jìn)行研討.通過小組的思維碰撞,在多個角度思考和探究問題的過程中,不僅加深了學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的深度理解,也促進(jìn)了數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.

再如,已知等腰三角形的底和腰長分別是方程x2-6x+8=0的兩個根,求等腰三角形的周長.這一數(shù)學(xué)問題學(xué)生在日常解題中常常出現(xiàn)漏解的現(xiàn)象.鑒于此,以此題為契機(jī),引領(lǐng)學(xué)生開展研討,使其在研討的過程中明確“當(dāng)?shù)走厼?、當(dāng)?shù)走厼?”兩種解題思路[4].如此,不僅避免了漏解的現(xiàn)象,也在研討的過程中促進(jìn)了思維的深刻性、廣泛性和靈敏性.

3.3 一題多解,拓展解題思維

在初中數(shù)學(xué)解題中,為了促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展,積極開展一題多解訓(xùn)練十分必要.具體來說,一題多解就是聚焦同一題目,引領(lǐng)學(xué)生結(jié)合不同的數(shù)學(xué)知識,從不同的角度、不同的層次進(jìn)行思考、分析,最終從不同的角度完成數(shù)學(xué)題目的解答.在這一過程中,學(xué)生在多角度、多層次的分析中,深刻發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì),并在多角度的探究中,提升數(shù)學(xué)思維的深刻性、敏捷性,真正拓展數(shù)學(xué)解題思維.

例如,如圖1所示,已知正方形ABCD,E是BC邊上的一點(diǎn),且∠AEF=90°,EF與正方形外角平分線CF相交于點(diǎn)F,求證:AE=EF.

圖1

針對這一幾何問題,教師在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維時,就可采用“一題多解”訓(xùn)練,引領(lǐng)學(xué)生從不同的角度進(jìn)行思考、分析,尋找多種解題方法.

方法一,構(gòu)造全等三角形.如圖2所示,在AB邊上取一點(diǎn)G,使得AG=CE,連接EG.如此,構(gòu)造出全等三角形,并結(jié)合題目已知條件,即可證明△AGE≌△ECF,進(jìn)而得出AE=EF.

圖2

方法二,構(gòu)造等腰三角形.如圖3所示,連接AC延長至點(diǎn)G,使得CG=CF,連接EG.如此,通過題中已知條件,先證明△ECF≌△ECG,得出∠F=∠G,∠FEC=∠GEC,EG=EF,并借助外角平分線性質(zhì),證明△EAG是等腰三角形,再由△ECF≌△ECG,得出AE=EF.

圖3

方法三,構(gòu)造平行四邊形.如圖4所示,延長AB至點(diǎn)G,使得BG=BE,連接EG,CG.容易證明△ABE≌△CBG,并得出EGCF為平行四邊形,再通過AE=GC,EF=GC,證得AE=EF.

圖4

如此,經(jīng)過一題多解訓(xùn)練,學(xué)生在多角度的分析和探究中不僅理解了數(shù)學(xué)的本質(zhì)問題,也在深度探究中促進(jìn)了數(shù)學(xué)思維發(fā)展,極大地提升了數(shù)學(xué)解題能力.

3.4 變式訓(xùn)練,強(qiáng)化解題思維品質(zhì)

為了強(qiáng)化初中生的數(shù)學(xué)解題思維,在日常解題教學(xué)中,還應(yīng)結(jié)合相應(yīng)的題目,積極開展變式訓(xùn)練,使得學(xué)生在“一題多變”的過程中,強(qiáng)化對數(shù)學(xué)知識的理解,并拓展數(shù)學(xué)解題思維,提升數(shù)學(xué)思維的廣泛性和靈活性.例如,求不等式-5a>6的解.針對這一問題,為了強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練,可通過變換條件、問題、結(jié)論等方式,展開一系列的變式訓(xùn)練.

變式1如果x”“<”或“=”).

變式2如果axb,x應(yīng)該滿足______.

變式3求關(guān)于a的不等式(n+3)a>6.

變式4若關(guān)于a的不等式3na-2<3n-a的解集為a<2,求n的取值范圍;

若關(guān)于a的不等式3na-2<3n-a的解集為a>2,求n的取值范圍.

如此,學(xué)生在一系列的變式中,不僅完成了對題目的深度理解,也逐漸拓展了自身的數(shù)學(xué)思維[5].

4 結(jié)束語

綜上所述,鑒于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn),解決數(shù)學(xué)問題,對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平提出了很高的要求.可以說,學(xué)生的思維水平和解題能力息息相關(guān).鑒于此,教師在日常解題教學(xué)中,不僅要重視數(shù)學(xué)解題教學(xué),還應(yīng)立足學(xué)生在解題中面臨的思維障礙,借助必要的解題思維訓(xùn)練,不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì),進(jìn)而提升其數(shù)學(xué)解題能力.