重在課堂引導(dǎo) 構(gòu)建數(shù)學(xué)思維*
——以“弧長(zhǎng)及扇形的面積”課堂教學(xué)為例

殷曼曼

? 江蘇省濱海縣第一初級(jí)中學(xué)

幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)思維的課堂,是以幫助學(xué)生構(gòu)建思維品質(zhì)為導(dǎo)向的課堂教學(xué)活動(dòng).從理論上講,數(shù)學(xué)是人們對(duì)客觀(guān)世界定性和定量的認(rèn)識(shí)過(guò)程中逐漸抽象概括、形成方法,并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的自然學(xué)科.它涵蓋了數(shù)學(xué)的基本思維方法,是廣泛應(yīng)用于日常生活與社會(huì)實(shí)踐中的工具[1].通過(guò)質(zhì)疑情境的引導(dǎo),誘發(fā)學(xué)生探究思維;通過(guò)知識(shí)的類(lèi)比遷移,促進(jìn)學(xué)生感性思維;依托課堂知識(shí)對(duì)應(yīng)訓(xùn)練,發(fā)展學(xué)生建模思維;延展知識(shí)視角,啟迪學(xué)生的創(chuàng)造性思維:這些都是幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)思維的具體途徑.筆者結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐,以“弧長(zhǎng)及扇形的面積”課堂教學(xué)為例,談?wù)勚卦谡n堂引導(dǎo),構(gòu)建數(shù)學(xué)思維的一些成熟的做法,旨在與各位同仁在滿(mǎn)足現(xiàn)代教學(xué)需要的課改中悉心交流,共同提高.

1 通過(guò)質(zhì)疑情境的引導(dǎo),激活學(xué)生探究思維

探究思維是一種主動(dòng)、開(kāi)放和自主思考實(shí)現(xiàn)探究活動(dòng)的思維.在科學(xué)探究活動(dòng)中,學(xué)生在存疑后就需要質(zhì)疑、假設(shè)、然后設(shè)計(jì)探究方案進(jìn)行實(shí)驗(yàn),這些都屬于探究思維活動(dòng)的范疇.以蘇科版九年級(jí)上冊(cè)第2章第7節(jié) “弧長(zhǎng)和扇形的面積”為例,這節(jié)課是學(xué)生在前階段對(duì)圓的概念和特性有了初步的認(rèn)識(shí),在以正多邊形為載體探究圓的面積的基礎(chǔ)上進(jìn)行的拓展與延伸.作為課題導(dǎo)入是一節(jié)課的開(kāi)始,應(yīng)該圍繞課題核心內(nèi)容通過(guò)弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式的推導(dǎo),在發(fā)展學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的過(guò)程中誘發(fā)他們的探究思維.因此,創(chuàng)設(shè)的質(zhì)疑情境可以誘發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,幫助他們激活探究思維.例如,首先創(chuàng)設(shè)探究“弧長(zhǎng)公式”的情境:

探究活動(dòng):探究弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的一部分及點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn).

電子白板展示:將一條長(zhǎng)為4 cm的半徑OQ繞著圓心O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),改變圓心角的度數(shù),點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑是一條弧長(zhǎng),觀(guān)察弧長(zhǎng)的變化(學(xué)生可以用圓規(guī)作圖).

質(zhì)疑:①若半徑OQ=r,則圓的周長(zhǎng)如何表達(dá)?

②假設(shè)將圓的周長(zhǎng)看作是一條弧長(zhǎng),那么它的圓心角為多少度呢?

③計(jì)算1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng),由此推斷n°圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是多少呢?

創(chuàng)設(shè)意圖：讓學(xué)生明確一個(gè)新的知識(shí)的揭示是以已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)為基礎(chǔ)的,在創(chuàng)設(shè)的質(zhì)疑情境和教師的引導(dǎo)下找尋新知和舊知之間的聯(lián)系,從探究活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,進(jìn)而得出結(jié)論.在探究活動(dòng)中計(jì)算1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是激活思維的關(guān)鍵,對(duì)此有了深刻理解后,進(jìn)而能自然而然地得出n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng).其中②是“假設(shè)”,③才是“探尋理由”和“設(shè)計(jì)方案”,整個(gè)探疑的過(guò)程屬于探究思維活動(dòng).因此,通過(guò)弧長(zhǎng)公式這一探究活動(dòng),足能夠誘發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,并幫助他們激活探究思維.

2 通過(guò)知識(shí)的類(lèi)比遷移,促進(jìn)學(xué)生理性思維

理性思維主要是通過(guò)已經(jīng)掌握的學(xué)科方法進(jìn)行思考和判斷.它的特點(diǎn)是能夠讓知識(shí)成體系、可推理,突出概念的相互聯(lián)系和相互制約關(guān)系.也就是人們所說(shuō)的“對(duì)數(shù)學(xué)通竅、有數(shù)學(xué)頭腦”.學(xué)生在對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知過(guò)程中的思維方式主要有同化和順應(yīng)兩種.同化是指將新知轉(zhuǎn)化為已有舊知來(lái)認(rèn)識(shí)或理解,是一種類(lèi)比的知識(shí)遷移過(guò)程.如把圓的周長(zhǎng)看作是一條弧長(zhǎng),其圓心角是360°,再去思考圓心角是1°與n°的扇形的弧長(zhǎng),這種思維方式就是同化.順應(yīng)是當(dāng)新知無(wú)法與已有舊知相對(duì)接時(shí),就需要對(duì)新知進(jìn)行重新建模來(lái)認(rèn)識(shí)或理解的認(rèn)知方式.如圓的面積公式的推導(dǎo)過(guò)程是先把圓分割為一些面積相等的扇形,然后將這些扇形拼接為近似的長(zhǎng)方形,再引導(dǎo)學(xué)生想象并推理,分割的扇形越細(xì)小,拼接的圖形就越接近長(zhǎng)方形,最后利用長(zhǎng)方形的面積公式來(lái)計(jì)算圓的面積,這種“微格”的做法就是順應(yīng).扇形的面積能否用相同的方法來(lái)同化,是扇形面積公式推導(dǎo)的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié).

探究活動(dòng):探究扇形是圓的一部分及線(xiàn)動(dòng)成面.

(1)通過(guò)電子白板展示:用圓規(guī)在紙上畫(huà)一段弧,連接圓心與弧的兩端,形成一個(gè)扇形.然后讓學(xué)生自己嘗試作圓心角分別是30°,45°,60°,90°的扇形.

創(chuàng)設(shè)意圖：由觀(guān)察圖片和自己作圖得出扇形的概念,這種方法使得學(xué)生對(duì)新概念的理解較為深刻,為熟練判斷圖形是否為扇形以及對(duì)扇形進(jìn)行面積計(jì)算夯實(shí)基礎(chǔ).同時(shí),學(xué)生嘗試自己作圖,體會(huì)圓心角是30°,45°,60°,90°的扇形實(shí)質(zhì)上是半徑OQ繞著圓心O沿順時(shí)針(或逆時(shí)針)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中通過(guò)改變圓心角的度數(shù)而得到的.不難觀(guān)察到扇形面積的變化規(guī)律,即扇形的面積越大,其圓心角也越大.

(2)思考:

①半徑為OQ=r的圓的面積公式是什么?

②圓的面積可以看作是多少度的圓心角所對(duì)扇形的面積?

③圓心角為1°時(shí)所對(duì)的扇形的面積是多少?圓心角為n°時(shí)又是怎樣的呢?

創(chuàng)設(shè)意圖：通過(guò)類(lèi)比弧長(zhǎng)計(jì)算公式的探究過(guò)程,引導(dǎo)學(xué)生探究扇形面積計(jì)算公式,這是一種理性思維的過(guò)程.上述探究不再像求圓的面積那樣進(jìn)行“微觀(guān)”處理,而是讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)思想和方法的形成過(guò)程.在這一探究過(guò)程中,不僅促進(jìn)了學(xué)生同化思維的發(fā)展,也促進(jìn)了學(xué)生順應(yīng)思維的發(fā)展.

3 依托課堂知識(shí)對(duì)應(yīng)訓(xùn)練,發(fā)展建模思維

對(duì)知識(shí)的建模思維是一種新知類(lèi)化的過(guò)程,是將訓(xùn)練中所要解決的質(zhì)疑納入到學(xué)習(xí)的同類(lèi)知識(shí)結(jié)構(gòu)中去釋疑的思維活動(dòng).數(shù)學(xué)訓(xùn)練釋疑的過(guò)程,就是數(shù)學(xué)形式的類(lèi)化與演繹的過(guò)程,是思維拓展的過(guò)程[2].

課堂知識(shí)的對(duì)應(yīng)訓(xùn)練,是依據(jù)當(dāng)堂課的主要知識(shí)創(chuàng)設(shè)不同形式的數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展解題訓(xùn)練,其目的就是使學(xué)生將所要進(jìn)行的釋疑納入到原有的同類(lèi)知識(shí)結(jié)構(gòu)中去.換一句話(huà)說(shuō),課堂知識(shí)對(duì)應(yīng)訓(xùn)練的目的就是發(fā)展學(xué)生的類(lèi)化思維.創(chuàng)設(shè)課堂知識(shí)對(duì)應(yīng)訓(xùn)練的依據(jù)是對(duì)概念進(jìn)行多角度與內(nèi)涵方面的變化.如與扇形弧長(zhǎng)或面積有關(guān)的對(duì)應(yīng)訓(xùn)練,可以設(shè)置下列問(wèn)題.

訓(xùn)練1如圖1,在一個(gè)圓心角為45°的兩個(gè)同心扇形中,大的直徑為20 cm,小的直徑為10 cm,求陰影圖形的周長(zhǎng)和面積.

圖1

訓(xùn)練2如圖2,在邊長(zhǎng)為15 cm的正方形中作兩個(gè)半徑相同的扇形,且兩個(gè)扇形相切,求圖形中陰影部分的邊長(zhǎng)與面積.

圖2

訓(xùn)練3如圖3,以邊長(zhǎng)為10 cm的正三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心,邊長(zhǎng)的一半為半徑作三個(gè)相同的扇形,三個(gè)扇形的弧所圍成的圖形是圖中的陰影部分,求陰影部分圖形的周長(zhǎng)和面積.

圖3

創(chuàng)設(shè)意思：上面三個(gè)訓(xùn)練題,在形式方面都與扇形的周長(zhǎng)和面積相關(guān),訓(xùn)練1是圓心角是45°、半徑不同的同心扇形的組合,訓(xùn)練2是正方形與兩個(gè)圓心角為45°扇形的組合,訓(xùn)練3是正三角形與圓心角為60°的三個(gè)扇形的組合.在面積計(jì)算的內(nèi)涵方面,訓(xùn)練1是求兩扇形的面積之差,訓(xùn)練2是引導(dǎo)學(xué)生將扇形直徑轉(zhuǎn)化為圓所在正方形的對(duì)角線(xiàn)來(lái)計(jì)算,訓(xùn)練3則是正三角形邊長(zhǎng)的總量分割問(wèn)題.不論何種形式與內(nèi)涵,都要求學(xué)生將問(wèn)題類(lèi)化為扇形的知識(shí)來(lái)解決,而其中三個(gè)訓(xùn)練涵蓋的不同的類(lèi)化思維方式正是依托課堂知識(shí)對(duì)應(yīng)訓(xùn)練以發(fā)展學(xué)生思維能力的目標(biāo)所在.

4 延展知識(shí)視角,啟迪學(xué)生的創(chuàng)造性思維

創(chuàng)造性思維可以作為突破常規(guī)的方法來(lái)解決質(zhì)疑情境的思維活動(dòng).因?yàn)檫@是幫助學(xué)生構(gòu)建理性思維最重要的過(guò)程,構(gòu)建過(guò)程相當(dāng)于一種創(chuàng)造過(guò)程.如在課堂設(shè)置的訓(xùn)練1中,有學(xué)生利用相似比來(lái)計(jì)算兩個(gè)扇形的弧長(zhǎng),利用相似比的平方來(lái)計(jì)算兩個(gè)扇形的面積,這些方法都是一種創(chuàng)新思維.從某種意義上講,數(shù)學(xué)課程知識(shí)與原理的形成過(guò)程就是人們?cè)趯?shí)踐中發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的過(guò)程,解題過(guò)程中蘊(yùn)含的思維方法都足以啟迪學(xué)生的心智[3].

總之,在初中數(shù)學(xué)課堂上教師重在引導(dǎo),這樣才能更好地幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)思維.教師只要做一個(gè)有心人,悉心地把握發(fā)展學(xué)生的“思維點(diǎn)”,精心創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)知識(shí)的“質(zhì)疑點(diǎn)”,就一定能夠點(diǎn)燃思維的火花,讓學(xué)生的思維活躍起來(lái).