動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的解題探究

魏慶雪

? 廣東珠海市鳳凰中學(xué)

對(duì)于動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題,解題的思路比較多,如利用函數(shù)性質(zhì)、圖形性質(zhì)、點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)知識(shí)、圖形關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合等,解題時(shí)需要根據(jù)題目的特點(diǎn)選擇合適的思路.點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題是根據(jù)“將軍飲馬模型”轉(zhuǎn)化的,圖形關(guān)系則是根據(jù)圖形的全等或者相似而來(lái)的.本文中結(jié)合具體實(shí)例,探究初中數(shù)學(xué)中動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的解題方法.

1 利用函數(shù)性質(zhì)解決動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題

動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題通常比較復(fù)雜,難度較大,特別是求解最值問(wèn)題時(shí),利用函數(shù)性質(zhì)解題是常見(jiàn)的思路.在解題過(guò)程中,需要仔細(xì)審題,理解題意,明確線段、角之間的關(guān)系,設(shè)出相應(yīng)的參數(shù),表示出求解參數(shù)的表達(dá)式,之后根據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)性質(zhì)完成解答.在解題時(shí),最值與自變量有著直接關(guān)系,需要根據(jù)題意,確定自變量的范圍[1].

例1如圖1所示,矩形ABCD中,AB=10 cm,AD=6 cm,動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A開(kāi)始以1 cm/s的速度沿著AD向點(diǎn)D移動(dòng),另有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā),以2 cm/s的速度沿著DC向C點(diǎn)移動(dòng),設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為ts,當(dāng)S△DEF+S△ABE取最大值時(shí),t的值是( ).

圖1

分析：此題創(chuàng)設(shè)的情境并不十分復(fù)雜,根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度,可以得出DF=2AE,將點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化轉(zhuǎn)化成線段的長(zhǎng)度關(guān)系.根據(jù)已知條件中的參數(shù),設(shè)出AE的長(zhǎng)度,用AE表示出三角形的面積和,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問(wèn)題.

點(diǎn)評(píng)：此題根據(jù)矩形和三角形的性質(zhì)設(shè)計(jì)問(wèn)題,結(jié)合點(diǎn)的變化對(duì)三角形面積的影響,引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想一次函數(shù)、二次函數(shù)或者反比例函數(shù),結(jié)合特點(diǎn)寫(xiě)出函數(shù)表達(dá)式,進(jìn)而利用函數(shù)的性質(zhì)解題.考查學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的掌握和利用.

2 結(jié)合圖形性質(zhì)解決動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題

在求解動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題時(shí),利用圖形性質(zhì)是一種比較常見(jiàn)的思路.初中數(shù)學(xué)中圖形比較多,如三角形、正方形、長(zhǎng)方形、圓等,每種圖形有其特有的性質(zhì).在求解問(wèn)題時(shí),通過(guò)分析題目中的圖形,利用線段與角之間的關(guān)系,找出運(yùn)動(dòng)中的變量與不變量,明確解題突破點(diǎn).

例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A坐標(biāo)是(12,0),點(diǎn)B坐標(biāo)是(0,9),經(jīng)過(guò)點(diǎn)O作一個(gè)圓和AB相切,圓與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)P,Q,則線段PQ的最小值是( ).

分析：通過(guò)審題發(fā)掘題目中的隱藏信息.在圓運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,∠QOP=90°是不變的,圓和AB相切是不變的.根據(jù)圓的性質(zhì)分析,求解PQ的最小值就是求解動(dòng)圓直徑的最小值.結(jié)合已知條件,當(dāng)圓的直徑是三角形ABO中AB邊上的高時(shí),圓的直徑最小.

圖2

點(diǎn)評(píng)：此題將圖形與坐標(biāo)系結(jié)合,要求學(xué)生認(rèn)真審題,根據(jù)圓的性質(zhì)發(fā)掘隱含條件,如直徑對(duì)應(yīng)的圓周角為直角.通過(guò)這樣的方式,對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,完成題目的解答,考查學(xué)生對(duì)圖形性質(zhì)的掌握與應(yīng)用.

3 利用點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)解決動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題

在初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題中,利用點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)解題是一種有效的方式,“將軍飲馬模型”是具有代表性的問(wèn)題.在動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的求解中,根據(jù)題目條件選擇合適的點(diǎn),找出對(duì)稱(chēng)的線段,根據(jù)圖形性質(zhì)確定對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的問(wèn)題,作出輔助線,構(gòu)建相應(yīng)的圖形,利用圖形性質(zhì)和相關(guān)定理求解線段長(zhǎng)度[2].

圖3

分析：解答此題時(shí),根據(jù)“將軍飲馬模型”,找出點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),結(jié)合菱形的性質(zhì),可以確定對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在CD上,當(dāng)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與P,F三點(diǎn)共線時(shí),PE+PF最小.作出輔助線,構(gòu)建直角三角形,根據(jù)題目中的已知條件,求解出線段之和的最小值.

點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題源自于“將軍飲馬模型”.在解題時(shí),根據(jù)“將軍飲馬模型”,結(jié)合條件準(zhǔn)確找出點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),構(gòu)建相應(yīng)的圖形,利用圖形性質(zhì)和相關(guān)定理解題.如,此題中構(gòu)建直角三角形,利用勾股定理進(jìn)行求解.

4 分析圖形關(guān)系解決動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題

在解答一些初中動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題時(shí),可以根據(jù)圖形關(guān)系分析等量關(guān)系與比例關(guān)系,運(yùn)用平行線性質(zhì)、三角形全等與相似等知識(shí)思考解題思路.解答此種類(lèi)型題目時(shí),可以采用逆向推理的方式,從需要求解的問(wèn)題入手,分析需要的解題條件,作出相應(yīng)的輔助線,找出問(wèn)題與已知條件的聯(lián)系,明確問(wèn)題解答思路.

例4平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A坐標(biāo)為(3,4),點(diǎn)C坐標(biāo)為(x,0)且-2

分析：根據(jù)題意,利用平行線的性質(zhì),將角轉(zhuǎn)化到三角形中,表示出角的正切,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求解線段BG的最大值.根據(jù)題目已知條件,利用三角形相似的性質(zhì),找出線段之間的關(guān)系,完成問(wèn)題的求解.

圖4

點(diǎn)評(píng)：解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí),需要對(duì)圖形進(jìn)行觀察分析,利用輔助線構(gòu)建圖形,結(jié)合線段平行、三角形相似等知識(shí),對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析解答.主要考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與綜合利用.

5 結(jié)語(yǔ)

對(duì)于初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的解題教學(xué),教師應(yīng)當(dāng)結(jié)合具體例題,向?qū)W生展示解題思路與方法,借助圖形的變化,讓學(xué)生直觀了解數(shù)量關(guān)系.同時(shí),教師應(yīng)當(dāng)注重與學(xué)生的交流,創(chuàng)設(shè)良好的課堂環(huán)境,加深學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)體驗(yàn),幫助學(xué)生理解和掌握不同類(lèi)型問(wèn)題的解題方法,提高解題能力.