建知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 構(gòu)生長(zhǎng)路徑*
——以蘇科版數(shù)學(xué)“11.1生活中的不等式”教學(xué)為例

王競(jìng)進(jìn) 徐明悅

? 江蘇省建湖縣教育局教研室 ? 江蘇省鹽城市教育科學(xué)研究院

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022版)》(以下簡(jiǎn)稱“《課標(biāo)》”)教學(xué)建議中指出:“改變過于注重以課時(shí)為單位的教學(xué)設(shè)計(jì),推進(jìn)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì),體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系,以及學(xué)習(xí)內(nèi)容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關(guān)聯(lián).”[1]初中數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)是根據(jù)初中數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn),從整體角度把握單元課程內(nèi)容,突出內(nèi)容和過程的聯(lián)系性和整體性.把握好所教內(nèi)容單元的整體性,對(duì)內(nèi)容的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)能夠了如指掌,心中有一張“思維導(dǎo)圖”和“知識(shí)結(jié)構(gòu)圖”,把握學(xué)習(xí)的方向,形成知識(shí)生長(zhǎng)的一般觀念,從而使教學(xué)有的放矢,使學(xué)生掌握結(jié)構(gòu)化的、聯(lián)系緊密的、遷移性強(qiáng)的知識(shí),幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題,形成科學(xué)的思維習(xí)慣,發(fā)展核心素養(yǎng).本文中以蘇科版數(shù)學(xué)“11.1生活中的不等式”教學(xué)為例,以饗讀者.

1 教材分析

在小學(xué)階段已經(jīng)要求“理解符號(hào)<,=,>的含義,能用符號(hào)和詞語描述基本數(shù)的大小”,《課標(biāo)》的課程內(nèi)容實(shí)例2中指出:相等和不等是數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)系.在數(shù)量一樣多、較多和較少的具體情境中,引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)的相等和不等關(guān)系,知道可用符號(hào)=,>,<分別表示數(shù)與數(shù)之間的相等、大于和小于關(guān)系.“11.1生活中的不等式”是蘇科版《數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)第11章“一元一次不等式”的起始內(nèi)容,是在學(xué)習(xí)了一元一次方程和二元一次方程組的解法及其應(yīng)用的基礎(chǔ)上展開的.結(jié)合身邊的具體實(shí)際問題,抽象歸納出不等式的概念,滲透符號(hào)意識(shí)、數(shù)學(xué)建模觀念,并為后續(xù)不等式知識(shí)的學(xué)習(xí)探究活動(dòng)奠定基石;應(yīng)用類比思想,充分發(fā)揮正向遷移的積極作用,整體感知不等式解集的意義、不等式組的概念以及不等式的基本性質(zhì);初步嘗試不等式的解法.從單元整體的視角引導(dǎo)學(xué)生整體感受本章的知識(shí)網(wǎng)絡(luò),構(gòu)建知識(shí)發(fā)生、生長(zhǎng)的一般路徑.

2 教學(xué)目標(biāo)

(1)了解一元一次不等式及其相關(guān)概念,體會(huì)不等式是刻畫實(shí)際生活中不等關(guān)系的一種有效的數(shù)學(xué)模型;

(2)體驗(yàn)不等式知識(shí)框架結(jié)構(gòu)的形成過程,培養(yǎng)類比的學(xué)習(xí)方法;

(3)經(jīng)歷初步探索不等式性質(zhì)的過程,獲得學(xué)習(xí)一元一次不等式的方法和經(jīng)驗(yàn),體會(huì)猜想、驗(yàn)證、類比是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般方法.

3 教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1：情境創(chuàng)設(shè),導(dǎo)入新課.

同學(xué)們,請(qǐng)你用數(shù)學(xué)的眼光看大屏幕中的圖片,對(duì)于這些生活中的同類量,你能用數(shù)量之間的關(guān)系描述它們嗎?

教學(xué)說明：本環(huán)節(jié),創(chuàng)設(shè)學(xué)生非常熟悉的生活情境,引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光進(jìn)行觀察、比較、分析、歸納,通過小組合作、交流、概括,發(fā)現(xiàn)日常生活中的同類量之間,不僅僅存在著相等關(guān)系,還存在著大量的不等關(guān)系,從而引入課題.課堂上,學(xué)生興趣盎然地參與學(xué)習(xí)活動(dòng),學(xué)習(xí)積極性高.

環(huán)節(jié)2：再現(xiàn)網(wǎng)絡(luò),初步感知.

同學(xué)們,當(dāng)講臺(tái)上的天平平衡時(shí),在天平的左盤中放有兩個(gè)相同的小球和一個(gè)1 g的砝碼,右盤中放有一個(gè)5 g的砝碼.你能根據(jù)天平現(xiàn)在的狀態(tài)(如圖1)設(shè)計(jì)一個(gè)問題嗎?在解決這個(gè)問題的過程中,運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)?

圖1

教學(xué)說明：本環(huán)節(jié),從學(xué)生原有的認(rèn)知水平出發(fā),以學(xué)生非常熟悉的天平平衡問題為載體,重新經(jīng)歷用一元一次方程講解問題的過程,并引導(dǎo)學(xué)生再現(xiàn)“等式—方程—方程的解—等式的性質(zhì)—解方程—應(yīng)用”的知識(shí)網(wǎng)絡(luò),為進(jìn)一步學(xué)習(xí)新知鋪墊類比點(diǎn).

環(huán)節(jié)3：活動(dòng)探究,類比生長(zhǎng)路徑.

活動(dòng)探究1如果老師將天平中的兩個(gè)相同小球換成另外兩個(gè)相同的小球(與原來兩個(gè)小球質(zhì)量不相同),此時(shí),天平還平衡嗎?意味著天平左邊物體的質(zhì)量與右邊的質(zhì)量具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?你能用數(shù)學(xué)符號(hào)表示出來嗎?

活動(dòng)探究2你能舉出生活中其他具有類似數(shù)量關(guān)系的實(shí)例嗎?你還能用數(shù)學(xué)式子表示出來嗎?

教學(xué)說明：數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué),要注重知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)和延伸點(diǎn).該探究活動(dòng)中,引導(dǎo)學(xué)生觀察天平從平衡到不平衡的生活實(shí)例現(xiàn)象,在師生互動(dòng)的過程中歸納、抽象出不等式的概念,同時(shí)也拉近了師生間的距離,營(yíng)造出輕松、愉悅的學(xué)習(xí)氛圍,體現(xiàn)了生活中處處有數(shù)學(xué),感受到學(xué)習(xí)“生活中的不等式”的必要性.

活動(dòng)探究3用數(shù)學(xué)式子表示下列數(shù)量之間的關(guān)系:

(1)一個(gè)邊長(zhǎng)為am的正方形的周長(zhǎng)大于10 m;

(2)一輛48座的客車載有游客x人,中途上來5人后,車內(nèi)仍有空座位;

(3)小麗種了一棵高70 cm的小樹,假設(shè)小樹平均每周長(zhǎng)高0.5 cm,x周后這棵小樹的高度不低于100 cm;

(4)m的相反數(shù)不大于5.

教學(xué)說明：類比是一種從已知到未知,探求和發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的富有成效的思維方法.該探究活動(dòng)環(huán)節(jié),設(shè)計(jì)的幾個(gè)問題涉及了四個(gè)常用不等號(hào),且只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的次數(shù)都是1,由此引導(dǎo)學(xué)生類比一元一次方程的概念,建立一元一次不等式的概念,幫助學(xué)生建立符號(hào)意識(shí)和建模思想.

活動(dòng)探究4剛剛學(xué)習(xí)了不等式和一元一次不等式的概念,你認(rèn)為還將學(xué)習(xí)一元一次不等式的哪些知識(shí)?

教學(xué)說明：該活動(dòng)從學(xué)生已有認(rèn)知水平出發(fā),在認(rèn)識(shí)一元一次不等式概念的基礎(chǔ)上,設(shè)置了對(duì)將要學(xué)習(xí)內(nèi)容的猜想,引導(dǎo)學(xué)生在師生、生生互動(dòng)的交流氛圍中應(yīng)用類比方法,大膽猜想將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容,逐步完善并形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò),即不等式—一元一次不等式—不等式的解—不等式的性質(zhì)—解不等式—應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的一般觀念探求、驗(yàn)證新知的能力.

活動(dòng)探究5(1)x=2是方程2x+1=5的解嗎?還記得方程解的概念嗎?

(2)對(duì)于剛剛由天平的狀態(tài)獲得的不等式2x+1>5,哪些數(shù)能使這個(gè)不等式成立呢?

教學(xué)說明：創(chuàng)設(shè)以問題為導(dǎo)向的互動(dòng)式、啟發(fā)式、探究式、體驗(yàn)式等課堂教學(xué),能夠激發(fā)學(xué)生有深度地思考問題.本活動(dòng)環(huán)節(jié),先讓學(xué)生解答問題(1),引發(fā)學(xué)生對(duì)一元一次方程的解的復(fù)習(xí)與回顧,再結(jié)合天平不平衡時(shí)所蘊(yùn)含的不等式,確定使該不等式成立時(shí)的數(shù),進(jìn)而類比探究,思考并形成一元一次不等式的解、解集等概念,分析一元一次不等式的解與一元一次方程的解的不同點(diǎn),揭示其各自的特殊性.

活動(dòng)探究6(1)解2x+1=5的依據(jù)是等式的性質(zhì),你還記得嗎?

(2)你能嘗試解2x+1>5?它的依據(jù)是什么?

教學(xué)說明：從數(shù)學(xué)學(xué)科整體的內(nèi)在結(jié)構(gòu)、核心內(nèi)容和思想方法上整體把握和認(rèn)識(shí)教學(xué)內(nèi)容,使數(shù)學(xué)教學(xué)成為一個(gè)融數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、方法、思想、觀念于一體的整體,發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).本活動(dòng)環(huán)節(jié),以一元一次方程的求解依據(jù)為載體,激發(fā)學(xué)生對(duì)一元一次不等式2x+1>5的解進(jìn)行猜想、嘗試、驗(yàn)證,再引導(dǎo)學(xué)生確定一元一次不等式2x+1>5的解滿足的一般特征,并用符號(hào)加以表示,進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合不等式的解集,嘗試、探究發(fā)現(xiàn)解一元一次不等式的依據(jù)及其與等式性質(zhì)的不同點(diǎn)、特殊之處,即不等式的基本性質(zhì)1和性質(zhì)2,從而形成一個(gè)整體的認(rèn)識(shí).

環(huán)節(jié)4：生活應(yīng)用,感受價(jià)值.

同學(xué)們,請(qǐng)觀察圖2,你知道飲用天然水特征性指標(biāo)嗎?請(qǐng)用適當(dāng)?shù)牟坏仁郊右员硎?

圖2

教學(xué)說明：閱讀身邊生活用品說明書中的相關(guān)數(shù)據(jù),并靈活用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行表達(dá),不僅可以增強(qiáng)分析問題、解決問題的能力,還能夠體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.本環(huán)節(jié),利用生活中極其常見的飲用天然水,首先讓學(xué)生閱讀該表中的相關(guān)數(shù)據(jù),然后分析這些數(shù)據(jù)的實(shí)際意義,再用適當(dāng)?shù)牟坏仁郊右员硎?同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生觀察身邊其他物品說明書中的數(shù)據(jù)信息,也用適當(dāng)?shù)牟坏仁郊右员硎?這樣對(duì)現(xiàn)實(shí)實(shí)例的分析,能夠引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界,用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界,用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.

環(huán)節(jié)5：課內(nèi)檢測(cè),及時(shí)矯正.

檢測(cè)1完成課本第119頁“練一練”中的第2題.

檢測(cè)2完成課本第126頁中的“習(xí)題”的第2題.

教學(xué)說明：課內(nèi)對(duì)學(xué)生所學(xué)知識(shí)進(jìn)行檢測(cè),是課堂教學(xué)優(yōu)化的重要手段,是提高課堂效益行之有效的方法.本環(huán)節(jié),通過學(xué)生自主、獨(dú)立完成課本中對(duì)應(yīng)的兩道習(xí)題,小組內(nèi)同學(xué)互相批閱、矯正,既能夠鞏固和檢測(cè)本節(jié)課所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí),也能夠讓學(xué)生感受如何根據(jù)實(shí)際問題分析并正確列出不等式,幫助學(xué)生體會(huì)列不等式的步驟,為后面學(xué)習(xí)用一元一次不等式解決問題做好鋪墊.

環(huán)節(jié)6：歸納小結(jié),反思提升.

(1)本節(jié)課,你學(xué)到了哪些知識(shí)?

(2)本節(jié)課,讓你感受最深的是什么?

(3)課后你準(zhǔn)備對(duì)哪方面繼續(xù)進(jìn)行研究?

(4)還有哪些困惑?此外你還知道了什么?

教學(xué)說明：新穎的小結(jié)方式,可以激發(fā)學(xué)生主動(dòng)參與的意識(shí).讓學(xué)生結(jié)合切身體會(huì)進(jìn)行歸納小結(jié),這樣能充分體現(xiàn)個(gè)體差異,能夠?yàn)槊恳粋€(gè)學(xué)生創(chuàng)設(shè)在師生互動(dòng)中分享經(jīng)驗(yàn)的機(jī)會(huì).同時(shí),讓學(xué)生在課堂中自主歸納、反思提升,有助于學(xué)生梳理知識(shí),明白前后知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系,更深刻地掌握所學(xué)知識(shí),避免了學(xué)習(xí)過程中“只見樹木,不見森林”的現(xiàn)象,這樣既能培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力,也可提高學(xué)生的思維品質(zhì).

環(huán)節(jié)7：拓展思維,布置作業(yè).

(1)我們類比一元一次方程學(xué)習(xí)的一般路徑,整體感知了一元一次不等式學(xué)習(xí)的一般路徑,請(qǐng)?zhí)剿饕辉淮尾坏仁浇M學(xué)習(xí)的一般路徑.老師希望同學(xué)們?cè)诙嗖实臄?shù)學(xué)世界中享受快樂,收獲滿滿!

(2)課后完成課本第119頁習(xí)題第2,3題.

4 教學(xué)反思

4.1 以整體觀的視角建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

《課標(biāo)》中教學(xué)建議明確指出:“強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解,關(guān)注數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實(shí)實(shí)際背景,引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)概念、原理及法則之間的關(guān)聯(lián)處為切入點(diǎn),建立起有意義的知識(shí)結(jié)構(gòu).”[1]因此,對(duì)課程內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合時(shí),需要重視知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的形成.如,在本節(jié)課教學(xué)中,先以問題導(dǎo)學(xué),引導(dǎo)學(xué)生回顧一元一次方程的知識(shí),再現(xiàn)“等式—方程—方程的解—等式的性質(zhì)—解方程—應(yīng)用”的知識(shí)網(wǎng)絡(luò),進(jìn)而應(yīng)用類比的方法,不斷完善、形成“不等式—一元一次不等式—不等式的解—不等式的性質(zhì)—解不等式—應(yīng)用”的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).這樣能夠讓學(xué)生對(duì)一個(gè)章節(jié)或一個(gè)單元的知識(shí)有一個(gè)系統(tǒng)的理解,知道本章節(jié)或本單元在初中數(shù)學(xué)中的地位以及與前面學(xué)過的章節(jié)和后續(xù)章節(jié)的聯(lián)系,讓學(xué)生從整體上感受到“為什么學(xué)”“怎么學(xué)”“學(xué)什么”,進(jìn)而促使知識(shí)、能力、素養(yǎng)等方面都得到充分發(fā)展[2].

4.2 以整體觀的視角構(gòu)建知識(shí)的生長(zhǎng)路徑

實(shí)施單元整體教學(xué)不是某一單元或章節(jié)內(nèi)容的傳輸,而是對(duì)相關(guān)核心知識(shí)進(jìn)行統(tǒng)籌重組和優(yōu)化,引領(lǐng)學(xué)生逐步有序地經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展及加工過程,感悟知識(shí)或結(jié)構(gòu)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法和一般觀念下的知識(shí)生長(zhǎng)路徑,進(jìn)而凸現(xiàn)某一單元或章節(jié)內(nèi)容的整體概貌,而不是所有內(nèi)容都深入剖析.如,在本節(jié)課教學(xué)中,類比一元一次方程的知識(shí)點(diǎn),從不等式的概念出發(fā),逐步生長(zhǎng)出一元一次不等式、不等式的解及其解集、不等式的性質(zhì)、解不等式及其應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn),從而讓學(xué)生在構(gòu)建知識(shí)的生長(zhǎng)路徑的過程中,理清知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系,形成完整的知識(shí)體系和更加堅(jiān)固的知識(shí)結(jié)構(gòu).

4.3 基于“三個(gè)理解”進(jìn)行整體設(shè)計(jì)

在“理解數(shù)學(xué)”“理解教材”“理解學(xué)生”的基礎(chǔ)上對(duì)教材進(jìn)行整體設(shè)計(jì),以數(shù)學(xué)內(nèi)部的邏輯關(guān)系為切入點(diǎn),設(shè)置具有生長(zhǎng)性、連貫性的數(shù)學(xué)活動(dòng),如本節(jié)課中,以天平的平衡與不平衡現(xiàn)象為載體,引入生活中存在著相等與不相等的數(shù)量關(guān)系的現(xiàn)象,引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題,從而在經(jīng)歷和體驗(yàn)不等式相關(guān)知識(shí)的生長(zhǎng)、發(fā)展過程中,領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的研究?jī)?nèi)容、研究路徑和研究方法,凸現(xiàn)了“為什么學(xué)”“怎么學(xué)”“學(xué)什么”的價(jià)值,并培養(yǎng)學(xué)生的“三會(huì)”“四能”,提升學(xué)科素養(yǎng)的育人目標(biāo).