立足整體 注重聯(lián)系 發(fā)展素養(yǎng)*
——以“幾何圖形初步”復(fù)習(xí)教學(xué)為例

郭寶先 楊麗燕

? 廣東省江門市新會(huì)尚雅學(xué)校

古語曰:“不謀萬世者,不足謀一時(shí);不謀全局者,不足謀一域.”“謀全局”就是站在全局的角度整體思考;“謀萬世”就是用發(fā)展的眼光來考慮.數(shù)學(xué)教學(xué)也是如此[1].下面筆者以人教版教材七年級(jí)上冊(cè)第四章“幾何圖形初步”復(fù)習(xí)教學(xué)為例,談?wù)勅绾瘟⒆阏w,注重聯(lián)系,發(fā)展核心素養(yǎng).

1 復(fù)習(xí)目標(biāo)及教學(xué)設(shè)計(jì)思路

1.1 確定目標(biāo),培養(yǎng)系統(tǒng)思維

(1)從實(shí)物中抽象出幾何圖形,了解二者的關(guān)系,認(rèn)識(shí)點(diǎn)、線、面、體的有限與無限;

(2)在平面圖形和立體圖形相互轉(zhuǎn)化的過程中,發(fā)展空間觀念和幾何直觀;

(3)理解直線、射線、線段、角、余角和補(bǔ)角的概念,了解有關(guān)性質(zhì),并能初步應(yīng)用,提高觀察能力、運(yùn)算能力,培養(yǎng)推理能力.

1.2 教學(xué)設(shè)計(jì)思路

本節(jié)復(fù)習(xí)課采用先整體感知、再分步學(xué)習(xí)、最后整體構(gòu)建的教學(xué)過程,知識(shí)點(diǎn)邏輯連貫,從知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí),到思想方法總結(jié),再到核心素養(yǎng)的培養(yǎng),讓學(xué)生在這個(gè)過程中形成完整和系統(tǒng)的認(rèn)知,培養(yǎng)整體觀和全局觀的系統(tǒng)思維.

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2 教學(xué)片段賞析

2.1 整體感知,從局部到全局

整體感知,是框架性的認(rèn)識(shí).從結(jié)構(gòu)的角度形成整個(gè)單元的認(rèn)知地圖,有助于學(xué)生站在系統(tǒng)高度認(rèn)識(shí)本章知識(shí)之間的聯(lián)系,了解各知識(shí)的來路、去路,激發(fā)“縱觀全局,盡在把握”的自信,本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖如圖1.

圖1

2.2 激發(fā)興趣,從生活現(xiàn)象到數(shù)學(xué)抽象

播放視頻《3D打印:未來可期》,從3D打印出的食物、生活用品、建筑等實(shí)物中抽象出幾何圖形,科學(xué)情境吸引學(xué)生注意力,喚起求知欲,點(diǎn)燃學(xué)生思維火花,也為活動(dòng)1、情境1和情境2做了鋪墊.

2.3 溫故知新,辯證思維

章建躍博士指出,培養(yǎng)思維是發(fā)展核心素養(yǎng)的關(guān)鍵.單元復(fù)習(xí)課要以本單元知識(shí)間的聯(lián)系為基礎(chǔ),對(duì)本單元有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)和感知,運(yùn)用辯證思維,以動(dòng)態(tài)發(fā)展的眼光來看本單元.

環(huán)節(jié)1：辨析圖形,高階思維.

活動(dòng)1：長(zhǎng)方體與正方體是生活中常見的立體圖形,它們有什么關(guān)系?

設(shè)計(jì)意圖：由辨析長(zhǎng)方體、立方體,復(fù)習(xí)展開圖、三視圖及點(diǎn)線面體,發(fā)展抽象能力.然后觀看正方體、長(zhǎng)方體三視圖、展開圖等四個(gè)在線畫板演示,培養(yǎng)學(xué)生空間觀念、幾何直觀、高階思維.

環(huán)節(jié)2：線段的中點(diǎn),從生活觀察到數(shù)學(xué)思考.

情境1如圖2,一只薩摩斯螞蟻在正方體的頂點(diǎn)A發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)C處有一條小蟲子,它沿表面爬行,怎樣爬行路線最短?

圖2

(1)如何解決這類問題?

(2)如圖3,點(diǎn)E的位置具有什么特征?還有類似的點(diǎn)嗎?說說你的理由.

圖3

設(shè)計(jì)意圖：繼續(xù)觀察立方體,思考螞蟻爬行路線最短問題.另外,通過將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形解決問題,從而引入線段的中點(diǎn).通過E為線段AC的中點(diǎn)的探究,把學(xué)生的思考引向深入.

活動(dòng)2：線段的中點(diǎn).

直線l上有A,B兩點(diǎn),C是直線l上一動(dòng)點(diǎn),M是線段AB的中點(diǎn),N是線段BC的中點(diǎn).

(1)這里有射線、線段嗎?為什么?

(2)如果有線段,共有幾條?

(3)你能用一句話概括直線、射線、線段之間的關(guān)系嗎?

(4)①若AB=5,BC=3,探究線段MN與AC的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;

②若AB=a,BC=b,探究線段MN與AC的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;

③你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?

設(shè)計(jì)意圖：將直線、射線、線段及三者之間的關(guān)系,還有線段條數(shù)、雙中點(diǎn)模型、分類討論、數(shù)形結(jié)合等串聯(lián)起來,一題多聯(lián).問題(4)中,②是①的變式,體現(xiàn)從特殊到一般,分類討論的不同達(dá)到深化思維的目的;二者規(guī)律的不變,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì),即以變式為載體,從變化中抓不變.學(xué)生觀看線段雙中點(diǎn)模型的網(wǎng)絡(luò)畫板演示,直觀感受動(dòng)線段MN隨點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)而不斷變化,但是線段MN與AC的數(shù)量關(guān)系始終不變,由此感悟有限與無限的哲學(xué)思想.

環(huán)節(jié)3：角平分線,從生活描述到數(shù)學(xué)表達(dá).

情境2如圖4,這只薩摩斯螞蟻在正方體的頂點(diǎn)A又發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)B有一條小蟲子,它沿表面怎樣爬行路線最短?

圖4

如圖5,線段AB具有什么特征?說說你的理由.

圖5

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生繼續(xù)觀察螞蟻的爬行路線,思考線段AB的特征,這是一個(gè)開放性問題,讓學(xué)生體驗(yàn)用不同的數(shù)學(xué)語言表達(dá)角平分線的方式.另外,通過正方形對(duì)角線的探究引入角的平分線.

活動(dòng)3：角的平分線.

如圖6,O是直線AB上的一點(diǎn),OD是∠AOC的平分線,OE是∠BOC的平分線.

圖6

(1)若∠AOD=14°,求∠DOE,∠BOE的度數(shù).

(2)若∠AOD=α,求∠DOE,∠BOE的度數(shù).

(3)∠AOD與∠BOE是什么關(guān)系?還有幾對(duì)這種關(guān)系的角?

(4)∠COD與∠BOD是什么關(guān)系?還有幾對(duì)這種關(guān)系的角?

(5)判斷OD與OE的位置關(guān)系,并說明理由.

(6)由(5)的結(jié)論,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?

(7)如圖7,若OF是∠DOE外一條射線,且OC平分∠EOF,OG平分∠DOF.

圖7

①圖7中的射線構(gòu)成了多少個(gè)小于平角的角?

②若∠DOF=40°,求∠COG的度數(shù).

③若∠DOF=β(0°<β<90°),則∠COG的度數(shù)是否變化?若不變,請(qǐng)說明理由;若變化,表示其角度.

(8)由(7)的結(jié)論,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?

(9)雙角平分線、雙中點(diǎn)模型有何聯(lián)系?

設(shè)計(jì)意圖：一題多用,將角的關(guān)系、角的個(gè)數(shù),邊、角的變化規(guī)律,雙角平分線模型,以及分類討論、數(shù)形結(jié)合、化動(dòng)為靜等進(jìn)行系統(tǒng)復(fù)習(xí).問題(7)中,③是②的變式,但規(guī)律相同,體現(xiàn)了對(duì)動(dòng)態(tài)問題動(dòng)中抓靜的本質(zhì).然后觀看雙角平分線模型的網(wǎng)絡(luò)畫板演示,感受角的變化,但是∠DOE與∠AOB,∠COG與∠DOF的數(shù)量關(guān)系始終不變,從而感悟有限與無限的思想.學(xué)生通過雙中點(diǎn)模型與雙角平分線模型的辨析,厘清了二者的異同.

2.4 整體構(gòu)建,知來路明去路

心理學(xué)家潘菽指出,知識(shí)系統(tǒng)化就是理解各部分知識(shí)間的關(guān)系,有利于用完整的知識(shí)去理解新知識(shí),觸類旁通就是知識(shí)系統(tǒng)化在理解中的表現(xiàn)[2].圖8是課堂教學(xué)中動(dòng)態(tài)生成的板書.線段的中點(diǎn)、角的平分線是“學(xué)會(huì)結(jié)構(gòu)”階段,三角形、四邊形等后續(xù)學(xué)習(xí)是“運(yùn)用結(jié)構(gòu)”階段.明白了研究的套路,學(xué)習(xí)就猶如有了導(dǎo)航儀.

圖8 整體建構(gòu)圖

2.5 分層測(cè)評(píng),知數(shù)據(jù)明改進(jìn)

必做題:教材第148頁復(fù)習(xí)鞏固第6題.

選做題:教材第149頁綜合運(yùn)用第12題.

設(shè)計(jì)意圖：必做題是線段和與差的實(shí)際應(yīng)用,針對(duì)預(yù)習(xí)檢測(cè)的薄弱點(diǎn)3與本節(jié)課重點(diǎn)線段的運(yùn)算;選做題是折疊、角平分線、平角、直角、邏輯推理等的綜合運(yùn)用,針對(duì)預(yù)習(xí)檢測(cè)的薄弱點(diǎn)5與本節(jié)課重點(diǎn)角的運(yùn)算.尊重學(xué)生差異的同時(shí),也要根據(jù)學(xué)情反饋來以學(xué)評(píng)教,改進(jìn)教學(xué).

3 教學(xué)思考

通過合適的主題整合教學(xué)內(nèi)容,幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光來看待問題,形成科學(xué)的思維習(xí)慣,發(fā)展核心素養(yǎng)[3].第四章“幾何圖形初步”復(fù)習(xí)課中的三個(gè)情境、三個(gè)活動(dòng)以及線段的中點(diǎn)、角的平分線的三種語言、三個(gè)作用等體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“三會(huì)”.

3.1 用數(shù)學(xué)眼光觀察——情境聯(lián)系,引出研究對(duì)象

引入的視頻《3D打印:未來可期》,讓學(xué)生感受到世界因圖形而多姿多彩.在科學(xué)情境的基礎(chǔ)上,將正方體作為情境1和情境2.三個(gè)情境讓學(xué)生的抽象能力、空間觀念及幾何直觀得到培養(yǎng),逐步養(yǎng)成從數(shù)學(xué)角度觀察現(xiàn)實(shí)世界的意識(shí)與習(xí)慣,發(fā)展好奇心、想象力和創(chuàng)新意識(shí)[3].

3.2 用數(shù)學(xué)思維思考——縱橫聯(lián)系,探究研究對(duì)象

(1)知識(shí)聯(lián)系.預(yù)習(xí)檢測(cè)暴露學(xué)生解決應(yīng)用性、綜合性問題的弱點(diǎn),三個(gè)活動(dòng)設(shè)計(jì)、堂測(cè)的設(shè)計(jì)為之補(bǔ)漏;活動(dòng)1辨析正方體與長(zhǎng)方體,借助網(wǎng)絡(luò)畫板,將三視圖、展開圖、點(diǎn)線面體緊密聯(lián)系起來;活動(dòng)2的問題串,將直線、射線、線段的概念及其關(guān)系,線段條數(shù)、運(yùn)算(雙中點(diǎn)模型)、規(guī)律探索等融為一體;活動(dòng)3的問題鏈,讓角的個(gè)數(shù)、運(yùn)算、關(guān)系(互余、互補(bǔ))、雙角平分線模型等渾然一體.

(2)方法聯(lián)系.情境1中螞蟻爬行路徑最短的問題,將立體圖形與平面圖形緊密聯(lián)系;類比線段的研究經(jīng)驗(yàn)(線段條數(shù)、和差、中點(diǎn)、長(zhǎng)度,對(duì)稱性,數(shù)形結(jié)合、分類討論),建構(gòu)研究角的整體框架;類比雙中點(diǎn)模型學(xué)習(xí)雙角平分線模型.研究對(duì)象在變,但思想方法不變,研究套路不變.

(3)邏輯聯(lián)系.從整體的視角,以螞蟻爬行為縱軸,串聯(lián)了整體感知、分步學(xué)習(xí)、整體建構(gòu);以幾何圖形的研究方法大概念為橫軸,聯(lián)結(jié)了研究思路、內(nèi)容、方法.研究思路是從生活中抽象出圖形,從概念、特例、性質(zhì)等方面探究,再解決問題,體現(xiàn)源于生活,用于生活,最后從特殊到一般,再去研究組合圖形,環(huán)環(huán)相扣,系統(tǒng)化.研究?jī)?nèi)容從整體到部分,以概念的抽象與概括為起點(diǎn),以符號(hào)語言、圖形語言為紐帶,探索其性質(zhì),前后聯(lián)系,左右貫通,結(jié)構(gòu)化.由線到角是從簡(jiǎn)單到復(fù)雜,步步推進(jìn),邏輯嚴(yán)謹(jǐn),體系化.

在經(jīng)歷線段的中點(diǎn)、角的平分線規(guī)律“再發(fā)現(xiàn)”的過程中,學(xué)生運(yùn)算能力、推理能力得到培養(yǎng),并學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方法探究其他問題,初步養(yǎng)成講道理、有條理的思維品質(zhì),逐步形成理性精神[3].

3.3 用數(shù)學(xué)語言表達(dá)——知行合一,交流與應(yīng)用

幾何圖形語言就是用“數(shù)”(大小)與“形”(形狀、位置關(guān)系)表示研究對(duì)象的元素及相關(guān)元素的關(guān)系,并用符號(hào)語言表達(dá),再運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算和推理解決問題.它是三種數(shù)學(xué)語言的一體化.

教學(xué)中,學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)語言描述三個(gè)情境,會(huì)用說理、運(yùn)算、推理解決三個(gè)活動(dòng)中的問題,會(huì)在小組合作、展示中用三種數(shù)學(xué)語言表達(dá)與交流.

教學(xué)中,學(xué)生用三種數(shù)學(xué)語言描述了線段中點(diǎn)與角平分線的數(shù)量、位置關(guān)系.學(xué)習(xí)中,學(xué)生積累了證明邊或者角相等、倍分等經(jīng)驗(yàn).從解決綜合性、應(yīng)用性問題中,解決雙中點(diǎn)、雙角平分線模型等高通路遷移問題.學(xué)生在運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)推理解決問題的過程中建立模型觀念.