逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

張晶晶

摘要：逆向思維是初中學(xué)生不可或缺的一項(xiàng)思維能力，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn).本文中分析了逆向思維在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的重要性，介紹了逆向思維能力在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用實(shí)例，并提出了學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)策略.

關(guān)鍵詞：逆向思維；初中數(shù)學(xué)；實(shí)踐

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，包括會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界[1].根據(jù)思維方向的順、逆之別，又可把數(shù)學(xué)思維分為正向思維和逆向思維[2].因此逆向思維是數(shù)學(xué)思維的重要組成部分，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn).培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，使其能夠靈活地分析和解決數(shù)學(xué)問題是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的本質(zhì)要求.

1 逆向思維的含義

逆向思維是相對(duì)于順向思維而言的.在思考數(shù)學(xué)問題時(shí)，按通常思維的方向進(jìn)行思維稱為正向思維，而按照相反方向進(jìn)行的思維稱為逆向思維.逆向思維是一種發(fā)散性思維.在解決問題時(shí)，采用逆向思維，往往能打破常規(guī)的思維模式，更容易找到解題思路.

2 培養(yǎng)學(xué)生逆向思維在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性

根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知階段理論，初中學(xué)生正處于形式運(yùn)算階段，是形成推理能力的關(guān)鍵時(shí)期，而推理能力是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)思維的主要表現(xiàn)之一.作為數(shù)學(xué)思維重要組成部分的逆向思維，在幫助學(xué)生深入理解學(xué)科內(nèi)容、靈活選擇數(shù)學(xué)方法、開拓思維空間方面起著重要作用.

2.1 有助于學(xué)生深入理解學(xué)科內(nèi)容

相比于小學(xué)階段對(duì)經(jīng)驗(yàn)感悟的重視，初中階段更側(cè)重于對(duì)抽象概念的理解.如果學(xué)生只按常規(guī)思維理解概念，往往不夠深刻，在解題時(shí)會(huì)出現(xiàn)思維誤區(qū)，而逆向思維能夠幫助學(xué)生從反面理解，不僅知道什么是對(duì)的，而且知道什么是錯(cuò)的，從而掃除理解上的盲點(diǎn)，更加全面深入地理解概念的內(nèi)涵和外延.除了概念理解，逆向思維對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)公式、定理等數(shù)學(xué)內(nèi)容都起著重要作用.

2.2 有助于學(xué)生靈活選擇數(shù)學(xué)方法

在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，經(jīng)常有多種不同的方法都能解決同一個(gè)問題，但不同的數(shù)學(xué)方法所對(duì)應(yīng)的解題難度和效率是不同的.逆向思維是一種”反其道而行之”的思維，可以幫助學(xué)生從結(jié)果入手分析問題或從問題的反面尋求解題方法，往往能簡(jiǎn)化解題過程，提升學(xué)生思維的敏捷性，提高解題效率[3].

2.3 有助于開拓學(xué)生的思維空間

培養(yǎng)逆向思維通常有兩種方式，一種是把過程反過來思考，另一種是把結(jié)果反過來思考.而無論哪種方式都有利于學(xué)生打破思維定勢(shì)，從不同的角度看待問題，從不同的方向思考問題，破除了思維的單一性，拓展了思維空間，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的重要途徑.

3 逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

3.1 利用逆向思維找到解題突破口

初中生的思維能力還處于發(fā)展時(shí)期，在實(shí)際教學(xué)中，教師如果難以幫助學(xué)生建立解題模型，那么學(xué)生也就很難形成相應(yīng)的解題思路.因此，教師要找準(zhǔn)問題的切入點(diǎn)，以更好地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行逆向思考.初中數(shù)學(xué)中存在許多幾何證明問題，而幾何證明是培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力的關(guān)鍵.在教學(xué)中，教師要抓住材料和載體的作用，引導(dǎo)學(xué)生探究，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力.

例1 （北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材“圖形的相似”一道課后題）如圖1，在△ABC中，D是邊AC上的一點(diǎn)，∠CBD的平分線交AC于點(diǎn)E，且AE=AB.求證AE2=AD＼5AC.

本題運(yùn)用正向思維由條件出發(fā)分析問題難以找到證明思路，但從問題出發(fā)運(yùn)用逆向思維卻很容易想到將結(jié)論看成線段的比例關(guān)系，而線段作為三角形的

3.2 利用逆向思維簡(jiǎn)化解題過程

數(shù)學(xué)逆向思維具有靈活性的特點(diǎn)[4].在解決問題的過程中，有一些問題利用正向思維從條件入手也可以解決，但過程比較繁瑣，學(xué)生容易因?yàn)橛?jì)算量大或步驟過多而出錯(cuò).這時(shí)從問題入手，利用逆向思維往往會(huì)極大地簡(jiǎn)化解題過程，提高解題的正確率.

3.3 利用逆向思維巧解證明問題

在數(shù)學(xué)解題方法中，反證法是體現(xiàn)逆向思維的重要方法.反證法是先假設(shè)命題結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立.由于反證法需要嚴(yán)密的邏輯推理以及對(duì)已知條件、已知定理等的熟練掌握和靈活運(yùn)用，因此學(xué)習(xí)運(yùn)用反證法對(duì)初中學(xué)生的邏輯思維能力和解決問題的能力都有很大的幫助.

例3 （北師大版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材“平行線的性質(zhì)”一節(jié)中利用反證法證明定理“兩直線平行，同位角相等”）

已知：如圖2，直線AB∥CD，∠1和∠2是直線AB和CD被直線EF截出的同位角.求證：∠1=∠2.

證明：假設(shè)∠1≠∠2，那么過點(diǎn)M作直線GH，使∠EMH=∠2，如圖3所示.根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”，可知GH∥CD.又因?yàn)锳B∥CD，這樣經(jīng)過點(diǎn)M存在兩條直線AB和GH都與CD平行.這與基本事實(shí)“過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行”相矛盾.這說明假設(shè)不成立，所以∠1=∠2.

由此證明了“兩直線平行，同位角相等”.

對(duì)于從正面很難說明的問題，比如，“∠2是無理數(shù)”“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角”等應(yīng)用反證法往往能夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明.解決這樣的問題，可以促進(jìn)學(xué)生邏輯推理能力的發(fā)展.

逆向思維可以在一定程度上幫助學(xué)生避免解決問題時(shí)陷入思維誤區(qū)而不自知.逆向思維能讓學(xué)生從單純的解決問題，轉(zhuǎn)移到對(duì)數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)上，從而激發(fā)出對(duì)數(shù)學(xué)問題的探究熱情，并在解決問題時(shí)體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂.

4 學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)策略

（1）夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)

學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)要以扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)為前提.學(xué)生首先要明確什么是正向才能理解什么是反向，如果盲目強(qiáng)調(diào)逆向思維會(huì)讓學(xué)生不知所措.而逆向思維對(duì)基礎(chǔ)概念、公式、定理的理解又起到了促進(jìn)作用.

（2）樹立逆向思維意識(shí)

要培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，教師應(yīng)在授課過程中培養(yǎng)學(xué)生逆向思考的意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題時(shí)從不同

的角度積極思考，不要局限于單一解法.

（3）強(qiáng)化逆向思維專項(xiàng)訓(xùn)練

逆向思維的培養(yǎng)不是一朝一夕就能完成的，它是長(zhǎng)期的過程.專項(xiàng)練習(xí)可以強(qiáng)化學(xué)生的逆向思維，讓逆向思維深入學(xué)生的腦海，遇到問題可以靈活應(yīng)用.

逆向思維可以幫助學(xué)生明確問題的解決途徑，拓展解題思

路，創(chuàng)新解題方法.在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中注重培養(yǎng)學(xué)生的逆向

思維，可以豐富學(xué)生的視角，使思維更靈活，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2]程曉亮，劉影.數(shù)學(xué)教學(xué)論[M].3版.北京：北京大學(xué)出版社，2011.

[3]項(xiàng)赟蔣.逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用分析[J].數(shù)理化解題研究，2021（14）：4-5.

[4]傅海倫，張佩雯，徐小惠.對(duì)數(shù)學(xué)逆向思維的再認(rèn)識(shí)[J].教學(xué)與管理，2017（19）：45-47.