探索而來(lái)的“剛剛好”

田梅

摘要：學(xué)生從圓的定義（圓心確定位置、半徑確定大小）出發(fā)，有邏輯地嘗試改變條件，利用控制變量、弱化條件的思想，不斷進(jìn)行探索和修正.學(xué)生作為課堂的主體，陸續(xù)分享自己的想法，互相交流和碰撞，最終解決問(wèn)題——不共線的三點(diǎn)是確定圓的“剛剛好”的條件.

關(guān)鍵詞：改變條件；探索；剛剛好

筆者曾在執(zhí)教公開(kāi)課——蘇科版九年級(jí)上冊(cè)第2章第3節(jié)“確定圓的條件”時(shí)，做了大膽的創(chuàng)新和嘗試，學(xué)生的想法鋪滿了黑板，盡顯山重水復(fù)疑無(wú)路的疑慮和柳暗花明又一村的喜悅.

1 教學(xué)分析

（1）內(nèi)容分析

本節(jié)課從圓的定義出發(fā)，經(jīng)歷確定圓的條件的探索過(guò)程，形成外接圓、外心、內(nèi)接三角形等概念.

（2）重難點(diǎn)分析

教學(xué)重點(diǎn)：經(jīng)歷確定圓的條件的探索過(guò)程，經(jīng)歷過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)作一個(gè)圓的過(guò)程.

教學(xué)難點(diǎn)：確定圓的條件的探索.

（3）教學(xué)目標(biāo)

①經(jīng)歷確定圓的條件的探索過(guò)程，了解不在同一直線上的三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓.

②經(jīng)歷過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)作一個(gè)圓的過(guò)程，觀察和比較所作圖形的特點(diǎn)，了解三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念.

③在探究過(guò)程中，體會(huì)分類討論思想.

2 教學(xué)過(guò)程

2.1 如何理解“確定圓”

教師：請(qǐng)同學(xué)們回憶一下，確定直線、三角形的條件分別是什么？

學(xué)生1：兩點(diǎn)確定一條直線，不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)三角形.

教師：也就是說(shuō)，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)我們能作并且只能作一條直線，以不共線的三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)我們能作并且只能作一個(gè)三角形，那你們是如何理解“確定圓”的呢？

學(xué)生2：根據(jù)一些條件，只能畫(huà)出一個(gè)圓.

教師：是的，“確定”就是有且僅有，存在且唯一.

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)從確定直線、三角形的條件開(kāi)始回憶，而確定直線、三角形的條件學(xué)生是熟悉的，從而喚醒和加深學(xué)生對(duì)“確定”的理解——有且僅有，存在且唯一.

2.2 確定圓的條件是什么

教師：同學(xué)們，你們認(rèn)為確定圓的條件是什么？

學(xué)生3：圓心和半徑.

教師：好的，請(qǐng)你以確定的圓心和半徑為條件作圓.（學(xué)生在黑板上畫(huà)圖，如圖1.）

教師：根據(jù)圓的定義，同時(shí)給出圓心和半徑這兩個(gè)條件可以確定一個(gè)圓.你能否嘗試改變條件，也能確定一個(gè)圓嗎？同學(xué)們畫(huà)畫(huà)看.

學(xué)生4：（在黑板上作圖，如圖2）給出圓心O和圓上一點(diǎn)A也可以確定一個(gè)圓.

教師：請(qǐng)解釋一下你的想法.

學(xué)生4：連接圓心和圓上的一點(diǎn)，就可以得到半徑.知道了圓心和半徑就可以確定圓.

教師：很好！這位同學(xué)保留了圓心O這個(gè)條件，把半徑改成了圓上一點(diǎn)，那么還可以從其他角度改變條件嗎？同學(xué)們?cè)僭囋嚳?

（學(xué)生陸陸續(xù)續(xù)在黑板上畫(huà)圖，如圖3～8.）

學(xué)生5：半徑r和圓上一點(diǎn)A.

學(xué)生6：半徑r和圓上兩點(diǎn)A，B.

學(xué)生7：半徑r和圓上三點(diǎn)A，B，C.

學(xué)生8：圓上三點(diǎn)A，B，C.

學(xué)生9：矩形ABCD.

學(xué)生10：弧AB.

教師：同學(xué)們陸續(xù)地在黑板上畫(huà)了一些圖，下面就請(qǐng)他們結(jié)合圖形說(shuō)說(shuō)自己的想法.

學(xué)生5：我保留了半徑r這個(gè)條件，然后確定了圓上一點(diǎn)A.但是我發(fā)現(xiàn)圓心有無(wú)數(shù)個(gè)，而且在以A為圓心，r為半徑的圓上，因此這兩個(gè)條件不能確定一個(gè)圓.

學(xué)生6：我想到的條件是半徑r和圓上兩點(diǎn)A，B.目標(biāo)也是找圓心，首先作線段AB的垂直平分線，然后以A為圓心r為半徑畫(huà)弧，與線段AB的垂直平分線交于兩點(diǎn)，所以可以作出兩個(gè)圓.

教師：在找圓心時(shí)，你為什么想到作線段AB的垂直平分線？

學(xué)生6：因?yàn)閳A心O到點(diǎn)A，B的距離相等，而到點(diǎn)A，B距離相等的點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上.

教師：很好！對(duì)比圖3和圖4，在添加了圓上的一點(diǎn)后，圓的個(gè)數(shù)從無(wú)數(shù)個(gè)變成了兩個(gè)，我們離成功更近了，而且獲得了一個(gè)非常寶貴的經(jīng)驗(yàn)——已知A，B是圓上兩點(diǎn)，那么圓心在線段AB的垂直平分線上.

學(xué)生7：我本來(lái)想再添加圓上一個(gè)點(diǎn)C，但是卻作不出圓了.

（其他學(xué)生說(shuō)：條件太多了，半徑不需要.）

學(xué)生8：我先畫(huà)了三個(gè)點(diǎn)A，B，C，然后作AB，BC的垂直平分線，它們的交點(diǎn)就是圓心，圓心到點(diǎn)A的線段長(zhǎng)就是半徑，此時(shí)圓就畫(huà)出來(lái)了.

教師：此時(shí)，我們感覺(jué)到這位同學(xué)畫(huà)的三個(gè)點(diǎn)A，B，C剛剛好能確定一個(gè)圓，條件不多也不少.那么這是不是確定圓的條件呢？任意三點(diǎn)都可以確定一個(gè)圓嗎？同學(xué)們驗(yàn)證一下，畫(huà)畫(huà)看.有想法的可以到黑板上講一講.

學(xué)生11：如果三個(gè)點(diǎn)A，B，C在一條直線上，線段AB，BC的垂直平分線互相平行，此時(shí)它們沒(méi)有交點(diǎn)，也就沒(méi)有圓心，因此這個(gè)時(shí)候不能確定圓.

教師：那么，可以怎樣正確地表述確定圓的條件？

學(xué)生：不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.

教師：同學(xué)們，我們回頭看一看探索過(guò)程.我們從圓的定義出發(fā)，先是保留圓心，將半徑改為圓上一點(diǎn)是可以的；然后保留半徑，將圓心改為圓上一點(diǎn)、兩點(diǎn)、三點(diǎn)，最終得到不共線的三個(gè)點(diǎn)是“剛剛好”確定圓的條件.當(dāng)然這個(gè)過(guò)程中，我們始終抓住的仍然是能否確定圓心和半徑.

學(xué)生9：我作了一個(gè)矩形ABCD，經(jīng)過(guò)矩形的四個(gè)頂點(diǎn)也能確定一個(gè)圓.

（其他學(xué)生：不是所有的四個(gè)點(diǎn)都能確定一個(gè)圓啊.）

教師：這個(gè)同學(xué)想到了矩形，一種特殊的四邊形，那么對(duì)于任意的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)都共圓嗎？顯然不是.看來(lái)需要對(duì)這個(gè)四邊形添加一些條件，使得四點(diǎn)共圓的四邊形更一般化.這個(gè)問(wèn)題留給同學(xué)們課后去探索！

學(xué)生10：一條弧也可以確定一個(gè)圓.一開(kāi)始我是跟著感覺(jué)順著弧描出來(lái)的圓，現(xiàn)在我覺(jué)得可以在弧上任意找三個(gè)點(diǎn)，就可以確定一個(gè)圓.

教師：是的，弧上有無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn)，任意三個(gè)點(diǎn)都是不共線的，都可以確定弧所在的圓.與“不共線的三個(gè)點(diǎn)”相比，弧給的無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)就太多啦！

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)從圓的定義出發(fā)，圓心確定位置，半徑確定大小.學(xué)生通過(guò)不斷嘗試改變條件，經(jīng)歷了可以作出無(wú)數(shù)個(gè)圓、作出不同位置的兩個(gè)圓、不能作圓、可以作出確定的圓等，最終發(fā)現(xiàn)不共線的三個(gè)點(diǎn)是確定圓的條件.這個(gè)過(guò)程有7個(gè)學(xué)生在黑板上畫(huà)圖并分享自己的想法，全體學(xué)生共同探索和見(jiàn)證結(jié)論的形成.

2.3 如何用直尺和圓規(guī)作三角形的外接圓

教師：同學(xué)們，觀察圖6，不共線的三個(gè)點(diǎn)A，B，C給我們最直接的意象是△ABC，而⊙O是經(jīng)過(guò)這個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.請(qǐng)你任作一個(gè)△ABC，然后用直尺和圓規(guī)作△ABC的外接圓，并思考還可以得到哪些結(jié)論.

（學(xué)生陸陸續(xù)續(xù)在黑板上畫(huà)圖，如圖9～11.）

學(xué)生12：OA=OB=OC，銳角三角形ABC的外心O在其內(nèi)部.

學(xué)生14：OA=OB=OC，鈍角三角形ABC的外心O在其外部.

教師：同學(xué)們通過(guò)作圖發(fā)現(xiàn)了不同形狀的三角形，其外心與三角形的相對(duì)位置也不同.為什么三角形的形狀會(huì)影響其外心的位置呢？同學(xué)們可以思考一下.另外，老師還看到有的同學(xué)畫(huà)了等腰三角形的外接圓，多么漂亮的軸對(duì)稱圖形.我們還可以提出并解決哪些問(wèn)題呢？這些都是值得進(jìn)一步探索的問(wèn)題……

設(shè)計(jì)意圖：在上個(gè)環(huán)節(jié)探索的基礎(chǔ)上，形成外接圓、外心、內(nèi)接三角形的概念；學(xué)生經(jīng)歷尺規(guī)作圖的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)外心的性質(zhì)和相關(guān)結(jié)論，并為未來(lái)可能的探索作鋪墊.

3 教學(xué)思考

3.1 設(shè)計(jì)“真”問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)點(diǎn)的生成

《義務(wù)教育課程方案（2022年版）》和各學(xué)科義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）已于2022年4月正式頒布，課標(biāo)高度強(qiáng)調(diào)：育人為本，建構(gòu)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的新教學(xué).問(wèn)題設(shè)計(jì)應(yīng)基于學(xué)生、尊重學(xué)生，如果問(wèn)題不切合學(xué)生所想和所需，學(xué)生思維可能就“僵”在那里.比如，如果我們問(wèn)學(xué)生，過(guò)一個(gè)點(diǎn)、兩個(gè)點(diǎn)能確定一個(gè)圓嗎？學(xué)生會(huì)覺(jué)得奇怪，因?yàn)樗麄円呀?jīng)知道兩點(diǎn)確定一條直線，確定圓肯定要超過(guò)兩個(gè)點(diǎn)，所以不符合初三學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，也顯得問(wèn)題不具有合理的邏輯性.如果從一個(gè)點(diǎn)、兩個(gè)點(diǎn)開(kāi)始，到不共線的三個(gè)點(diǎn)結(jié)束，學(xué)生難以體會(huì)不共線的三個(gè)點(diǎn)是“剛剛好”的條件.從學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)圓心和半徑突然到不共線的三個(gè)點(diǎn)，既限定了學(xué)生的思維，又缺少必要的關(guān)聯(lián).課標(biāo)指出，問(wèn)題的提出應(yīng)引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，促進(jìn)學(xué)生積極探究，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)思考、概括歸納、遷移運(yùn)用等學(xué)習(xí)過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)是認(rèn)識(shí)、理解與表達(dá)真實(shí)世界的工具、方法和語(yǔ)言，增強(qiáng)解決問(wèn)題的能力.從本案例的實(shí)踐來(lái)看，教師在提出如何改變條件確定圓的問(wèn)題后，學(xué)生積極動(dòng)筆畫(huà)圖，不斷嘗試，陸陸續(xù)續(xù)產(chǎn)生了很多想法，并愿意交流分享，最終在黑板上完整地呈現(xiàn)出探索過(guò)程和成果.對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，這個(gè)問(wèn)題是切合需要的、適合挑戰(zhàn)的，自然而然這個(gè)問(wèn)題的探索過(guò)程是一次真實(shí)的、豐富的體驗(yàn).

3.2 開(kāi)展“真”探究，由學(xué)生實(shí)現(xiàn)思維點(diǎn)的突破

當(dāng)下的課堂中常常見(jiàn)到“快閃探究”，老師提出一個(gè)探究問(wèn)題，學(xué)生立即回答，或者小組交流還沒(méi)有展開(kāi)就已經(jīng)結(jié)束.也常常見(jiàn)到“假探究”，就是用不太恰當(dāng)或者錯(cuò)誤的方法開(kāi)展探究，忽視了探究的學(xué)科屬性.新課標(biāo)明確提出強(qiáng)化學(xué)科實(shí)踐，就是“像學(xué)科專家一樣思考與行動(dòng)”，在教學(xué)情景中，運(yùn)用該學(xué)科的概念、思想與工具，解決真實(shí)的問(wèn)題.在此案例中，學(xué)生從圓的定義（圓心確定位置、半徑確定大?。┏霭l(fā)，有邏輯地嘗試改變條件，利用控制變量、弱化條件的思想，不斷探索和修正，學(xué)生作為課堂的主體，陸續(xù)分享自己的想法，互相交流和碰撞，最終解決問(wèn)題——不共線的三點(diǎn)是確定圓的“剛剛好”的條件.這個(gè)探究過(guò)程以學(xué)習(xí)者為中心，關(guān)注學(xué)生思維的方向性、層次性、靈活性、品質(zhì)性，以高階的素養(yǎng)目標(biāo)為導(dǎo)向.

史寧中教授說(shuō)：教學(xué)不僅要教給學(xué)生知識(shí)，更要幫助學(xué)生形成智慧[1].知識(shí)的主要載體是書(shū)本，而智慧則形成于經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程中，形成于經(jīng)歷的活動(dòng)中，教師應(yīng)該為學(xué)生創(chuàng)造思考的過(guò)程、探究的過(guò)程.通過(guò)探究活動(dòng)，讓學(xué)生親身感悟解決問(wèn)題、應(yīng)對(duì)困難的思想和方法，就可以逐漸形成正確思考與實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn).喬治·波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》一書(shū)中說(shuō)：在語(yǔ)言文字表達(dá)及概念建立之前要先有一個(gè)探究階段，這樣學(xué)習(xí)所得才能轉(zhuǎn)化為學(xué)生的才能和品性，變成精神素質(zhì)的一部分[2].

3.3 積累“真”經(jīng)驗(yàn)，助力學(xué)生的可能性創(chuàng)造

“如何把學(xué)生教聰明，如何讓數(shù)學(xué)變得容易一點(diǎn)”，這一直是筆者在探索實(shí)踐的問(wèn)題.本案例中，學(xué)生從定義出發(fā)，運(yùn)用了控制變量改變條件、弱化條件等方法，積累方法的經(jīng)驗(yàn)；在發(fā)現(xiàn)的過(guò)程中領(lǐng)悟新知識(shí)，積累創(chuàng)新和創(chuàng)造的經(jīng)驗(yàn)；在分析和調(diào)整的過(guò)程中抓住問(wèn)題的核心，從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，為未來(lái)的學(xué)習(xí)提供可參考遷移的思維經(jīng)驗(yàn).如果學(xué)生在每天的學(xué)習(xí)后，有新的視角或者方法解決他之前不會(huì)的問(wèn)題，就會(huì)逐漸感覺(jué)到數(shù)學(xué)的力量感，從而感覺(jué)數(shù)學(xué)變得容易一點(diǎn)了.現(xiàn)在的每一節(jié)課，都是為了學(xué)生在未來(lái)應(yīng)對(duì)新的挑戰(zhàn)時(shí)能更加從容、自信和有力.

從本案例的設(shè)計(jì)、試講、修改的過(guò)程中，筆者愈發(fā)感覺(jué)到把學(xué)生放在心中，把培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)體現(xiàn)在每一節(jié)活生生的課中，在發(fā)展學(xué)生的同時(shí)也成就了自己，這也是教師的初心和使命吧！

參考文獻(xiàn)：

[1]史寧中.教育的本源與思考[M].北京：商務(wù)印書(shū)館，2018.

[2]波利亞.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)[M].劉景麟，曹之江，鄒清蓮，譯.北京：科學(xué)出版社，2006.