例析中考代數(shù)推理題及其教學(xué)反思

吳琨

摘要：推理是數(shù)學(xué)思維的主要表現(xiàn)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，保障了數(shù)學(xué)的科學(xué)性.在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師往往注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何推理能力，卻忽視對學(xué)生代數(shù)推理能力的培養(yǎng).事實(shí)上，代數(shù)推理同樣重要.目前，隨著《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的頒布，教師應(yīng)徹底轉(zhuǎn)變主要依賴幾何培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的觀念，而應(yīng)同樣重視代數(shù)推理在培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)方面的作用.本文中結(jié)合近幾年江蘇中考代數(shù)推理題的解題思路進(jìn)行分析，并結(jié)合初中數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行反思.

關(guān)鍵詞：代數(shù)推理；解題思路；教學(xué)反思

1 代數(shù)推理的重要性與含義

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《2022年版課標(biāo)》）指出，推理能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，有助于學(xué)生逐步養(yǎng)成重論據(jù)、合乎邏輯的思維習(xí)慣，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度與理性精神［1］.

《2022年版課標(biāo)》對初中階段推理能力的內(nèi)涵界定如下：“推理能力主要是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論的能力.”由此，新課標(biāo)把培養(yǎng)目標(biāo)中的數(shù)學(xué)思維表述為“主要表現(xiàn)為運(yùn)算能力、推理意識或推理能力”.其中，運(yùn)算本質(zhì)上就是演繹推理［2］.所以，在這個意義上可以認(rèn)為，培養(yǎng)目標(biāo)中的數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為推理，推理集中反映了數(shù)學(xué)思維的共通育人要求和獨(dú)特育人價值［3］.

在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，有高中教師反映，初中生代數(shù)領(lǐng)域的推理能力難以應(yīng)對高中階段代數(shù)學(xué)習(xí)的要求.對此，《2022年版課標(biāo)》在代數(shù)式這一部分內(nèi)容增加了“了解代數(shù)推理”，近年來考查學(xué)生代數(shù)推理能力也已逐漸成為中考的一個新的考查方向.

2 從中考題看代數(shù)推理的解題思路

2.1 演繹推理

例1 （2021年·江蘇南京）設(shè)x1，x2是關(guān)于x的方程x2-3x+k=0的兩個根，且x1=2x2，則k=[CD#3]．

解析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得x1+x2=3，x1x2=k，再結(jié)合題目已知條件x1=2x2，可得k=2.

評析：本題是運(yùn)用演繹推理解決問題，即從一般性原理出發(fā)，推出某特殊情況下結(jié)論.首先是已知的一般原理（大前提），即根與系數(shù)的關(guān)系；其次，存在所研究的特殊情況（小前提），即x1+x2=3，x1x2=k，x1=2x2；最后得出特殊情況下的結(jié)論.

解析：因?yàn)閙是一元二次方程x2+3x-1=0的根，所以

m2+3m-1=0，則

3m-1=-m2.

因?yàn)閙，n是一元二次方程x2+3x-1=0的兩個根，所以

m+n=-3.

評析：本題也是代數(shù)演繹推理的運(yùn)用.在求解時，首先要知道運(yùn)用哪些大前提（根與系數(shù)的關(guān)系，等式與分式的基本性質(zhì)），然后再根據(jù)題目中的小前提（m，n是一元二次方程x2+3x-1=0的兩個實(shí)數(shù)根）進(jìn)行求值.在求解中，可以利用整體代換、降次等變形技巧.

小結(jié)：例1、例2都是考查學(xué)生代數(shù)演繹推理能力.演澤推理的基本形式為“三段論”，即大前提—小前提—結(jié)論.這既能培養(yǎng)學(xué)生自主探究的能力，又能培養(yǎng)學(xué)生演繹推理的能力.學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中就要注重問題的探求過程，體驗(yàn)知識“數(shù)學(xué)化”的過程，要學(xué)會用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá).以上演繹推理是通過相關(guān)運(yùn)算進(jìn)行的，屬于算數(shù)推理或代數(shù)推理.

2.2 歸納推理

例3 （2022年·江蘇宿遷）按規(guī)律排列的單項(xiàng)式x，-x3，x5，-x7，x9，……，則第20個單項(xiàng)式是[CD#3]．

解析：第1個指數(shù)為2×1－1＝1，

第2個指數(shù)為2×2－1＝3，

第3個指數(shù)為2×3－1＝5，……，

第n個指數(shù)為2n-1；并且，第偶數(shù)個單項(xiàng)式的系數(shù)為-1.

所以第20個單項(xiàng)式是-x39.

評析：本題考查的知識點(diǎn)是單項(xiàng)式的系數(shù)與次數(shù)的含義，關(guān)鍵是通過歸納與總結(jié)得到單項(xiàng)式的系數(shù)與次數(shù)的規(guī)律.通過代數(shù)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)指數(shù)規(guī)律，掌握“從具體到一般的探究方法”.

例4 （2021年·江蘇揚(yáng)州）將黑色圓點(diǎn)按圖1所示的規(guī)律進(jìn)行排列，圖中黑色圓點(diǎn)的個數(shù)依次為1，3，6，10，……，將其中所有能被3整除的數(shù)按從小到大的順序重新排列成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)中的第33個數(shù)為[CD#3]．

小結(jié)：例3、例4都是合情推理中歸納方法的應(yīng)用.歸納是通過對某類事物中若干特殊情形的分析得出一般結(jié)論的思維方式.解決此類推理題的關(guān)鍵與難點(diǎn)就是歸納出題干中所隱含的規(guī)律.學(xué)生要學(xué)會通過幾個特例，歸納出蘊(yùn)含在部分對象之中的共同性質(zhì)，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，要求學(xué)生用數(shù)學(xué)符號表達(dá)自己的想法.此歸納推理是通過運(yùn)算進(jìn)行的，即屬于算數(shù)推理或代數(shù)推理.

2.3 類比推理

例5 （2020年· 江蘇徐州）閱讀感悟：有些關(guān)于方程組的問題，欲求的結(jié)果不是每一個未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值，如以下問題：

已知實(shí)數(shù)x，y滿足3x－y=5①，2x+3y=7②，求x－4y和7x+5y的值．

本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x，y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，常規(guī)思路運(yùn)算量比較大．其實(shí)，仔細(xì)觀察兩個方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，如由①－②可得x－4y=－2，由①+②×2可得7x+5y=19．這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．

解決問題：

（2）某班級組織活動購買小獎品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？

分析：（1）由已知2x+y=7①，x+2y=8②，利用 “整體思想”，①-②即可求得x－y的值，①+②即可求得x+y的值.

（2）設(shè)每支鉛筆x元，每塊橡皮y元，每本日記本z元，根據(jù)題意列出方程組，結(jié)合“整體思想”，類比材料中的方法即可求解．

評析：通過閱讀材料，領(lǐng)悟“整體思想”在解題中的應(yīng)用，類比此方法求解第（1）小題，抓住兩個方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)行合理變形，即可得到含x+y，x－y的式子；對于第（2）小題，引入x，y，z后，得到20x+3y+2z=32，39x+5y+3z=58，類比材料中的方法，通過整體變形得到含“5x+5y+5z”的式子，以此求得它的值.以上第（1）（2）小題的求解就體現(xiàn)了類比推理.

小結(jié)：例5是類比推理的應(yīng)用，解答類比推理題的關(guān)鍵就是運(yùn)用熟悉的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，用類比的方法，分析未知與已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具有的相似特征，然后猜想其解題方法和解題思維上的類似之處，從而解決問題.應(yīng)用類比推理方法可以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，對問題進(jìn)行更深層次的認(rèn)識，在做題時能縮短做題時間，提高做題效率.此類比推理是通過運(yùn)算進(jìn)行的，亦屬于算數(shù)推理或代數(shù)推理.

3 教學(xué)反思

中考數(shù)學(xué)中的代數(shù)推理題綜合性強(qiáng)，形式比較新穎，解題方法靈活多變.那么，初中教師應(yīng)如何有意識地培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)推理能力呢？

（1）教師要糾正教學(xué)認(rèn)知.在應(yīng)試導(dǎo)向的教學(xué)實(shí)踐中，教師往往會傾向于如何“高效”地把解題具體策略、手段或方法硬塞給學(xué)生，導(dǎo)致推理的教育意義很難在這種依賴被動的“灌輸”中生長.甚至學(xué)生誤以為在基礎(chǔ)教育階段幾何證明等同于推理，導(dǎo)致對新課標(biāo)提出的“三會”中的數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)的推理，特別代數(shù)推理，仍然感覺陌生而難操作.

（2）教師要抓住教學(xué)中的每個關(guān)鍵時期，抓住一切可以示范的機(jī)會進(jìn)行訓(xùn)練，完善學(xué)生代數(shù)推理的表達(dá)體系，常用“因?yàn)椤?，所以……”“之所以……，是因?yàn)椤薄耙虼恕薄坝纱丝梢姟钡茸鳛橥评淼脑~組［4］.

（3）教師應(yīng)該重視演繹推理、歸納推理和類比推理，在教學(xué)中多加運(yùn)用，經(jīng)常性滲透.比如，演繹推理——從有理數(shù)、整式和分式運(yùn)算，到方程、不等式和函數(shù)，代數(shù)演繹推理幾乎涉及所有初中代數(shù)內(nèi)容.舉例說明，由方程2x+3=5怎么得到x=1？首先方程兩邊同時減去3，得到2x=2，然后方程兩邊同時除以2，得到x=1.這里運(yùn)用的就是演繹推理，主要依據(jù)是等式的基本性質(zhì).再如，歸納推理——在某些數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過程中，可以引導(dǎo)學(xué)生從特殊事物的各不同屬性中歸納出共同的、本質(zhì)的屬性，在此基礎(chǔ)上形成定義.這就是歸納推理的一種運(yùn)用.類比推理在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用得也很多，如，分?jǐn)?shù)的運(yùn)算與分式的運(yùn)算，因數(shù)分解與因式分解，一元二次方程和二次函數(shù)，等等.如果在教學(xué)中運(yùn)用類比推理，既能減少學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的陌生度，又能讓學(xué)生達(dá)到溫故而知新的目的，還可以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，使整個數(shù)學(xué)教學(xué)有事半功倍的效果.

總之，代數(shù)推理是培養(yǎng)學(xué)生抽象能力、推理能力，發(fā)展學(xué)生邏輯思維與理性精神的良好載體.在教學(xué)中教師需提高認(rèn)識，系統(tǒng)開發(fā)和設(shè)計相應(yīng)素材資源，適時適地地讓學(xué)生經(jīng)歷各類代數(shù)推理過程，感悟代數(shù)推理的真諦，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］史寧中.數(shù)學(xué)思想概論：數(shù)學(xué)中的演繹推理（第3輯）[M].長春：東北師范大學(xué)出版社，2015：101.

［3］孫曉天．如何理解和把握作為核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)思維——《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出的“三會”視角下［Ｊ］.教育研究與評論，2022（5）：35-40.

［4］錢德春.關(guān)于初中代數(shù)推理的理解與教學(xué)思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（11）：2-4.