帶非線性擴(kuò)散的趨化-趨觸模型解的大時(shí)間行為

劉錦濤,賈 哲

(臨沂大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,山東 臨沂 276005)

本文研究如下帶非線性擴(kuò)散的趨化-趨觸模型

(1)

解的大時(shí)間行為.其中Ω?R3是帶光滑邊界的有界域,u,v,w分別代表癌細(xì)胞密度、基質(zhì)降解酶濃度和細(xì)胞外基質(zhì)濃度.H(u),S(u)分別代表趨化敏感項(xiàng)和趨觸敏感項(xiàng).在本文中假設(shè)H,S滿足如下條件:

H(s)≤χs(s+1)-α,其中s≥0且H(0)=0,

(2)

S(s)≤ξs(s+1)-β,其中s≥0且S(0)=0,

(3)

式中,χ,ξ,α,β>0.另外,假設(shè)初值滿足

(4)

2016年,Chaplain等[1]提出腫瘤細(xì)胞的運(yùn)動(dòng)依賴于隨機(jī)擴(kuò)散、趨觸運(yùn)動(dòng)和基質(zhì)降解酶的擴(kuò)散梯度,并引入了趨化-趨觸模型.之后該方程被廣泛關(guān)注(參見文獻(xiàn)[2-10]).當(dāng)m=1,H(u)=S(u)=u時(shí),Zheng等[2]研究了解的整體存在性和大時(shí)間行為.另外,當(dāng)0

本文主要研究模型(1)弱解的大時(shí)間行為,主要結(jié)果如下:

1 預(yù)備知識(shí)

首先回顧模型(1)弱解的整體存在性和有界性結(jié)果:

式中,C是與μ無關(guān)的常數(shù).

下面介紹在定理1的證明中起到重要作用的兩個(gè)引理:

引理2[2-3]假設(shè)00,00使得對(duì)任意的x∈Ω和t≥1,都有v(x,t)≥K,進(jìn)一步得到w(x,t)≤‖w0‖L∞(Ω)e-K(t-1).

引理3[6]假設(shè)h(t)∈L1(T,∞),其中T>0,h≥0.如果存在常數(shù)C>0使得

h(t)-h(s)≤C(t-s),其中t>s>T或h(t)-h(s)≥-C(t-s),其中t>s>T,

2 定理1的證明

受文獻(xiàn)[2-3,7]啟發(fā),定義下面的能量泛函:

則F(t)滿足下面的引理:

證明經(jīng)計(jì)算得

這意味著

再通過模型(1)的第三個(gè)式子,然后結(jié)合引理1和引理2我們得到

以及

因此,我們得到

(5)

對(duì)該式關(guān)于時(shí)間t在(1,+∞)上積分,得到

上式用到結(jié)論-Δw(x,t)≤‖w0‖L∞(Ω)v(x,t)+D,(x,t)∈Ω×(0,Tmax),其中D是正常數(shù)(見文獻(xiàn)[8]).結(jié)合引理1得

進(jìn)而由引理3和4得當(dāng)t→∞時(shí),

再利用H?lder不等式得對(duì)任意的p≥2,有

另外,結(jié)合模型(1)的第二個(gè)式子和引理 1得

利用引理3和4,同樣得到當(dāng)t→∞時(shí),

再通過Gagliardo-Nirenberg不等式得當(dāng)t→∞時(shí),

證畢.

3 結(jié)論