三角代數(shù)上Jordan同構(gòu)的刻畫

劉 丹,張建華,宋明亮

(1.江蘇第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 南京 210013)(2.陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,陜西 西安 710062)

設(shè)A和B是結(jié)合代數(shù),φ:A→B是一個線性雙射.若對任意的x∈A且2x=0,有x=0,則稱A是2-無撓的.如果對任意x,y∈A,有φ(x°y)=φ(x)°φ(y),則稱φ是一個Jordan同構(gòu),其中x°y=xy+yx為Jordan積. Jordan同構(gòu)是算子代數(shù)上的一類重要的線性映射,受到了許多學(xué)者的關(guān)注. 例如:Molnar等[1]證明了三角矩陣代數(shù)Tn(F)上的Jordan同構(gòu)是同構(gòu)或反同構(gòu).這里F是至少包含3個元素的數(shù)域.Beidar等[2]推廣了這個結(jié)論,證明了2-無撓交換環(huán)R上的上三角矩陣代數(shù)上的Jordan同構(gòu)是同構(gòu)或反同構(gòu). Lu[3]證明了套代數(shù)上的Jordan同構(gòu)是同構(gòu)或反同構(gòu). Wong[4]研究了上三角矩陣環(huán)上的Jordan同構(gòu),并給出了Jordan同構(gòu)是同構(gòu)或反同構(gòu)的條件. 本文將通過由零積、Jordan零積或交換零積所確定的子集上線性映射的局部性質(zhì)來刻畫三角代數(shù)上的Jordan同構(gòu).關(guān)于線性映射的局部性質(zhì)的研究主要有兩個方面.一方面是逐點定義的局部映射,如局部導(dǎo)子和局部同構(gòu)的研究[5-9].另一方面是通過線性映射在某些子集上的局部性質(zhì)來研究它的整體結(jié)構(gòu)性質(zhì)(見文獻(xiàn)[10-16]).

設(shè)A和B是交換環(huán)R上的含單位元的代數(shù),M是(A,B)-忠實雙邊模.在通常的矩陣運算下,稱

為三角代數(shù).設(shè)U=Tri(A,M,B)是一個三角代數(shù),1A和1B分別是A和B的單位元.記

且

Uij=eiUej(1≤i≤j≤2),

則U=U11+U12+U22且U12是(U11,U12)-忠實雙邊模.

1 主要定理及其證明

定理1設(shè)U=Tri(A,M,B)是三角代數(shù),V是R上2-無撓含單位的代數(shù).則線性雙射φ:U→V是Jordan同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)φ保單位且下列條件之一成立:

(1)φ(x°y)=φ(x)°φ(y),其中x,y∈U滿足xy=0.

(2)φ(x°y)=φ(x)°φ(y),其中x,y∈U滿足x°y=0.

(3)φ(x°y)=φ(x)°φ(y),其中x,y∈U滿足xy=yx=0.

以下假設(shè)φ:U→V是一個滿足定理1條件(3)的保單位線性雙射.為證明定理1,我們需要以下幾個引理.

引理1對任意冪等元p∈U,有φ(p)=φ(p)2.

證明對任意冪等元p∈U,由p(1-p)=(1-p)p=0得

0=φ(p)°φ(1-p)=2(φ(p)-φ(p)2).

從而φ(p)=φ(p)2.證畢.

引理2設(shè)uij∈Uij(1≤i≤j≤2),則

(1)φ(uii)=φ(ei)φ(uii)φ(ei);

(2)φ(u12)=φ(e1)φ(u12)φ(e2)+φ(e2)φ(u12)φ(e1).

證明(1)由于u11e2=e2u11=0,則

φ(u11)φ(e2)+φ(e2)φ(u11)=φ(u11)°φ(e2)=0.

(1)

從而由引理1和式(1)可得:

φ(e2)φ(u11)φ(e2)=φ(e1)φ(u11)φ(e2)=φ(e2)φ(u11)φ(e1)=0.

因此,

φ(u11)=φ(e1)φ(u11)φ(e1)+φ(e1)φ(u11)φ(e2)+φ(e2)φ(u11)φ(e1)+φ(e2)φ(u11)φ(e2)=

φ(e1)φ(u11)φ(e1).

類似地,我們有φ(u22)=φ(e2)φ(u22)φ(e2).

(2)顯然,對任意v12∈U12,有

φ(u12)°φ(u12)=0.

(2)

又(e1-u12)(e2+u12)=(e2+u12)(e1-u12)=0.則

0=φ((e1-u12)°(e2+u12))=φ(e1-u12)°φ(e2+u12)=φ(e1)°φ(u12)-φ(u12)°φ(e2)-φ(u12)°φ(u12).

從而由式(2),

φ(e1)φ(u12)+φ(u12)φ(e1)-φ(u12)φ(e2)-φ(e2)φ(u12)=0.

對上式分別左右同乘φ(e1)和φ(e2)可得:

φ(e1)φ(u12)φ(e1)=φ(e2)φ(u12)φ(e2)=0.

因此,

φ(u12)=φ(e1)φ(u12)φ(e1)+φ(e1)φ(u12)φ(e2)+φ(e2)φ(u12)φ(e1)+φ(e2)φ(u12)φ(e2)=

φ(e1)φ(u12)φ(e2)+φ(e2)φ(u12)φ(e1).

證畢.

引理3設(shè)uij,vij∈Uij(1≤i≤j≤2),則

(1)φ(u11°v12)=φ(u11)°φ(v12)且φ(u12°v22)=φ(u12)°φ(v22);

(2)φ(u11°v11)=φ(u11)°φ(v11)且φ(u22°v22)=φ(u22)°φ(v22).

證明(1)由于(u11-u11v12)(v12+e2)=(v12+e2)(u11-u11v12)=0.則由引理2和式(2)可得:

0=φ(u11-u11v12)°φ(v12+e2)=φ(u11)°φ(v12)-φ(u11v12)°φ(e2)+φ(u11)°φ(e2)-

φ(u11v12)°φ(v12)=φ(u11)°φ(v12)-φ(u11v12).

這說明

φ(u11°v12)=φ(u11)°φ(v12).

(3)

類似地,由(u12+e1)(v22-u12v22)=(v22-u12v22)(u12+e1)=0,我們有

φ(u12°v22)=φ(u12)°φ(v22).

(4)

(2)由式(3),一方面

φ((u11°v11)°v12)=φ(u11°v11)°φ(v12),

(5)

另一方面,我們有

φ((u11°v11)°v12)=φ(u11°(v11v12))+φ(v11°(u11v12))=φ(u11)°φ(v11v12)+φ(v11)°φ(u11v12)=

φ(u11)°(φ(v11)°φ(v12))+φ(v11)°(φ(u11)°φ(v12))=(φ(u11)°φ(v11))°φ(v12)+

2φ(u11)φ(v12)φ(v11)+2φ(v11)φ(v12)φ(u11).

由引理3知,φ(u11)φ(v12)φ(v11)=φ(v11)φ(v12)φ(u11)=0.從而由上式,

φ((u11°v11)°v12)=(φ(u11)°φ(v11))°φ(v12).

(6)

由式(5)和式(6),則對任意v12∈U12,有

(φ(u11°v11)-φ(u11)°φ(v11))°φ(v12)=0.

(7)

由于φ是滿射,則存在x∈U使得

φ(x)=φ(u11°v11)-φ(u11)°φ(v11).

(8)

從而由引理2可知,

φ(x)=φ(e1)φ(x)φ(e1)=φ(e1)φ(e1xe1)φ(e1)+φ(e1)φ(e1xe2)φ(e1)+

φ(e1)φ(e2xe2)φ(e1) =φ(e1)φ(e1xe1)φ(e1)=φ(x11),

其中x11=e1x1e1∈U11,于是由式(3)和式(7),

φ(x11v12)=φ(x11°v12)=φ(x11)°φ(v12)=φ(x)°φ(v12)=0.

由于φ是單射,則x11U12={0},并由U12的忠實性得x11=0.從而φ(x)=φ(x11)=0,并由式(8)得

φ(u11°v11)=φ(u11)°φ(v11).

類似地,我們由式(4)可得φ(u22°v22)=φ(u22)°φ(v22).證畢.

定理1的證明由文獻(xiàn)[4]的結(jié)論知,如果φ是Jordan同構(gòu),則φ保單位且條件(1),(2)和(3)之一成立.反過來,容易驗證(1)?(3)和(2)?(3)分別成立.以下我們假設(shè)φ保單位且條件(3)成立.

設(shè)u,v∈U,則存在uij,vij∈Uij使得

u=u11+u12+u22,v=v11+v12+v22.

從而由引理3及φ(uii)°φ(vjj)=φ(u12)°φ(v12)=0(i≠j)可知,

φ(u°v)=φ((u11+u12+u22)°(v11+v12+v22))=φ(u11°v11)+φ(u11°v12)+φ(u12°v11)+φ(u12°v22)+φ(u22°v12)+

φ(u22°v22)=φ(u11)°φ(v11)+φ(u11)°φ(v12)+φ(u12)°φ(v11)+φ(u12)°φ(v22)+φ(u22)°φ(v12)+

φ(u22)°φ(v22)=(φ(u11)+φ(u12)+φ(u22))°(φ(v11)+φ(v12)+φ(v22))=φ(u)°φ(v).

因此,φ是Jordan同構(gòu).證畢.

設(shè)R是含單位的交換環(huán),Mn×k(R)表示R上全體n×k矩陣.對n≥2且1≤m≤n,Mn(R)中形如

設(shè)B(H)表示復(fù)Hilbert空間H上全體有界線性算子構(gòu)成的代數(shù).H上的套N是B(H)中包含0和Ι且在強(qiáng)算子拓?fù)湎麻]的全序投影族,稱

AlgN={T∈B(H):PTP=TP,P∈N}

為關(guān)于N的套代數(shù).我們知道上三角矩陣代數(shù)與非平凡套代數(shù)均為三角代數(shù),從而由[4]和[3]的結(jié)論以及定理1,我們有下列推論.

則φ要么是一個同構(gòu),要么是一個反同構(gòu).

推論2設(shè)N和M是復(fù)Hilbert空間H上的非平凡套,φ:AlgN→AlgM是一個線性雙射且φ(Ι)=Ι,如果下列條件之一成立:

(1)φ(A°B)=φ(A)°φ(B),其中A,B∈AlgN滿足AB=0,

(2)φ(A°B)=φ(A)°φ(B),其中A,B∈AlgN滿足A°B=0,

(3)φ(A°B)=φ(A)°φ(B),其中A,B∈AlgN滿足AB=BA=0,

則存在可逆算子T∈B(H),使得對任意A∈AlgN有φ(A)=TAT-1或φ(A)=TJA*JT-1,其中J是共軛線性對合.

注1推論2在更弱的條件下得到了與文[14]相同的結(jié)論.文[17]證明了保單位且雙邊保Jordan零積的可加滿射是雙射,并由此給出了套代數(shù)上此類映射的具體結(jié)構(gòu),而推論2給出了套代數(shù)上保單位且單邊保Jordan零積的線性雙射的具體結(jié)構(gòu).