基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化融入高三數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)課的教學(xué)研究

黃思婷 朱哲

【摘? 要】? 明晰基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵、數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的運(yùn)用方式，構(gòu)建基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵下的單元復(fù)習(xí)課教學(xué).在不同內(nèi)涵維度下，選擇合適的單元復(fù)習(xí)課主題，于對(duì)應(yīng)專題中選取適當(dāng)?shù)母呖颊骖}、歷史名題及改編題等，用知識(shí)主線、方法策略、核心素養(yǎng)等進(jìn)行串聯(lián)，以期進(jìn)一步提升基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)的教育價(jià)值.結(jié)合相關(guān)教學(xué)案例，對(duì)提高教師文化素養(yǎng)、系統(tǒng)研究理論文獻(xiàn)、深入開展教學(xué)實(shí)踐等提出思考與展望.

【關(guān)鍵詞】? 數(shù)學(xué)史；數(shù)學(xué)文化；單元復(fù)習(xí)課；數(shù)學(xué)教學(xué)

2020年，教育部考試中心發(fā)布高考試題命制要以“一核四層四翼”為基本內(nèi)涵，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，厚植愛國情懷，對(duì)“立德樹人”起到正確導(dǎo)向作用.“立德樹人”價(jià)值導(dǎo)向下的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是充滿文化氛圍，擁有強(qiáng)大生命力的.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中定義數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)的思想、語言、方法等及其形成和發(fā)展，是人類文化的重要組成部分［1］.其中數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的重要載體，實(shí)踐表明數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，能引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)孤島到充滿生機(jī)和趣味的數(shù)學(xué)大陸上，有助于構(gòu)建知識(shí)之諧，彰顯方法之美，營造探究之樂，達(dá)成能力之助，展示文化之魅，促成德育之效［2］.單元復(fù)習(xí)課強(qiáng)調(diào)整體教學(xué)觀，即整體把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，串聯(lián)與內(nèi)化思想、方法和策略，提升思維、能力和素養(yǎng)，進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)教育價(jià)值.基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化融入單元復(fù)習(xí)課的教學(xué)研究，以期在數(shù)學(xué)文化浸潤、核心素養(yǎng)聚焦中既實(shí)現(xiàn)專題復(fù)習(xí)，又深刻揭示冰冷數(shù)學(xué)背后的火熱思考.1? 基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化融入教學(xué)的框架

參考相關(guān)文獻(xiàn)，認(rèn)識(shí)基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，了解數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的運(yùn)用方式，以期進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)教學(xué)中的教育價(jià)值.1.1? 基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵分析框架

汪曉勤團(tuán)隊(duì)［3］結(jié)合質(zhì)性研究法，并征詢專家組成員意見，反復(fù)歸納、修改，得到“基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化”內(nèi)涵分析框架，其中包括知識(shí)源流、學(xué)科聯(lián)系、社會(huì)角色、審美娛樂、多元文化五個(gè)維度（見圖1）.該框架既扎根于新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，又為數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)提供指導(dǎo)，聯(lián)結(jié)理論與實(shí)踐，具有一定的客觀合理性.

1.2? 數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的運(yùn)用方式

汪曉勤團(tuán)隊(duì)［4］在原有基礎(chǔ)上整合我國數(shù)學(xué)教學(xué)特點(diǎn)，進(jìn)一步改進(jìn)，得到數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的四種運(yùn)用方式：附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式（見表1）.其中四種運(yùn)用方式?jīng)]有水平高低之分，具體選擇哪種，取決于所要達(dá)到的教學(xué)目標(biāo).

2? 基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化融入單元復(fù)習(xí)課的教學(xué)案例

參考相關(guān)文獻(xiàn)梳理基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵的定義、作用及教學(xué)建議，設(shè)計(jì)或借鑒數(shù)學(xué)史融入復(fù)習(xí)課教學(xué)的相關(guān)案例并進(jìn)行簡析，幫助理清其內(nèi)涵及與教育價(jià)值的關(guān)系.

2.1? 知識(shí)源流2.1.1? 知識(shí)源流的內(nèi)涵及作用

知識(shí)源流指知識(shí)的來源與應(yīng)用，其中大致包括人物與事件的關(guān)聯(lián)和發(fā)展、概念與術(shù)語的起源和應(yīng)用、命題與證明的因果和聯(lián)系、問題與求解的表述和應(yīng)用四個(gè)子維度［3］.知識(shí)源流由時(shí)間縱向研究數(shù)學(xué)文化，注重研究的深度，嘗試從數(shù)學(xué)內(nèi)部探求數(shù)學(xué)中的文化.2.1.2? 知識(shí)源流內(nèi)涵下的復(fù)習(xí)課教學(xué)

知識(shí)源流內(nèi)涵下的復(fù)習(xí)課教學(xué)可結(jié)合教科書或高考真題，尋本溯源，用附加式補(bǔ)充概念等來源及應(yīng)用，并結(jié)合順應(yīng)式用問題串引導(dǎo)學(xué)生層層探索，構(gòu)建問題框架，幫助學(xué)生形成知識(shí)或解法新圖式和新模型，并將其納入原來知識(shí)體系中.好題難得，教師可扎根數(shù)學(xué)名著，精選數(shù)學(xué)名題，并嘗試命制將數(shù)學(xué)史從顯性或隱形角度融入的試題.2.1.3? 知識(shí)源流內(nèi)涵下的案例及簡析

案例1? 圓錐曲線單元復(fù)習(xí)課——“動(dòng)點(diǎn)的軌跡”專題.

環(huán)節(jié)①：問題探究例1? 已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為3，M在CC1上，CM=1，動(dòng)點(diǎn)N在面CDD1C1上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)N在平面A1BM內(nèi)時(shí)，N的軌跡長度為.當(dāng)AN=21時(shí)，N的軌跡長度為.環(huán)節(jié)②：文化研析（2014·湖北文17）已知圓O：x2+y2=1和A（－2，0），若B（b，0）（b≠－2）和常數(shù)λ滿足：對(duì)圓O上任意一點(diǎn)M，都有MB=λMA，則b=，λ=.

數(shù)學(xué)史補(bǔ)充? 數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《平面軌跡》中研究了大量平面軌跡（直線和圓），其中“阿波羅尼斯圓”是其代表作，即平面上一點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A、B的距離之比滿足PAPB=λ（λ>0且λ≠1）為常數(shù)，則P的軌跡是圓.（2008·江蘇13）滿足條件AB=2，AC=2BC的△ABC面積的最大值是.

環(huán)節(jié)③：類比求解變式：已知F1（－2，0），F(xiàn)2（2，0），動(dòng)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離與它到F1，F(xiàn)2距離之差的絕對(duì)值的比值為34，求P的軌跡方程.

數(shù)學(xué)史補(bǔ)充? 古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在《數(shù)學(xué)匯編》中研究一類新的軌跡問題，即“n線軌跡（n≥3）”問題，費(fèi)馬和笛卡爾在研究古希臘“n線軌跡”問題時(shí)發(fā)明了解析幾何.

案例簡析? 結(jié)合數(shù)學(xué)文化的知識(shí)源流、社會(huì)角色內(nèi)涵展開案例研究，“動(dòng)點(diǎn)的軌跡”可作為圓錐曲線單元復(fù)習(xí)的起始專題課.教學(xué)圍繞動(dòng)點(diǎn)相關(guān)問題，串聯(lián)直線與圓、圓錐曲線兩大知識(shí)體系，體現(xiàn)知識(shí)之諧、方法之美.教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建“動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離——到兩定點(diǎn)的距離之比——到兩定點(diǎn)、一直線的距離之比”的新圖式，類比探究，體現(xiàn)能力之助、探究之樂.用附加式補(bǔ)充相關(guān)數(shù)學(xué)史，改編歷史素材或歷史名題，用順應(yīng)式將圓、圓錐曲線等數(shù)學(xué)史串聯(lián)其中，體現(xiàn)文化之魅.教學(xué)順序可幫助學(xué)生感悟曲線的發(fā)展歷程，嘗試將歷史序、邏輯序與學(xué)生的心理序相統(tǒng)一，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，體現(xiàn)德育之效.

2.2? 學(xué)科聯(lián)系2.2.1? 學(xué)科聯(lián)系的內(nèi)涵與作用

學(xué)科聯(lián)系指借助數(shù)學(xué)史這一橋梁，聯(lián)結(jié)數(shù)學(xué)與物理、天文等學(xué)科的知識(shí)脈絡(luò)，通過跨學(xué)科的文化交融來演進(jìn)社會(huì)發(fā)展.學(xué)科聯(lián)系內(nèi)涵下的復(fù)習(xí)課案例富有創(chuàng)造性，跨學(xué)科的案例較注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用性與社會(huì)價(jià)值，給人眼前一亮的感覺.

2.2.2? 學(xué)科聯(lián)系內(nèi)涵下的復(fù)習(xí)課教學(xué)

學(xué)科聯(lián)系內(nèi)涵下的復(fù)習(xí)課教學(xué)可借助復(fù)制式或順應(yīng)式，從真題或改編題豐富的背景中感受數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系，其中應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言.也可結(jié)合STEAM實(shí)驗(yàn)教學(xué)，以數(shù)學(xué)史為基礎(chǔ)，實(shí)驗(yàn)為紐帶，學(xué)科聯(lián)系為導(dǎo)向，在STEAM新視野下展開教學(xué)案例設(shè)計(jì)［5］.學(xué)科聯(lián)系維度下的復(fù)習(xí)課教學(xué)難度較大，還需在已有案例研究的基礎(chǔ)上繼續(xù)開展系統(tǒng)的實(shí)踐研究.

2.2.3? 學(xué)科聯(lián)系內(nèi)涵下的案例及簡析

案例2? 立體幾何單元復(fù)習(xí)課——“鱉臑”專題.

環(huán)節(jié)①：折紙呈模型

呈現(xiàn)折疊過程：

環(huán)節(jié)②：幾何現(xiàn)鱉臑

數(shù)學(xué)史補(bǔ)充? 鱉臑最早出現(xiàn)在《九章算術(shù)》中，“此術(shù)臑者，背節(jié)也，或曰半陽馬，其形有似鱉肘，故以名云.”現(xiàn)在通常定義鱉臑是四個(gè)面都是直角三角形的四面體.

劉徽分長方體的過程，左至右（第二幅圖起）分別為壍堵、陽馬和鱉臑.

環(huán)節(jié)③：教學(xué)顯價(jià)值

結(jié)合高考真題，從領(lǐng)悟垂直關(guān)系、掌握“補(bǔ)形”技巧、溝通三類空間角三個(gè)方面開發(fā)鱉臑體的教學(xué)價(jià)值，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng).

案例簡析? 本案例結(jié)合《從STEM教育視角看折紙》［6］和《鱉臑搭起發(fā)展直觀想象素養(yǎng)的“腳手架”》［7］，常文武、丁少杰等老師結(jié)合數(shù)學(xué)文化的學(xué)科聯(lián)系、審美娛樂、知識(shí)源流、社會(huì)角色內(nèi)涵展開案例研究，“鱉臑”可作為立體幾何單元復(fù)習(xí)的一個(gè)專題.這節(jié)課教學(xué)緊扣“鱉臑”這一大概念，充分闡述是什么（具體與歷史模型）和怎么樣（應(yīng)用與教育價(jià)值），體現(xiàn)知識(shí)之諧、文化之魅.用附加式展示數(shù)學(xué)史，用順應(yīng)式改編數(shù)學(xué)史料并將其融入試題，結(jié)合鱉臑體直觀解決問題，體現(xiàn)方法之美、探究之樂.教學(xué)從動(dòng)手操作（折紙）開始，由實(shí)際模型中加深對(duì)鱉臑體的抽象體驗(yàn)，從鱉臑體的點(diǎn)、線、面關(guān)系探索其具體應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)能力之助、德育之效.

2.3? 社會(huì)角色2.3.1? 社會(huì)角色的內(nèi)涵與作用

社會(huì)角色主要指數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，“廣泛應(yīng)用性”是數(shù)學(xué)的基本特點(diǎn)之一.將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的案例基本都涉及該維度，古今數(shù)學(xué)應(yīng)用相聯(lián)結(jié)，既可窺探社會(huì)發(fā)展的演進(jìn)，也為數(shù)學(xué)有用論再一次正名.

2.3.2? 社會(huì)角色內(nèi)涵下的復(fù)習(xí)課教學(xué)

社會(huì)角色內(nèi)涵下的單元復(fù)習(xí)課教學(xué)可用附加式展示數(shù)學(xué)在社會(huì)生活等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，用復(fù)制式直接沿用歷史名題，用順應(yīng)式改編歷史素材或名題，以串聯(lián)古今中外的數(shù)學(xué)應(yīng)用.社會(huì)角色內(nèi)涵下的復(fù)習(xí)課教學(xué)既能揭示數(shù)學(xué)的應(yīng)用性及社會(huì)價(jià)值，也能內(nèi)化數(shù)學(xué)的文化價(jià)值.2.3.3? 社會(huì)角色內(nèi)涵下的案例及簡析

案例3?; 數(shù)列單元復(fù)習(xí)課——“斐波那契數(shù)列”專題.

環(huán)節(jié)①：回歸課本

人教A版普通高中數(shù)學(xué)教科書（選擇性必修第二冊(cè)）“4.1數(shù)列的概念”在“閱讀與思考”中詳細(xì)介紹斐波那契數(shù)列.

問題1：根據(jù)斐波那契數(shù)列的定義，求其遞推公式與通項(xiàng)公式？

圖5環(huán)節(jié)②：講解性質(zhì)

結(jié)合斐波那契數(shù)列的廣泛應(yīng)用性，如“斐波那契螺旋”，向日葵中小花的排列等講解相關(guān)性質(zhì).

環(huán)節(jié)③：試題解析

從中選取一道例題感受斐波那契數(shù)列的廣泛應(yīng)用性.

例1? 階梯教室共10級(jí)臺(tái)階，設(shè)每次只邁1個(gè)臺(tái)階或2個(gè)臺(tái)階，從下面的臺(tái)階到最上面的臺(tái)階，共有多少種不同的走法？

案例簡析? 本案例選自《高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)與拓展——以斐波那契數(shù)列為例》［8］，龐志雷老師結(jié)合數(shù)學(xué)文化的社會(huì)角色、審美娛樂、知識(shí)源流內(nèi)涵展開案例研究，“斐波那契數(shù)列”可作為數(shù)列單元復(fù)習(xí)的一個(gè)專題.這節(jié)課教學(xué)緊扣“斐波那契數(shù)列”這一大概念，回歸課本，引導(dǎo)學(xué)生利用教科書關(guān)注相關(guān)擴(kuò)展知識(shí)是什么、為什么、怎么樣，體現(xiàn)知識(shí)之諧、能力之助.結(jié)合斐波那契數(shù)列的廣泛應(yīng)用性，借助圖形直觀分析其性質(zhì)，體現(xiàn)探究之樂、文化之魅.教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生利用該擴(kuò)展知識(shí)解決實(shí)際問題，鍛煉其閱讀理解、歸納猜想等思維能力，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)德育之效.

2.4? 審美娛樂2.4.1? 審美娛樂的內(nèi)涵與作用

審美娛樂主要指數(shù)學(xué)美和趣味數(shù)學(xué).數(shù)學(xué)美橫跨“文化中的數(shù)學(xué)”與“數(shù)學(xué)中的文化”，數(shù)學(xué)的對(duì)稱美、統(tǒng)一美等通過教學(xué)得到外顯，助力美育的完善.趣味數(shù)學(xué)展現(xiàn)數(shù)學(xué)有趣，培育智力發(fā)展，將歷史、文化與數(shù)學(xué)相結(jié)合，相輔相成即可受益良多.

2.4.2? 審美娛樂內(nèi)涵下的復(fù)習(xí)課教學(xué)

審美娛樂內(nèi)涵下的復(fù)習(xí)課教學(xué)可從高考真題出發(fā)，用附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式等方式融入數(shù)學(xué)史展示數(shù)學(xué)美和趣味數(shù)學(xué).審美娛樂內(nèi)涵下的單元復(fù)習(xí)課教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生用欣賞的眼光觀察，用數(shù)學(xué)的思維思考，并用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)，從而提升相關(guān)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.4.3? 審美娛樂內(nèi)涵下的案例及簡析

案例4? 立體幾何單元復(fù)習(xí)課——“體積”專題.

圖6環(huán)節(jié)①：感受文化

（2017·江蘇理6）在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則V1V2的值.

數(shù)學(xué)史補(bǔ)充? 古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)圓柱體的體積比其內(nèi)切球的體積為3∶2，阿基米德的墓碑上即刻著“圓柱容球”與“3∶2”，以紀(jì)念阿基米德在幾何上的偉大發(fā)現(xiàn).

圖7（2013·上海13）在xOy平面上，將（x－1）2+y2=1（x≥1）和（x－3）2+y2=1（x≥3）、y=1和y=－1圍成的封閉圖形記為D.記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為Ω，過（0，y）（|y|≤1）作Ω的水平截面，所得截面面積為4π1-y2+8π，試?yán)米鏁溤恚玫溅傅捏w積為.

數(shù)學(xué)史補(bǔ)充? 古代數(shù)學(xué)家祖暅提出祖暅原理“冪勢既同，則積不容異”，這對(duì)微積分的建立產(chǎn)生重大影響，且晚了1100多年意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里才提出相似的卡瓦列里原理.

環(huán)節(jié)②：研析文化

引導(dǎo)學(xué)生從真題來源、呈現(xiàn)方式兩方面分析數(shù)學(xué)史融入高考真題.

環(huán)節(jié)③：運(yùn)用文化

設(shè)計(jì)活動(dòng)：認(rèn)識(shí)幾何體、深度探究、本源探尋、對(duì)接真題.

案例簡析? 本案例選自《高三復(fù)習(xí)融入數(shù)學(xué)文化的一點(diǎn)嘗試》［9］一文，丁益民老師結(jié)合數(shù)學(xué)文化的審美娛樂、知識(shí)源流、多元文化、社會(huì)角色內(nèi)涵展開案例研究，“體積”可作為立體幾何單元復(fù)習(xí)的一個(gè)專題.這節(jié)課教學(xué)緊扣“體積”這一大概念，梳理與構(gòu)建公式法、割補(bǔ)法、模型法的新圖式求體積，體現(xiàn)知識(shí)之諧.用順應(yīng)式改編真題，用復(fù)制式和順應(yīng)式結(jié)合引導(dǎo)學(xué)生研究鱉臑體并解決問題，體現(xiàn)方法之美，探究之樂.教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生從高考真題中感受美、欣賞美，追本溯源去窺探中外數(shù)學(xué)文化的璀璨，體現(xiàn)文化之魅.同時(shí)教學(xué)也始終把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維分析，用數(shù)學(xué)語言表征，結(jié)合數(shù)學(xué)運(yùn)算解決問題，從而培養(yǎng)相關(guān)能力與提升相應(yīng)素養(yǎng)，體現(xiàn)能力之助和德育之效.2.5? 多元文化2.5.1? 多元文化的內(nèi)涵與作用

多元文化指不同時(shí)空下于同一數(shù)學(xué)主題的交匯與碰撞.多元文化關(guān)注時(shí)間縱向與空間橫向的發(fā)展，多元文化屬于文化比較，可從數(shù)學(xué)外部認(rèn)識(shí)文化中的數(shù)學(xué).在多元文化浸潤中，學(xué)生可真切感受數(shù)學(xué)的發(fā)展與演進(jìn)，完善正確歷史觀，提升民族文化自信.

2.5.2? 多元文化內(nèi)涵下的復(fù)習(xí)課教學(xué)

多元文化內(nèi)涵下的復(fù)習(xí)課教學(xué)可用附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式等方式在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史，引領(lǐng)學(xué)生感受數(shù)學(xué)家對(duì)同一數(shù)學(xué)知識(shí)的貢獻(xiàn)，從不同中找認(rèn)同，發(fā)展“中國認(rèn)同”.同時(shí)在教學(xué)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)家對(duì)同一數(shù)學(xué)知識(shí)的研究歷程，從不同中找相同，建立動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)觀.2.5.3? 多元文化內(nèi)涵下的案例與簡析

案例5? 解三角形單元復(fù)習(xí)課——“解三角形的應(yīng)用”專題.

圖8環(huán)節(jié)①：歸納特征，引出主題

（2014·新課標(biāo)Ⅰ文16）為測量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為觀測點(diǎn).從A測得M的仰角∠MAN=60°，C的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；從C測得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m，則山高M(jìn)N=.

環(huán)節(jié)②：追憶歷史，尋找源頭

數(shù)學(xué)史補(bǔ)充? 三國時(shí)代數(shù)學(xué)家劉徽著《海島算經(jīng)》一書，收錄9個(gè)測量問題，涉及海島高、河寬等問題.

用相似三角形法、楊輝的“重差”法解《海島算經(jīng)》第一個(gè)問題，作比較，找同與不同，補(bǔ)充國外數(shù)學(xué)家（如印度數(shù)學(xué)家阿耶波多、德國數(shù)學(xué)家皮蒂克斯等）對(duì)測高研究的數(shù)學(xué)史.

環(huán)節(jié)③：古今聯(lián)系，合作探究

優(yōu)化古代方法，結(jié)合現(xiàn)代知識(shí)對(duì)一個(gè)問題進(jìn)行一題多解，并相互評(píng)析.

案例簡析? 本案例選自《HPM視角下的“解三角形的應(yīng)用”專題復(fù)習(xí)課》［10］，趙玉梅老師結(jié)合數(shù)學(xué)文化的多元文化、學(xué)科聯(lián)系、社會(huì)角色、知識(shí)源流、審美娛樂內(nèi)涵展開案例研究，“解三角形的應(yīng)用”可作為解三角形單元復(fù)習(xí)的一個(gè)專題.教學(xué)沿著“為什么—怎么做—是什么—優(yōu)化怎么做”路徑展開，從知識(shí)由來到用知識(shí)解決實(shí)際問題，體現(xiàn)知識(shí)之諧和能力之助.用附加式介紹三角學(xué)相關(guān)內(nèi)容，用復(fù)制式展現(xiàn)數(shù)學(xué)家測高方法，用順應(yīng)式讓學(xué)生自主探究測高，內(nèi)化最優(yōu)解，體現(xiàn)方法之美、探究之樂和文化之魅.教學(xué)通過比較數(shù)學(xué)家對(duì)同一問題的解法，學(xué)生可深刻感受中國古代數(shù)學(xué)家的探究與堅(jiān)持，提升民族自豪感，體現(xiàn)德育之效.3? 思考與展望

基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化融入單元復(fù)習(xí)課教學(xué)，旨在構(gòu)建基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵框架下的單元復(fù)習(xí)課，嘗試將適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)史素材用合適的運(yùn)用方式融入數(shù)學(xué)教學(xué).結(jié)合以上案例可知，基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵下的數(shù)學(xué)教學(xué)均能實(shí)現(xiàn)一定的教育價(jià)值.

數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)，教師應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵有較為清晰的認(rèn)識(shí)，拓寬數(shù)學(xué)文化面，選擇合適的素材，并用合適的運(yùn)用方式將其融入，以期在實(shí)踐中進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).在HPM（數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)系）視角下，數(shù)學(xué)史融入單元復(fù)習(xí)課的相關(guān)案例雖目前數(shù)量較少，五個(gè)維度也分布不均，相比較知識(shí)源流、社會(huì)角色維度下的案例略多于學(xué)科聯(lián)系、審美娛樂、多元文化維度下的案例，但一線教師等對(duì)案例的探索與實(shí)踐從未止步［11］.基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵維度下的單元復(fù)習(xí)課教學(xué)，要體現(xiàn)知識(shí)之諧、方法之美、探究之樂、能力之助、文化之魅、德育之效，并通過內(nèi)化科學(xué)、應(yīng)用、文化、審美價(jià)值，最終實(shí)現(xiàn)立德樹人的教育價(jià)值，這些均需對(duì)已有理論、高考真題、教學(xué)案例等進(jìn)行深入且系統(tǒng)的文獻(xiàn)與實(shí)踐研究.

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［10］? 趙玉梅.HPM視角下的“解三角形的應(yīng)用”專題復(fù)習(xí)課［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2020（05）：44-50.

［11］? 汪曉勤.基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵課例分析［J］.上海課程教學(xué)研究，2019（02）：37-43.

作者簡介? 黃思婷（1996—），女，浙江紹興人；中學(xué)二級(jí)教師；研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)研究.朱哲（1979—），男，浙江紹興人；副教授，教育學(xué)博士，碩士生導(dǎo)師；研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)課程與教學(xué)論、數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究.