例談三角函數(shù)最值問題的求解方法

【摘? 要】? 與三角函數(shù)有關(guān)的最值問題或取值范圍問題是三角函數(shù)中常考的一類基本題型，有些同學(xué)對此類問題常常會覺得無從下手.文章舉例說明求解此類問題的幾種行之有效的方法——配方法、換元法、導(dǎo)數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法、反解法、判別式法、利用輔助角公式法、利用基本不等式法等解決問題.

【關(guān)鍵詞】? 三角函數(shù)；最值問題；求解

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容之一，也是歷年高考必考的內(nèi)容.在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，我們經(jīng)常會遇到求解最值問題或取值范圍問題，其類型多，解法靈活，技巧性強，是高中數(shù)學(xué)知識中的一個難點.筆者通過對高中階段常見的與三角函數(shù)有關(guān)的最值問題或取值范圍問題的求解方法的分析，并對解法中蘊含的基礎(chǔ)知識和基本方法進行解析，以期對提高同學(xué)們的解題技能和解題技巧有所助力，進而重點在邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)上得到提升.

1? 配方法例1? 已知函數(shù)f（x）=2sinx+cos2x，求f（x）的最大值.

解析? 因為f（x）=2sinx+cos2x=－2sin2x+2sinx+1

=－2sinx－122+32.

又因為－1≤sinx≤1，所以當(dāng)sinx=12時，f（x）取最大值32.

點評? 根據(jù)cos2x與sinx（或cosx）的平方關(guān)系，把問題轉(zhuǎn)化為“二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題”，利用配方法，使問題獲解.在利用二次函數(shù)求最值時要注意正弦函數(shù)、余弦函數(shù)自身的取值范圍.

2? 換元法例2? 已知函數(shù)f（x）=sinxcosx+sinx+cosx，求f（x）的值域.

解析? 設(shè)t=sinx+cosx=2sinx+π4，則－2≤t≤2，且sinxcosx=t2－12.

所以f（x）=t2－12+t=12（t+1）2－1，所以當(dāng)t=－1時，f（x）取最小值-1，

當(dāng)t=2時，f（x）取最大值2+12.

所以f（x）的值域為－1，2+12.

點評? 通過換元，使題設(shè)中“隱藏”的平方關(guān)系得以凸顯，進而把“復(fù)雜”的函數(shù)轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，進一步利用配方法使問題快速、簡捷獲解.這種“曲徑通幽”的方法充分彰顯了“化繁為簡”的優(yōu)點.

3? 導(dǎo)數(shù)法例3? 已知函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x，求f（x）的最小值.

解析? 因為f（x）的最小正周期為2π，所以只需考慮f（x）在［0，2π）上的最小值即可.

f′（x）=2cosx+2cos2x=2（2cos2x+cosx－1）=2（2cosx－1）（cosx+1）.

令f′（x）=0，得cosx=12，或cosx=－1，

即x=π3，或x=5π3，或x=π.

因為f（0）=0，fπ3=332，f（π）=0，f5π3=－332，

所以f（x）的最小值為－332.

點評? 本題在求解時，借助導(dǎo)數(shù)等工具判斷函數(shù)性質(zhì)，并通過比較函數(shù)的極值得出函數(shù)的最小值.需要指出的是，例3與例1“形同質(zhì)異”，求解時要注意辨析.

4? 數(shù)形結(jié)合法

例4? 求函數(shù)f（x）=3－sinx2+cosx的值域.

解析? 因為f（x）=3－sinx2+cosx=3－sinx2－（－cosx）.在平面直角坐標系xOy中，設(shè)A（2，3），P（－cosx，sinx），則點P是單位圓O：x2+y2=1上的動點，且f（x）=kPA.由圖1可知，

圖1

當(dāng)直線PA與圓O相切時，kPA取最值.設(shè)直線PA的方程為y－3=k（x－2），即kx－y+3－2k=0.

由3－2kk2+1=1，解得k=2±233.所以f（x）的值域為2－233，2+233.點評? 本題通過圖形的形式直觀地呈現(xiàn)問題的條件與目標，并借助幾何直觀呈現(xiàn)問題的本質(zhì)與內(nèi)在聯(lián)系，使解題過程“跨越思維障礙”，化抽象為具體，利用代數(shù)方法最終實現(xiàn)解題目標，從中我們可以進一步感受數(shù)形結(jié)合思想的奇妙. 5? 反解法

所謂“正難則反”，就是指在某些函數(shù)的最值（或值域）直接不好求的情形下，可以通過求其反函數(shù)的定義域的方法進行求解.利用反解法求函數(shù)的最值（或值域）的解題步驟如下：

1.求已知函數(shù)的反函數(shù)；2.求反函數(shù)的定義域；3.根據(jù)反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域這一關(guān)系即可求出原函數(shù)的最值（或值域）.例5? 函數(shù)f（x）=3－2sinx2+cosx的值域.

解析? 設(shè)y=3－2sinx2+cosx，

則2sinx+ycosx=3－2y，

即y2+4sin（x+φ）=3－2y，其中tanφ=y2.

所以sin（x+φ）=3－2yy2+4.

因為sin（x+φ）≤1，所以3－2yy2+4≤1，

解得2－213≤y≤2+213.

所以f（x）的值域是2－213，2+213.點評? 本題的求解過程并沒有直接求出原函數(shù)的反函數(shù)，而是利用“反解法”的思想，根據(jù)已知條件反解得出sin（x+φ）=g（y），結(jié)合三角函數(shù)的有界性建立關(guān)于y的不等式，然后通過解不等式得出y的取值范圍，從而快速解決問題. 6? 判別式法例6? 已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若b=3，且a=3cosC+33csinB.

（1）求B；（2）求2a+c的最大值.

解析? （1）由已知，得a=bcosC+33csinB，

由正弦定理，得sinA=sinBcosC+33sinCsinB.

因為sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，所以cosBsinC=33sinBsinC，因為C∈（0，π），所以sinC≠0，所以cosB=33sinB，即tanB=3.由于B∈（0，π），所以B=π3.

（2）由（1）及余弦定理，得（3）2=a2+c2－2accosπ3，

即a2+c2－ac=3.? （*）

設(shè)2a+c=t>0，則c=t－2a，代入（*）式，得

a2+（t－2a）2－a（t－2a）=3，所以7a2－5ta+t2－3=0.

所以Δ=（－5t）2－4×7（t2－3）≥0，

解得0<t≤27.

當(dāng)t=27時，a=577，c=477，符合題意.

所以2a+c的最大值為27.

點評? 求解第（2）問的關(guān)鍵在于通過換元，構(gòu)造出一元二次方程，根據(jù)方程有解的條件求解不等式，使問題簡捷獲解.本題在求解過程中展示的化歸思想值得我們學(xué)習(xí). 7? 利用輔助角公式

例7? 已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若b=3，且B=π3.

（1）求△ABC的周長的最大值；

（2）求△ABC的面積的最大值.

解析? 由正弦定理，得asinA=csinC=bsinB=332=2，

所以a=2sinA，c=2sinC，且A+C=2π3.

（1）因為a+c=2sinA+2sinC=2sinA+2sin2π3－A

=2sinA+232cosA+12sinA=3sinA+3cosA=23sin（A+π6）.

當(dāng)A+π6=π2，即A=π3時，a+c取最大值23.

所以△ABC的周長的最大值為33.

（2）因為S△ABC=12acsinB=12·2sinA·2sinCsinπ3

=3sinAsin2π3－A=32sin2A－π6+34.

當(dāng)2A－π6=π2，即A=π3時，S△ABC取最大值334.

點評? 輔助角公式的主要作用就是利用和（差）角公式，將函數(shù)y=asinx+bcosx（其中a，b是常數(shù)，且ab≠0）轉(zhuǎn)化為y=Asin（x+φ）或y=Acos（x+φ）的形式，俗稱“化合為一”，進而可以求解有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值等問題.

8? 利用基本不等式

例8? 已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若ab=sinB+3cosBsinA+3cosA，且A≠B.

（1）求C；

（2）若角C的平分線交AB于點D，且CD=23，求a+2b的最小值.

解? （1）C=π3（過程略）；

（2）若角C的平分線交AB于點D，則∠ACD=∠BCD=π6.

因為S△ABC=S△ACD+S△BCD，

所以12AC·BC·sin∠ACB=12AC·CD·sin∠ACD+12BC·CD·sin∠BCD，

即12ab·32=12b·23×12+12a·23×12，

整理得2a+2b=1，

則a+2b=a+2b2a+2b=4ba+2ab+6≥24ba×2ab+6=42+6，

當(dāng)且僅當(dāng)4ba=2ab，即a=2b=2（2+1）時，等號成立，故a+2b的最小值為42+6.

點評? 求解第（2）問時，根據(jù)三角形的面積關(guān)系，得出a，b滿足的等量關(guān)系，再利用常值換元，為進一步利用基本不等式解題創(chuàng)造了條件，對問題的順利解答起到事半功倍的作用.

9? 小結(jié)與三角函數(shù)有關(guān)的最值問題或取值范圍問題，形式多種多樣，因此也就可以用多種不同的、行之有效的方法求解.上述幾例均可用其他方法求解，請大家不妨試一試，以開闊解題思路，培養(yǎng)思維品質(zhì)［1］.新高考數(shù)學(xué)特別強調(diào)基礎(chǔ)性考查，注重方法的普適性［2］，因此，同學(xué)們在學(xué)習(xí)的過程中，既要注重對于基本知識、概念、原理等的深入理解、掌握與運用，不斷完善認知結(jié)構(gòu)，形成整體性知識體系，也要注意總結(jié)各種不同類型問題的求解策略和方法，不斷提升分析問題和解決問題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，方能在答題中游刃有余.

參考文獻

［1］? 華騰飛.例談軌跡方程的求解方法［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2022（03）：18-22.

［2］? 趙軒，任子朝，翟嘉祺.落實雙減要求? 深化基礎(chǔ)性考查——2022年新高考函數(shù)試題分析［J］.數(shù)學(xué)通報，2022（09）：7-10.

作者簡介? 林運來（1975—），男，貴州貴陽人，正高級教師，中國數(shù)學(xué)會奧林匹克高級教練，福建省數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人;研究方向為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué).