逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

姜倩梅

摘要：在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，逆向思維作為初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，是一種重要的解題思維，它可以引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考問(wèn)題，尋找復(fù)雜問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)和解題的突破口.因此，教師可以借助相關(guān)類型的數(shù)學(xué)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)并掌握逆向分析、反向推理的解題技巧，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力，提高學(xué)生的思維水平，讓學(xué)生能夠深入理解復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念，提升學(xué)生的解題能力.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；逆向思維；應(yīng)用；解題策略

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2023）32-0035-03

基于逆向思維的數(shù)學(xué)解題方式，需要學(xué)生能夠?qū)W會(huì)從問(wèn)題的結(jié)果出發(fā)，通過(guò)嘗試置換問(wèn)題的條件和結(jié)果進(jìn)行思考，通過(guò)邏輯推理和反向證明的形式解答復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題.對(duì)此，學(xué)科教師應(yīng)適時(shí)引入逆向思維的數(shù)學(xué)概念，并進(jìn)行相關(guān)類型問(wèn)題的實(shí)踐分析，在激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的基礎(chǔ)上，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，為學(xué)生的發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的能力基礎(chǔ).

1 置換推演，分析解題思路

在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，數(shù)學(xué)概念的延伸與推演往往是雙向的，部分?jǐn)?shù)學(xué)推理性問(wèn)題的設(shè)計(jì)也同樣如此.學(xué)科教師可以進(jìn)行側(cè)面引導(dǎo)，學(xué)生在傳統(tǒng)的正向思考受阻的情況下，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試將條件與結(jié)果的推演順序置換，深入理解不同類型數(shù)學(xué)問(wèn)題的概念本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生形成雙向思考的解題思維習(xí)慣.

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，經(jīng)常出現(xiàn)平面直角坐標(biāo)系與圖形幾何相結(jié)合的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果按照正向順序求解，其過(guò)程可能極為復(fù)雜，教師應(yīng)及時(shí)引入反向推理的逆向思維方法，分析這類問(wèn)題的解題思路.

例1在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3， 4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（9， 10），當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)滿足的條件.

在傳統(tǒng)正向思維的影響下，學(xué)生可能會(huì)嘗試計(jì)算等腰三角形的兩邊邊長(zhǎng)和角度，然后求點(diǎn)C的坐標(biāo)滿足的條件.但是當(dāng)學(xué)生進(jìn)行計(jì)算時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)其計(jì)算量極其龐大，求解過(guò)程非常復(fù)雜.為根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)列方程求解，需確定等腰三角形的底邊和腰，這更是讓該數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解趨于軌跡范疇，情況更趨向多元化.所以數(shù)學(xué)教師應(yīng)及時(shí)引入逆向思維模型，將數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件與結(jié)果進(jìn)行置換，輔助學(xué)生推演分析解題思路：首先觀察到△ABC是等腰三角形，所以應(yīng)利用等腰三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題，而本題中對(duì)△ABC的等腰三角形屬性的界定較為模糊，不能夠確定底邊和腰具體是哪條邊，所以需要基于底邊，進(jìn)行分類討論和逆向推理，通過(guò)將C的坐標(biāo)（x， y）與等腰三角形條件進(jìn)行置換，進(jìn)行逆向推理.在解決本題的過(guò)程中，學(xué)生需要根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，分為三種情況求解.

第一種情況：當(dāng)BC作為底邊時(shí)，AB與AC應(yīng)為腰，則AB=AC，所以學(xué)生首先可以計(jì)算AB的長(zhǎng)度，AB=（9-3）2+（10-4）2=62+62=62.從而可知當(dāng)AC=62時(shí)，△ABC即為等腰三角形，那么學(xué)生就能夠根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)，建立方程求解，（x-3）2+（y-4）2=（62）2，學(xué)生在得到該答案時(shí)，也能夠清晰地認(rèn)識(shí)到，點(diǎn)C始終橫在半徑為62的圓上，其圓心的橫坐標(biāo)為3，縱坐標(biāo)為4.

第二種情況：當(dāng)AC為底邊時(shí)，BA與BC應(yīng)為腰，則BA=BC，學(xué)生類比第一種情況，AB=62，當(dāng)BA=BC時(shí)，△ABC為等腰三角形，那么學(xué)生就能夠根據(jù)點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)，建立方程（x-9）2+（y-10）2=（62）2，點(diǎn)C始終橫在半徑為62的圓上，其圓心的橫坐標(biāo)為9，縱坐標(biāo)為10.

第三種情況：當(dāng)AB為底邊時(shí)，即作為一種特殊情況，學(xué)生不能得知AC和BC中其中任意一條的具體長(zhǎng)度，那么學(xué)生則需要善用兩點(diǎn)之間的距離公式，構(gòu)建當(dāng)AC=BC時(shí)的方程，即（x-3）2+（y-4）2=（x-9）2+（y-10）2，進(jìn)一步展開(kāi)整理得x+y=13，從而可知點(diǎn)C在橫縱截距都為13的直線上.

由此可以看出，通過(guò)逆向思維解題思路的引入與分析，將條件與結(jié)果進(jìn)行置換，能使學(xué)生準(zhǔn)確把握不同情況下的解題思路.因此，逆向思維能夠使學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思路清晰完整，培養(yǎng)學(xué)生雙向思考的數(shù)學(xué)解題思維習(xí)慣，有助于學(xué)生更好地理解和把握數(shù)學(xué)概念與性質(zhì)，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力和問(wèn)題解決能力.

2 思維轉(zhuǎn)換，優(yōu)化解題效率

在初中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，思維模式的轉(zhuǎn)化是提高解題效率的關(guān)鍵.逆向思維的實(shí)踐應(yīng)用可以幫助學(xué)生轉(zhuǎn)換解題方向，提高解題效率.對(duì)此，數(shù)學(xué)教師應(yīng)引入逆向思維，減少解題過(guò)程中的繁瑣計(jì)算，優(yōu)化解題步驟，實(shí)現(xiàn)解題效率的顯著提升.

在初中數(shù)學(xué)問(wèn)題解答中，大多數(shù)問(wèn)題都涉及數(shù)學(xué)公式，常常需要通過(guò)代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算求解.這種順向思維的方式可能會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量較大，耗費(fèi)時(shí)間較多，而通過(guò)逆向思維，轉(zhuǎn)化解題的思維方式，從而減少計(jì)算量，提高解題效率[1].

例2某家服裝店以每件30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批T恤，如果以每件40元的價(jià)格售出，那么在一個(gè)月內(nèi)，能夠售出300件，但是根據(jù)過(guò)去積累的銷售經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)出售價(jià)格每提升1元，當(dāng)月T恤的銷售量則會(huì)減少10件，設(shè)T恤的出售價(jià)格漲價(jià)x元，現(xiàn)服裝店要求該種T恤當(dāng)月的利潤(rùn)總額達(dá)到3 360元，并盡可能減少庫(kù)存，則x的值應(yīng)為多少？售價(jià)為多少時(shí)，利潤(rùn)最大？

學(xué)生在解決該應(yīng)用題的第一問(wèn)時(shí)，可以得到x與y之間的函數(shù)關(guān)系式，即y=（300-10x）（x+40-30）=-10x2+200x+3 000，再將y=3 360代入到關(guān)系式之中，得到-10x2+200x-360=0，最終化簡(jiǎn)為x2-20x+36=0.在常規(guī)思維下，學(xué)生根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，往往會(huì)使用公式法進(jìn)行計(jì)算，而公式法的步驟較為繁瑣，還需要在Δ=b2-4ac≥0的前置條件下進(jìn)行，學(xué)生極有可能忽略這些步驟，造成不必要的失分.針對(duì)本題，學(xué)生應(yīng)嘗試轉(zhuǎn)變思維模式，利用十字相乘法進(jìn)行因式分解，得到x2-20x+36=（x-2）（x-18）=0，從而直接得出x=2和x=18兩個(gè)答案.為了盡快減少庫(kù)存，x=18不符合題意，舍去，故x=2.在第二個(gè)問(wèn)題的解答中，學(xué)生也能夠意識(shí)到需利用函數(shù)最值公式x=-b2a和y=4ac-b24a進(jìn)行求解，但是將數(shù)據(jù)代入時(shí)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)y=4×（-10）×3 000-20024×（-10），其計(jì)算量非常較大，很容易出現(xiàn)計(jì)算失誤，所以學(xué)生更需要利用逆向思維，簡(jiǎn)化復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程，將分子以乘法分配律的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，調(diào)整為200×（-600-200），極大程度簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程，全面提高解題效率.

由此可見(jiàn)，逆向思維能夠顯著提高解題效率.通過(guò)轉(zhuǎn)換思維模式，減少繁瑣計(jì)算，優(yōu)化解題過(guò)程，幫助學(xué)生更好地理解問(wèn)題，找到更簡(jiǎn)便、更直接的問(wèn)題解決方法，以促進(jìn)解題速度和正確率同步提升.

3 邏輯構(gòu)建，探明解題本質(zhì)

逆向思維是解決問(wèn)題的重要思維方式，而邏輯分析作為逆向思維的主軸，是探明數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)的基本方法.對(duì)此，數(shù)學(xué)教師需通過(guò)培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，幫助學(xué)生探明數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和分析問(wèn)題能力，提高學(xué)生的解題能力和創(chuàng)造力，促使學(xué)生深入思考問(wèn)題，掌握數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題策略.在進(jìn)行抽象概念的證明時(shí)，可運(yùn)用逆向思維分析問(wèn)題.

例3證明：2為無(wú)理數(shù).

對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)，無(wú)理數(shù)的概念可能過(guò)于復(fù)雜和難以理解，學(xué)生很難通過(guò)正向思維來(lái)完成證明.為此，數(shù)學(xué)教師需要幫助學(xué)生整理問(wèn)題的邏輯鏈條，嘗試使用反證法進(jìn)行證明.假設(shè)2是有理數(shù)[2]，那么根據(jù)有理數(shù)的性質(zhì)，任何有理數(shù)都可以表示為分?jǐn)?shù)的形式，將2可以表示為mn，其中m、n是不為零的整數(shù)，并且m、n互質(zhì)，根據(jù)假設(shè)，學(xué)生即可通過(guò)等式兩邊同時(shí)平方，得到（mn）2=（2）2=2的關(guān)系式，由此可得m2=2n2，由于m2是偶數(shù)，學(xué)生可以將m表示為2k，其中k為整數(shù)，那么m2=4k2=2n2，最終可以得到n2=2k2，這意味著n也是偶數(shù)，然而事實(shí)上，m和n本質(zhì)上已經(jīng)是互質(zhì)關(guān)系，這與一開(kāi)始的假設(shè)互相矛盾.因此，學(xué)生可以依托于邏輯鏈進(jìn)行反向證明，得出2不是有理數(shù)，而是無(wú)理數(shù).

通過(guò)反證法，學(xué)生可以更為清晰地把握證明的思維邏輯，幫助學(xué)生理解抽象概念的證明過(guò)程，并培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維邏輯和探究問(wèn)題本質(zhì)的能力.

可見(jiàn)，通過(guò)逆向思維和邏輯分析，數(shù)學(xué)教師可以幫助學(xué)生理解復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念，解決更為抽象的問(wèn)題，并掌握解題的關(guān)鍵思路.這種方法不僅能提高學(xué)生的解題能力，還能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力和深入思考問(wèn)題的能力，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維更加靈活和清晰.

4 反向檢驗(yàn)，驗(yàn)證解題答案

逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，不僅僅停留于問(wèn)題的解答，同樣也適用于答案的檢驗(yàn).通過(guò)逆向思維，學(xué)生依托于計(jì)算結(jié)果，通過(guò)推理和分析，驗(yàn)證解題答案的正確性，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，提高解題的正確率和準(zhǔn)確性.

在初中數(shù)學(xué)試題的設(shè)計(jì)與設(shè)置中，方程求解、不等式求解和因式分解求解是代數(shù)部分的重點(diǎn)內(nèi)容，這一系列題型的設(shè)計(jì)是為了檢驗(yàn)學(xué)生的計(jì)算能力和基礎(chǔ)知識(shí)水平，所以該部分?jǐn)?shù)學(xué)問(wèn)題的答案具有初中數(shù)學(xué)的特殊性，其求解過(guò)程即便需要應(yīng)用多種數(shù)學(xué)解題方法，但最終得到的答案更偏向基礎(chǔ)[3].

例4解一元二次方程2x2+5x-3=0.

當(dāng)學(xué)生進(jìn)行正確解答時(shí)，最終所得到的答案應(yīng)為x1=-3和x2=0.5.但是當(dāng)學(xué)生未能完全掌握逆向思維的解題方法，不使用十字相乘法，而繼續(xù)使用公式法求解時(shí)，往往會(huì)在公式的使用上出現(xiàn)紕漏，造成不必要的錯(cuò)誤.所以，學(xué)生在解決此類題型時(shí)，可以借助逆向思維進(jìn)行反向檢驗(yàn)，驗(yàn)證所得到答案的正確性.借助逆向思維，學(xué)生可以將x的值代入原方程，然后計(jì)算等式是否成立.將x=-3代入方程左邊，得到2×（-3）2+5×（-3）-3=18-15-3=0，與原方程左邊等于右邊的條件一致.將x2=0.5代入方程，同樣進(jìn)行計(jì)算，最終得到2×0.52+5×0.5-3=0.5+2.5-3=0，與原方程左邊等于右邊的條件一致，所以通過(guò)逆向思維驗(yàn)證，學(xué)生得出的解答x1=-3和x2=0.5是方程的解.

由此可以看出，逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，不僅可用于較為復(fù)雜問(wèn)題的解答，也可用于答案的檢驗(yàn).在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，在學(xué)生學(xué)會(huì)逆向求解和反向檢驗(yàn)的同時(shí)，夯實(shí)自身的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

總之，逆向思維的培養(yǎng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力水平的提升具有長(zhǎng)遠(yuǎn)的價(jià)值和意義.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師可通過(guò)設(shè)計(jì)逆向思維教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生嘗試置換問(wèn)題的條件和結(jié)果，深入理解其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，探求數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維，提高整體解題效率的基礎(chǔ)上，把握反向證明與逆向求解的技巧，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

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[2] 黃圣杰.逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].數(shù)理天地（初中版），2023（13）：35-36.

[3] 湯久妹.基于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生逆向思維能力的培養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2019（15）：104-105.

［責(zé)任編輯：李璟］